【正文】 此題由于強度為的點源恰好在以為半徑的圓周上，可以認為在邊界的外側有強度為的電源，在邊界的內(nèi)側（即反演點）有強度為的點源，為了保持圓內(nèi)流體流量的平衡。在圓心處要放置同樣強度的點匯?！尽?在如圖所示的半無限的平行槽內(nèi)的左下角，置有一強度為m的點源。試求其流動復勢及共軛復速度。 解：應用Schwarz變換，將這一半無限平行槽變換成平面的上半平面。 取下列為相對應點 而另一無限遠點需對應于，由Schwarz變換的性質(zhì)可知，對應于的項在變換式中將不出現(xiàn)。 因此，該變換式為 積分后得 為決定積分常數(shù)，應用對應點關系當 代入上式得 得 B=0當 有 得 [由于 ] 故變換函數(shù)為 或 在平面上，的對應點處應有一強度為2的點源[由于是全平面上點源的復勢，它只有一半流入上半平面] 故在平面上的復勢為 代回至平面，得 則共軛復速度 【】 設在圖示空氣對圓柱的有環(huán)量繞流中，已知A點為駐點。若，圓柱的半徑。試求：（1）另一駐點B及壓強最小點的位置；（2）圓柱所受升力大小及方向；（3）繪制大致的流譜。 解：作平移變換 ，則圓柱中心位于平面上的原點M， 則繞流復勢為 A點在平面上的坐標為，其中 據(jù)題意 因此 由于 故 單位長度上的升力 ，方向垂直，（逆時針方向轉） 用復數(shù)可表示為 將改用極坐標表示 故 在圓柱體表面 令 ，得兩駐點位置 故 得圓柱面上速度最大點 由伯努利方程可知，該點即是壓強p最小點。 流線譜如圖【】 兩個環(huán)量布置如圖所示，試：（1）寫出復勢，求出勢函數(shù)和流函數(shù)；（2）證明單位圓恰是一條流線；（3）將上述單位圓作為圓柱固壁，求處點渦對此圓柱體的作用力。 解：（1） 故 （2） 將 代入流函數(shù)中 常數(shù) 因此證明是一條流線。（3） 由公式 由于 在單位圓之外，故只需計算 的留數(shù) 因此 即 本題另一求解方法：由于這兩個點渦產(chǎn)生的誘導速度場使得它們均以 的速度向下運動。 由儒可夫斯基定理 這里的升力指與運動方向垂直?！尽?在半徑為a的圓筒內(nèi)距中心b處有一強度為的點渦，試描述該點渦的運動。 解：為使圓筒能成為一條流線，在圓筒外，必須設置一個內(nèi)部點渦的虛像，其強度為（轉向相反，即順時針轉向），設其位置距筒內(nèi)點渦的距離為h，則由關于圓的反演點的定義，應有 或者 圓筒內(nèi)點渦的運動，將由其筒外虛像所引起，虛像對它的誘導 速度為 由于點渦的運動永遠平行于壁面，故這時它將繞中心作等速圓周運動，運動的角 速度為 【】 如圖所示，寬為的無限高容器，在側壁高為處有一個小孔，流體以流量自小孔流出，證明復勢為 解：交換函數(shù)將容器寬度變?yōu)椋? 交換函數(shù)將平面上的容器內(nèi)區(qū)域變成平面上的上半平面（如圖） 故 在平面上，實軸為平面壁，點匯在實軸上 在處， 由于存在關系式 因此平面上的點匯在實軸上的 處， 根據(jù)平面壁鏡像原理，則 【】 在半徑為a的圓柱外及兩點處有強度為及的一對點渦，另有大小為的均流沿x軸正向流來，試寫出這一流動的復勢。 解：沒有圓柱時，均流及兩個點渦的復勢為 放入圓柱后，由圓定理可得均流及上述兩個點渦關于圓柱的虛像的復勢 為 總復勢 【】 設在流場中有一半徑為a的圓柱，距圓柱中心b處有一強度為的點渦。試證明（1）該點渦以角速度繞圓柱轉動； （2）圓柱表面的流體速度可表示為，其中為圓柱表面上所求速度點與點渦之間的距離。 解：（1）在（b，0）處點渦的復勢為 由于流場中有半徑為a的圓柱，根據(jù)圓定理 總的復勢為 復速度為 由于b點處點渦的運動由其在圓柱內(nèi)的虛像所引起，故其速度 可見，當該點渦恰好在實軸上時，有 角速度 （順時針方向） （2）圓柱表面上一點速度 以 代入共軛復速度表達式 得 故在圓柱 處速度為 轉換成極坐標系中的速度 由于，滿足，可見圓柱表面為流線。第6章 水波理論計算題 : 在岸上觀察到浮標每分鐘升降15次，試求波浪的圓頻率、波數(shù)k、波長和波速c（可視為無限深水波）。 解：浮標升降次數(shù)即為頻率 圓頻率 波數(shù) 波長 波速 已知一深水波周期，波高，試求其波長、波速、波群速以及波能傳播量。 解：圓頻率 波數(shù) 波長 波速 波群速 波能傳播量 在水深的水域內(nèi)有一微幅波，波振幅，波數(shù)，試求：（1）波長、波速、周期；（2）波面方程；（3）及處水質(zhì)點的軌跡方程。 解：（1） 波長 在實用上，由于 ， 故本題屬有限深度波。 波速 周期 （2） 波面方程 其中 故 （3） 在 及 處水質(zhì)點的軌跡方程 其中 在 故 軌跡方程為 已知在水深為處的海面上設置的浮標，由于波浪作用每分鐘上下升降12次，觀察波高為，試求此波浪的波長、水底的流速振幅以及波動的壓強變化振幅。 解： 按有限深度波計算 波速 圓頻率 周期 取 計算上式右邊得 從作圖法可知，上述超越方程的解 故 波長 波數(shù) 波幅 故速度勢可寫為 水底流速 水底流速振幅 壓強分布應用略去高階項的拉格朗日積分式 即 由于 實際上 的變化振幅即為壓強p的變化振幅 故 壓強變化振幅 ，　 求此相應流函數(shù)及復勢表達式。 解：流函數(shù)可通過速度勢，用柯西－黎曼條件求得 由 ， 得 故 由 而 故 ， 得 應用公式 ，及故 得 復勢表達式為 而 故 　　 上式中 （為復函數(shù)），下層流體（密度為）無限深，上層流體（密度為）深度為，并且有自由表面，在兩層流體的分界面和上表面同時有重力波傳播，試求圓頻率與波長的關系。 解：如圖，將坐標平面取在兩層流體的分界面上，軸垂直向上，則下層流體無限深水波的速度勢為 （） 對于上層流體，可從Laplace方程的通解，將速度勢寫成 （） 在分界面上，即，這兩種流體在方向速度相等 故 因而得 其次，由分界面上壓強連續(xù)條件 得 由于對微幅波 故 將 （）（）式代入上式 又由于在自由表面 有式 即 將 代入上式 得 從而可得到的3個方程，即 或 上述方程為齊次方程組，只有滿足 才有非零解。 展開上述行列式并整理得 從而解得 以及 第7章 粘性流體動力學選擇題： 速度v、長度l、重力加速度g的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。解：（）。 速度v、密度、壓強p的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。 解：（）。 速度v、長度l、時間t的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。 解：（）。 壓強差、密度、長度l、流量Q的無量綱集合是：（a）；（b）；（c）；（d）。 解：（）。 進行水力模型實驗，要實現(xiàn)有壓管流的動力相似，應選的相似準則是：（a）雷諾準則；（b）弗勞德準則；（c）歐拉準則；（d）其它。解：對于有壓管流進行水力模型實驗，主要是粘性力相似，因此取雷諾數(shù)相等 （） 雷諾數(shù)的物理意義表示：（a）粘性力與重力之比；（b）重力與慣性力之比；（c）慣性力與粘性力之比；（d）壓力與粘性力之比。解：雷諾數(shù)的物理定義是慣性力與粘性力之比（） 壓力輸水管模型實驗，長度比尺為8，模型水管的流量應為原型輸水管流量的：（a）1/2；（b）1/4；（c）1/8；（d）1/16。 解：壓力輸水管模型實驗取雷諾數(shù)相等即，若， 則，而 （） 判斷層流或紊流的無量綱量是：（a）弗勞德數(shù)；（b）雷諾數(shù)；（c）歐拉數(shù)；（d）斯特勞哈爾數(shù)。解：判斷層流和紊流的無量綱數(shù)為雷諾數(shù)，當為層流，否則為紊流。（b） 在安排水池中的船舶阻力試驗時，首先考慮要滿足的相似準則是：（a）雷諾數(shù)；（b）弗勞德數(shù)；（c）斯特勞哈爾數(shù)；（d）歐拉數(shù)。 解：在安排船模阻力試驗時，理論上要滿足雷諾準則和弗勞德準則，但數(shù)和數(shù)同時分別相等是很難實現(xiàn)的，而且數(shù)相等在試驗條件又存在困