【正文】 條非常重要的定義與性質(zhì)，其涵蓋了大量的題眼，在實(shí)際做題時(shí)非常好用。其含金量之高不僅在線(xiàn)代中是獨(dú)一無(wú)二的，在高數(shù)和概率兩門(mén)課的知識(shí)點(diǎn)中也很少見(jiàn)，希望你能重視：三個(gè)雙重定義：1. 秩的定義 ：矩陣中非零子式的最高階數(shù) ：向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)\無(wú)關(guān)的定義：a. 對(duì)于一組向量，若存在不全為零的數(shù)使得成立，則相量組線(xiàn)性相關(guān)，否則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng)全為0時(shí)才成立。b. 向量組線(xiàn)性相關(guān)243。向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余n1個(gè)向量線(xiàn)性表出；線(xiàn)性無(wú)關(guān)243。向量組中沒(méi)有一個(gè)向量可由其余的向量線(xiàn)性表出。2. 線(xiàn)性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：b. 向量形式：兩條性質(zhì)：：方陣可逆243。存在方陣使得243。243。的行\(zhòng)列向量組均線(xiàn)性無(wú)關(guān)243。243。可由克萊姆法則判斷有唯一解，而僅有零解。對(duì)于一般矩陣則有：243。的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)243。僅有零解，有唯一解。3. 齊次線(xiàn)性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線(xiàn)性相關(guān)，而非齊次線(xiàn)性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于是否可以由的列向量組線(xiàn)性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線(xiàn)性相關(guān)、行列式、秩、線(xiàn)性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁：性質(zhì)2性質(zhì)1中的“|A|≠0243。A的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)”行列式 線(xiàn)性相關(guān) 線(xiàn)性方程組 性質(zhì)1中的“r(A)=n243。A的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)”秩 以上這些是大量擴(kuò)展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識(shí)點(diǎn)時(shí)的必經(jīng)之路——“兵家必爭(zhēng)之地”，怎么重視都不為過(guò)。 另外，線(xiàn)性代數(shù)部分在考試時(shí)會(huì)經(jīng)常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來(lái)”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識(shí)面，說(shuō)不定在考試時(shí)就會(huì)有意外收獲：1. 一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線(xiàn)性表示。如果向量組可由向量組線(xiàn)性表示，則有。等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量；任何一個(gè)向量組都與它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)。2. 常見(jiàn)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組：齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。3. 關(guān)于秩的一些結(jié)論：；；；；；若有、滿(mǎn)足，則；若是可逆矩陣則有；同樣若可逆則有。非齊次線(xiàn)性方程組有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組僅有零解，若有無(wú)窮多解則有非零解；若有兩個(gè)不同的解則有非零解；若是矩陣而則一定有解，而且當(dāng)時(shí)是唯一解，當(dāng)時(shí)是無(wú)窮多解，而若則沒(méi)有解或有唯一解。 線(xiàn)代第五章《特征值和特征向量》相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)，歷年考研真題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會(huì)得到如此青睞，大概是因?yàn)榻鉀Q相關(guān)題目要用到線(xiàn)代中的大量?jī)?nèi)容——即有行列式、矩陣又有線(xiàn)性方程組和線(xiàn)性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”；著重考察這樣的知識(shí)點(diǎn)，在保證了考察面廣的同時(shí)又有較大的出題靈活性。從我們的角度來(lái)看，《特征值特征向量》這一章的內(nèi)容即少且條理清晰，雖然涉及其它很多知識(shí)，但需要探究的深層次聯(lián)系很少，故學(xué)好這個(gè)“必考點(diǎn)”實(shí)際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點(diǎn)如曲線(xiàn)、曲面積分要容易的多，這一點(diǎn)也是前面說(shuō)復(fù)習(xí)線(xiàn)代這門(mén)課很劃算的原因之一。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1. 特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法。就是記牢一系列公式如、和。在歷年真題中常用到下列性質(zhì)：若階矩陣有個(gè)特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、、分別有特征值、、且對(duì)應(yīng)特征向量等于所對(duì)應(yīng)的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣與矩陣等價(jià)（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時(shí)矩陣可通過(guò)初等變換化為矩陣，并有；當(dāng)中的、互逆時(shí)就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時(shí)滿(mǎn)足、并且、有相同的特征值。矩陣合同的定義是，其中為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若與合同或相似則與必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。3. 矩陣可相似對(duì)角化的條件。包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件，充要條件1是階矩陣有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件2是的任意重特征根對(duì)應(yīng)有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；充分條件1是有個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。4. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣極其相似對(duì)角化。階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可正交、相似于對(duì)角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對(duì)應(yīng)的幾個(gè)正交的特征向量組成。 其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以找到類(lèi)似于第三章向量與第四章線(xiàn)性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪作為思路的起點(diǎn)，直接乘來(lái)求比較困難，但如果有矩陣使得滿(mǎn)足（對(duì)角陣）的話(huà)就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)，而對(duì)角陣的冪就等于代如上式即得。而矩陣相似對(duì)角化的定義式正是。所以可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且中的、也分別是由的特征向量和特征值決定的。以上思路在本章的地位并不重要，因?yàn)榕c第三、四章知識(shí)點(diǎn)的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時(shí)這條思路一般不會(huì)被用到。而考察線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話(huà)。所以前面的討論可以用來(lái)輔助理解，但對(duì)于做題時(shí)打開(kāi)思路用處不大。 線(xiàn)代第六章《二次型》本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對(duì)于其它知識(shí)點(diǎn)僅要求了解。在理年真題中本章知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過(guò)大題。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣存在正交矩陣使得可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)的應(yīng)用。將本章與上一章中相似對(duì)角化部分的內(nèi)容作比較會(huì)有助于理解記憶“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型”的步驟及避免前后混淆，但因?yàn)榇缶V對(duì)本章要求不高，所以不必深究。27