【正文】 大小不變，角速度不變，周期恒定的圓周運動，它是變加速曲線運動。 描述勻速圓周運動的物理量及其之間關(guān)系為： F向心力不是特殊的力是物體在做圓運動時受到諸力的合力。由動力學(xué)知識可知 必須強調(diào)指出： 使物體做勻速圓周運動的向心力，不是什么特殊的力，任何一種力或幾種力的合力，只要它能使物體產(chǎn)生向心的加速度，它就是物體所受的向心力。萬有引力定律萬有引力定律是牛頓在前人大量觀測和研究的基礎(chǔ)上總結(jié)概括出來的最偉大的定律之一。萬有引力定律被發(fā)現(xiàn)的意義在于把地面上所了解的現(xiàn)象與宇宙中天體變化的規(guī)律統(tǒng)一了起來，直接向有神論進行了沖擊；另一方面萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)摧毀了人類過去對宇宙的錯誤認識，為人類確立全新的宇宙觀打下了基礎(chǔ)。這就是說萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)不僅具有學(xué)術(shù)上的意義，對人類物質(zhì)觀、宇宙觀的發(fā)展和進步都起到了極其重要的作用。一、歷史的回顧： 古代從農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)和航海的實際需要出發(fā)，很早就開始了對天體運動的研究。“天文學(xué)”可稱作是發(fā)展最早的自然科學(xué)之一。在幾千年的發(fā)展過程中“地心說”和“日心說”進行了長期的斗爭。 公元二世紀以希臘天文學(xué)家托勒玫為代表的地心說認為：地球是宇宙的中心，宇宙萬物都是上帝創(chuàng)造。宇宙中的一切天體都圍著地球旋轉(zhuǎn)。這個學(xué)說在教會支持下，延續(xù)一千余年?，F(xiàn)在看來這個學(xué)說是錯誤的，但地心說的出現(xiàn)仍舊促使了世界航海事業(yè)的發(fā)展，對提高發(fā)展生產(chǎn)力起到了積極作用。 十六世紀波蘭天文學(xué)家哥白尼，經(jīng)過四十年的觀測和研究，在古代日心說的啟發(fā)下重新提出了新的日心說：太陽是宇宙的中心，地球和其它行星一樣都繞太陽旋轉(zhuǎn)。這個學(xué)說很容易解釋許多天文現(xiàn)象。這種學(xué)說雖然受到教會的反對和迫害，但在伽利略、布魯諾為代表的一些人支持下仍被人們逐漸接受。 丹麥天文學(xué)家第谷經(jīng)過二十余年長期對行星的觀測和精確測量，又經(jīng)他的助手開普勒用二十年時間的統(tǒng)計分析概括進一步完善了“日心說”。開普勒于十七世紀發(fā)表著名的開普勒三定律。 開普勒第一定律：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運動，太陽是在這些橢圓的一個焦點上。 開普勒第二定律：對每個行星來說，太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。 開普勒第三定律：所有行星的橢圓軌道的長半軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。 即 三大定律的發(fā)現(xiàn)，使人類的天文學(xué)知識提高了一大步。二、 牛頓對行星運動的解釋： 牛頓從他本人發(fā)現(xiàn)的牛頓第二定律出發(fā)深入分析和研究了天體運行的規(guī)律，他對行星運動的規(guī)律的解釋主要有以下幾個層次： 設(shè)行星都沿圓周運動，那么行星運動所需的向心力應(yīng)滿足： 由開普勒第三定律 則： 式中為行星質(zhì)量，R為行星運動的軌道半徑。式中的常數(shù)K對太陽系來說保持不變。 從牛頓第三定律出發(fā)，太陽吸引行星的力應(yīng)與行星吸引太陽的力大小相等。既然與行星質(zhì)量成正比，那么行星吸引太陽的力也應(yīng)與太陽的質(zhì)量M成正比，也就是說常數(shù)K是一個與太陽質(zhì)量M成正比的數(shù)。 再引進一個常數(shù)G，并令： 則太陽吸引行星的力： 常數(shù)G是與太陽質(zhì)量無關(guān)的恒量。 行星與衛(wèi)星之間的作用力與太陽和行星之間的作用力同屬一個性質(zhì)的力。關(guān)于這一點牛頓是從月亮運行的周期T、軌道半徑R等已知參數(shù)計算得出，月球和地球之間的作用力也是跟它們質(zhì)量的乘積成正比，跟它們之間的距離的平方成反比的。 地球?qū)Φ孛嫖矬w的吸引力跟地球?qū)υ虑虻奈偻N性質(zhì)的力。 地面上的重力加速度為g，地球的半徑為R，而月球到地心的距離恰為地球半徑的60倍，而月球作勻速圓周運動的加速度恰為重力加速度的1/3600，這說明地球?qū)ξ矬w的吸引力和地球?qū)υ虑虻奈σ矊偻恍再|(zhì)的力。 以上這些為牛頓提出萬有引力定律打下堅實基礎(chǔ)。三、萬有引力定律： 內(nèi)容：任何兩個物體都是互相吸引的，引力的大小跟兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比。這就是萬有引力定律。 公式 應(yīng)注意： （1）公式中G稱作萬有引力恒量，經(jīng)測定。 （2）公式中的R為質(zhì)點間的距離。對于質(zhì)量分布均勻的球體，可把它看做是質(zhì)量集中在球心的一個點上。 （3）從可以看出，萬有引力是非常小的，平時很難覺察，所以它的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了對天體（質(zhì)量特別大）運動的研究過程。四、萬有引力恒量的測定： 自牛頓發(fā)表萬有引力定律以來，人們試圖在實驗中測出引力的大小，其目的在于給“萬有引力定律”進行鑒別和檢驗。因為沒有被實驗驗證的理論總是空洞的理論，更無實際意義。 英國物理學(xué)家卡文迪許承擔(dān)了這樣一項科學(xué)難題，他發(fā)揮了精湛的實驗才能，取得了極其精確的結(jié)果。 實驗裝置是用的扭秤（如右圖所示），兩端各置一個鉛質(zhì)球，再用另外兩個球靠近，研究它們的引力規(guī)律。 實驗原理是用力矩平衡的道理。 實驗結(jié)果：首先驗證了萬有引力的正確性。另外測定了萬有引力恒量為： 目前萬有引力恒量的公認值為： 小結(jié)： 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，絕不是牛頓一人的成果。它是人類長期研究奮斗的結(jié)果，甚至有人獻出了寶貴的生命。 萬有引力定律的確立，并不是在1687年牛頓發(fā)表之時，而應(yīng)是1798年卡文迪許完成實驗之時。 萬有引力定律的公式： 只適用于質(zhì)點間的相互作用。這里的“質(zhì)點”要求是質(zhì)量分布均勻的球體，或是物體間的距離r遠遠大于物體的大小，這兩種情況。 運用萬有引力定律解決具體問題時，要特別注意指數(shù)運算。 在計算過程中，如果要求精度不高，可取來運算，這樣可使計算簡化。機械能 自然界存在著各種形式的能，各種形式的能之間又可以相互轉(zhuǎn)化，而且在轉(zhuǎn)化的過程中能的總量保持不變。這是自然科學(xué)中最重要的定律之一。各種形式的能在相互轉(zhuǎn)化的過程中可以用功來度量。這一章研究的是能量中最簡單的一種──機械能，以及與它相伴的機械功，能的轉(zhuǎn)化和守恒，是貫穿全部物理學(xué)的基本規(guī)律之一。解決力學(xué)問題，從能量的觀點入手進行分析，往往是很方便的。因此，學(xué)習(xí)這一章要特別注意養(yǎng)成運用能量觀點分析和研究問題的習(xí)慣。 這一章研究的主要內(nèi)容有：功和功率、動能和動能定理、勢能及機械能守恒定律。 一、什么是功和功率 功（W） 如圖所示，物體受到力的作用，并且在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們說力對物體做了功。有力、有力的方向上的位移是功的兩個不可缺少的因素。 我們可以把力F沿位移S的方向和垂直于位移的方向分解為F162。、F178。其中分力F162。做功，而分力F178。并未做功，而，所以力F對物體所做的功可表示為。 同學(xué)們也可以試一下，把位移S分解為沿力F方向的分位移S162。和垂直于力F方向的分位移S178。顯然物體在力F的作用下，沿力的方向的位移為S162。，同樣可得力F對物體做的功， 得出功的公式： 該式既是功的量度式（也叫計算式），也是功的決定式。當時，為正，式中的，為正功（或說外力對物做了功）；當，式中的W為零（或說力不做功）；當，為負值，式中的，為負功（我們說力對物體做負功，或說物體克服外力做了功）。當，或中的W也為負功（我們?nèi)哉f力對物體做負功?；蛘f物體克服外力做了功）；當F是合力（）時，則W是合力功（）；如W是各力做功的代數(shù)和，我們說W的總功。 幾點說明： （1）力（F）能改變物體的運動狀態(tài)，產(chǎn)生加速度，但只有使物體移動一段位移（Ds），力的效應(yīng)才能體現(xiàn)出來，如引起速度的變化?？梢哉f功是力在空間上的積累效應(yīng)。 （2）功是屬于力的，說“功”必須說是哪個力的功。如：重力的功、拉力的功、阻力的功、彈力的功等。若是合力所做的功，就要說明是合力的功。（3） 公式中F、S都是矢量，而它們的積W是標量，它的正與負僅由力與位移的夾角決定；它的正與負僅表示是對力物體做功還是物體克服該力做功。 功的國際制單位是J（焦）。 （4）功是能量變化的量度，是能量轉(zhuǎn)化的過程量。做功一定伴隨著一段運動的過程（沒有即時意義），因此說功必須說明力在那個過程做的功。力對物體做了多少功就有多少其它形式的能轉(zhuǎn)化成物體的機械能。做功是能量轉(zhuǎn)化的一種方式。 功率（P） 某個力所做的功跟完成這個功所用時間的比值，叫該力做功的功率。即 （1） 因為 所以 （2） （1）、（2）兩式反映的是一個力在一段時間（t）內(nèi)做功的平均快慢程度，故稱做“平均功率”。 若（2）式中的平均速度用即時速度v取代。 則（2）式變?yōu)? （3）這就是即時功率的公式。 注意： （1）功率是表示做功快慢的物理量，所謂做功快慢的實質(zhì)是物體（或系統(tǒng)）能量轉(zhuǎn)化的快慢。平均功率描述的是做功的平均快慢程度，因此說平均功率必須說明是哪段時間（或哪段位移上）的平均功率。而即時功率描述的是做功瞬間的快慢程度，因此說即時功率必須說明是哪個時刻（或哪個位置）的即時功率。 （2）功率和功一樣，它也是屬于力的。說到“功率”必須說是哪個力的功率。如：重力的功率、拉力的功率、阻力的功率、彈力的功率等。若是合力所做的功的功率，就要說明是合力的功率。 （3）額定功率是機器設(shè)備安全有效工作時的最大功率值，當機器以額定功率工作時，作用力增大，必須減小速度，兩者成反比。實際功率是機器工作時的功率，也可能超過額定的功率，這樣對機器設(shè)備、是有損害的。正常工作時，機器的實際功率不應(yīng)超過它的額定功率值。 （4）計算功率的三個公式的適用條件是不一樣的。（1）式除適用于力學(xué)范疇外，對其它領(lǐng)域也適用，如平均電功率，平均熱功率等；（2）式只適用于力學(xué)范疇，且要求力F為恒定的力，式中的為恒力F跟平均速度的夾角；（3）式適用于力學(xué)范疇，力F可以是恒力，也可以是變力，式中是力F與即時速度v的夾角。（5）功率的正負（僅由角決定）表示是力對物體做功的功率還是物體克服外力做功的功率。在國際制單位中功率的單位是W（瓦）。 二、幾個應(yīng)該弄清楚的問題（選學(xué)） 的適用條件。在使用功公式時，若不注意它的適用條件，往往得出錯誤的結(jié)論。例如，馬用水平力拉著碌子在場院上軋谷脫粒，若馬的拉力為800牛頓，碌子在場院上轉(zhuǎn)圈的半徑是10米，求轉(zhuǎn)一圈馬對碌子做的功。碌子每轉(zhuǎn)一圈都回到原來的出發(fā)點，它并沒有發(fā)生位移，或稱位移為零。有人套用上式，認為既然碌子的位移是零，則說明馬沒有對碌子做功，即使多轉(zhuǎn)幾圈也不會做功的，這樣的結(jié)論是錯誤的。因為按這樣的觀點來看，馬拉著碌子轉(zhuǎn)半圈是有位移的，而且位移恰好等于圓軌跡的直徑（20米）。前半圈馬對碌子做了功。同樣，后半圈馬也做了功，但上面卻得出馬拉碌子轉(zhuǎn)一圈（兩個半圓）沒有做功的結(jié)論，這顯然是自相矛盾的。為什么會得到馬沒有做功的結(jié)論，其主要是沒有注意公式的適用條件，亂套公式造成的。 在機械運動中，物體的位移（S）僅由物體初、末兩位置決定，在給定的時間內(nèi)或確定的一段運動過程中，物體的位移（包括大小和方向）具有確定的值。但在這段運動過程中物體受的某個力（F）可能是恒定的，也可能是變化的。當作用力（F）恒定時，公式中力的大小、位移的大小、力與位移的夾角都有確定的值，這樣可以得出力對物體做功的確定的值。但如果力（F）是變力（當然這種變化可以是力的大小發(fā)生變化，也可以是力的方向發(fā)生變化，也可能是二者都變化），公式中力的大小或力與位移的夾角就無法確定。在這樣的情況下仍用公式來計算力對物體所做的功，肯定不會得出準確的結(jié)果。這就是說上述的功的公式只適用于恒力做功的情況，對變力做功的情況是不適用的，因而有的讀物明確指出上述公式叫‘恒力功的公式’。 馬拉碌子轉(zhuǎn)圈，即使馬的拉力保持在800牛頓，但由于這個力的方向總是沿著圓的切線方向，隨著碌子的運動，這個力不斷地改變方向，是個變力。因此不能用功的公式來計算功。 怎樣計算變力的功？ 下面介紹兩種求變力功的方法： ⑴ 可以把物體運動的軌跡分割成足夠多的小段。使物體在每個足夠小的軌跡小段（DS）上所受的力可以看作是恒力時，就可以用功的公式計算出物體在每個小段上運動時作用力的功（DW）。然后把各小段作用力的功求和，便能得出變力對物體所做的功。這種方法可稱作分割法。 如馬拉碌子轉(zhuǎn)圈時，可以把圓軌跡均勻分割成n段（n足夠大），對每一小段（足夠?。﹣碚f，碌子的位移（DS）都和軌跡重合，在每一小段上都認為馬的拉力的方向不變化，而且與位移（DS）方向一致。即力與位移的夾角為零，在每個小段上拉力F所做的功（DW）可以從功的公式得出 馬拉碌子轉(zhuǎn)一圈拉力所做的功 因為等于碌子做圓運動轉(zhuǎn)一圈通過的路程（圓周長）。即所以馬拉碌子轉(zhuǎn)一圈的功為 以上分析說明，使用功的公式時，一定要注意它的適用條件。⑵ 如果力的方向不改變僅僅是力的大小發(fā) 生了改變，也可以用圖象的方法求變力功。如圖所示，物體m靜置在光滑的水平面上與一個輕彈簧相連，彈簧的另一端固定在墻上。若彈簧的勁度系數(shù)為K，現(xiàn)用一個水平向右的力F拉物體，使物體移動一段位移S，第一次拉力是恒力；第二次緩慢地拉物體。試求兩次拉力所做的功。因為第一次拉力是恒力，且拉力方向與運動方向相同，可以直接用公式（W = FS）求得，也可以作出F－S圖象（如圖）來求，顯然F－S圖線下的面積就是力F所做的功；第二次緩慢地拉物體時，拉力F一定是變力，它的大小任何時刻都跟彈簧的彈力大小相等，力的方向與運動的方向相同，也可以作出F－S圖象（如下圖）來求解。F－S圖線下的面積就是變力F所做的功。這是一個三角形的面積，面積等于底（S）乘高（KS）除以2，那么可得。 這種求變力功的方法可稱作圖象法。 三、小結(jié)： 功是能量轉(zhuǎn)換多少的量度，做功的過程就是能量轉(zhuǎn)換的過程。做了多少功就有多少能量轉(zhuǎn)化成另一種形式的能，或有多少能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體上。 要正確區(qū)分恒力功和變力功。公式只對恒力做功適用。不對具體問題作具體分析，而是靠套用公式解題是學(xué)習(xí)物理的最大障礙。 關(guān)于功率，要正確區(qū)分“平均功率”和“即時功率”。對于勻速直線運動來說，因為平均功率與即時功率相等，故沒有區(qū)分的必要。 在保證功率相同的情況下，因為功率P = Fv，所以