三維設(shè)計(jì)20xx級(jí)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講解等差數(shù)列及其前n項(xiàng)與(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-06-07 13:47本頁(yè)面
【正文】 a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，∴6(a4＋a10)＝24，故a4＋a10＝4.∴S13＝＝＝26.2．在等差數(shù)列{an}中，a10，a10a110，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10＝36，前18項(xiàng)和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項(xiàng)和T18的值是( )A．24 B．48C．60 D．84解析：選C 由a10，a10a110可知d0，a100，a110，故T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－(S18－S10)＝60.3．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．(1)若{an}是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式；(2)若{an}滿(mǎn)足a1＝2，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，求S2n＋1.解：(1)由題意得an＋1＋an＝4n－3，①an＋2＋an＋1＝4n＋1，②②－①得an＋2－an＝4，∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴d＝2.∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－，∴an＝2n－.(2)∵a1＝2，a1＋a2＝1，∴a2＝－1.又∵an＋2－an＝4，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為4，∴a2n－1＝4n－2，a2n＝4n－5，S2n＋1＝(a1＋a3＋…＋a2n＋1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(n＋1)2＋4＋n(－1)＋4＝4n2＋n＋2.1．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．解：(1)證明：∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝.∴n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.∴數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋＝1＋，設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋，易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù)．故當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1；當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3.2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng)的值．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有即解得所以an＝3n－2.(2)因?yàn)镾n＝[1＋(3n－2)]＝，所以bn＝＝3n＋－1≥2 －1＝23，當(dāng)且僅當(dāng)3n＝，即n＝4時(shí)取等號(hào)，故數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第4項(xiàng)，該項(xiàng)的值為23.3．已知數(shù)列{an}，對(duì)于任意n≥2，在an－1與an之間插入n個(gè)數(shù)，構(gòu)成的新數(shù)列{bn}成等差數(shù)列，并記在an－1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)均值為Cn－1.(1)若an＝，求C1，C2，C3；(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)λ，使{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列？如果存在，求出滿(mǎn)足條件的λ，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由題意a1＝－2，a2＝1，a3＝5，a4＝10，∴在a1與a2之間插入－1,0，C1＝－.在a2與a3之間插入2,3,4，C2＝3.在a3與a4之間插入6,7,8,9，C3＝.(2)在an－1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，d＝＝1，∴Cn－1＝＝＝.假設(shè)存在λ使得{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．∴(Cn＋1－λCn)－(Cn－λCn－1)＝Cn＋1－Cn－λ(Cn－Cn－1)＝－λ＝(1－λ)n＋－λ＝常數(shù)，∴λ＝1.即λ＝1時(shí)，{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．
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