【正文】 盤模型 這時有兩點需要強調(diào)：第一，基本崩盤模型中只考慮發(fā)生一次崩盤的情況，這樣崩盤之后期權(quán)頭寸的價值仍然是根據(jù)相應(yīng)的和t計算出來的BS價格。第二，由于我們已經(jīng)為期權(quán)建立了保值組合，對于整個組合來說，并非變動幅度越大，組合價值越低，而是會出現(xiàn)一個臨界點。Hua amp。 Wilmott發(fā)現(xiàn)，當(dāng)足夠大到 （）時，最糟糕的情況并不是發(fā)生在出現(xiàn)崩盤的時候，而是出現(xiàn)在正常的擴(kuò)散過程中，即A、B狀態(tài)中；如果小于上述臨界值，則崩盤將導(dǎo)致最差的結(jié)果。1. 大于臨界值的情形 ，我們將三種組合價值放在一個圖中，選擇一個，找到最低的組合價值，同時不斷改變值直到獲得這個最低價值的最大化，結(jié)果我們將發(fā)現(xiàn)當(dāng) （）時即時，組合的最低價值最大。這就是最優(yōu)的保值比率。選定之后，我們讓組合收益率等于無風(fēng)險收益率，即?？梢缘玫?（）這就是大于臨界值的情形下期權(quán)價值的計算公式。我們可以發(fā)現(xiàn)如果讓，和實際上就是BS模型中的對應(yīng)值。這是因為最差情況的發(fā)生與崩盤無關(guān)，因此在定價時無需考慮崩盤的影響。 最差的情形發(fā)生在擴(kuò)散過程中2. 小于臨界值的情形 當(dāng)小于臨界值，即最差的情況發(fā)生在崩盤的時候，我們必須考慮崩盤的影響。，這時我們應(yīng)該選擇的交點，即 （）來為期權(quán)定價，這時組合風(fēng)險最小。根據(jù)我們得到 （） 這就是小于臨界值的情形下期權(quán)價值的計算公式。由于考慮崩盤的影響，這時的就不再等于BS模型中的保值比率，期權(quán)價值公式也不能轉(zhuǎn)化為BS偏微分方程。 最差的情形發(fā)生在崩盤情況下 以上就是存在崩盤可能的情況下的期權(quán)定價公式，可以使用一般二叉樹模型的倒推法計算出的價值。二、崩盤模型的推廣 如果令式（）到（）中的，我們可以發(fā)現(xiàn)在滿足下面限制條件時仍然可以用BS公式來求?。夯颈辣P模型中的k是給定的，我們可以將這個假定擴(kuò)展到允許k位于一個區(qū)間內(nèi)，即假設(shè)，這樣期權(quán)價值就等于 可以從兩個方面來考慮多次崩盤：第一是對一段時間之內(nèi)的崩盤次數(shù)加以限制；第二是對崩盤之間的時間長度進(jìn)行限制。（1）限制崩盤總次數(shù)假設(shè)允許N次崩盤，崩盤時間不限。崩盤大小為下跌k%（當(dāng)然這個k也可以很容易的擴(kuò)展到一個區(qū)間）。定義（），這里的是在剩余時間內(nèi)，還允許次崩盤的期權(quán)價格，因此仍然是根據(jù)BS公式計算的價格。這樣針對每次崩盤，我們都可以根據(jù)一般模型的方法計算臨界值、值和，并根據(jù)二叉樹模型倒推出最初的期權(quán)價值。（2）限制崩盤頻率限制崩盤頻率時，需要引入一個新的變量，反映上一次崩盤到現(xiàn)在的時間間隔。如果發(fā)生崩盤的時間還沒到達(dá)，這時用來計算可能的最低價值；如果已經(jīng)允許發(fā)生崩盤，則用進(jìn)行計算?；痉椒ㄍ拗票辣P總次數(shù)的計算方法。三、崩盤模型的理解第六節(jié)所討論的跳躍擴(kuò)散模型有兩個缺點：無法實現(xiàn)完全保值；參數(shù)很難預(yù)測。而崩盤模型是對這兩個方面的一個補充。崩盤模型考慮了資產(chǎn)價格運動的極端情形，給出了最差情形下的期權(quán)定價，從而彌補了價格出現(xiàn)極端運動時保值失效的缺陷。這樣，除非我們非常不幸，最糟的情況確實發(fā)生了，否則我們就可以獲得更多的預(yù)期收益。同時崩盤模型沒有對崩盤發(fā)生的時間和規(guī)模分布作任何假設(shè)，減少了參數(shù)預(yù)測的問題，也沒有使用預(yù)期的概念。因而能夠更有效的考察巨幅變動發(fā)生的情景。實際上，崩盤模型和VaR（在險價值）相當(dāng)類似，它們都是對最糟糕情況下的情景分析，我們將在第十一章講解VaR的內(nèi)容。小結(jié)1. BS模型最基本的假設(shè)包括沒有交易成本、模型的參數(shù)如波動率、利率和紅利率為常數(shù)或者至少是確定的函數(shù)、標(biāo)的資產(chǎn)的價格服從對數(shù)正態(tài)分布等。這些假設(shè)在現(xiàn)實中都是難以成立的。2. 交易成本的存在，會影響我們進(jìn)行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價格，每一個投資者的不同頭寸位置都將會出現(xiàn)一個可行價格區(qū)間。HoggardWhalleyWilmott交易成本模型發(fā)現(xiàn)，交易成本對期權(quán)價格的影響與有關(guān)，考慮了交易成本后的期權(quán)模型是一個非線性方程，期權(quán)組合的價值不再是單個期權(quán)價值的簡單加總。3. 應(yīng)用期權(quán)的市場價格和BS公式推算出來的隱含波動率具有以下兩個方面的變動規(guī)律： “波動率微笑”和波動率期限結(jié)構(gòu)。這兩個規(guī)律的存在證明了波動率并非常數(shù)。隱含波動率成為市場交易者為期權(quán)定價的有力輔助工具。4. 人們擴(kuò)展出許多改進(jìn)波動率假設(shè)的模型，包括隨機波動率模型和GARCH模型。5. 面對不確定的參數(shù)，市場交易者采取的另一種方法是將它們設(shè)定在某個預(yù)測區(qū)間之內(nèi)而不是賦予它們一個確定的值，考慮在最悲觀的情況下期權(quán)至少值多少。這種方法能盡量降低損失風(fēng)險。6. Merton 提出的跳躍擴(kuò)散模型是對資產(chǎn)價格對數(shù)正態(tài)分布這一假設(shè)的改進(jìn)，它將跳躍引入到原先的擴(kuò)散方程中，使模型更符合現(xiàn)實，但是由于參數(shù)難以預(yù)測，方程一般無法獲得解析解，使得它們在現(xiàn)實中的使用仍不夠廣泛。7. 崩盤模型考慮的是在資產(chǎn)價格出現(xiàn)極端變動的情況下，可能導(dǎo)致的最大損失，從而為期權(quán)定價。附錄7A 本附錄中主要是歐式看漲期權(quán)的定價公式，可以利用看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系推出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價格。一、 復(fù)合期權(quán)模型基于無紅利股票的歐式看漲期權(quán)價值為：其中： 其中是第一個變量小于，第二個變量小于，而變量之間的相關(guān)關(guān)系為的二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積概率分布。當(dāng)前時刻為t時刻，期權(quán)在時刻到期，而變量是在時刻時的價值。二、 替代擴(kuò)散模型基于替代擴(kuò)散模型得到的股票歐式看漲期權(quán)價值為:其中: 在以上公式中，是風(fēng)險資產(chǎn)占總資產(chǎn)的初始比例，是初始債務(wù)與股權(quán)的比率，是風(fēng)險資產(chǎn)的波動率。如果存在已知紅利，則這些紅利按無風(fēng)險利率計復(fù)利到時刻的值應(yīng)從b中扣除。三、 絕對擴(kuò)散模型基于替代擴(kuò)散模型得到的股票歐式看漲期權(quán)價值為：其中： 這個公式假設(shè)股票價格的一個吸收障礙為零。習(xí)題1. 布萊克－舒爾斯定價模型的主要缺陷有哪些？2. 交易成本的存在對期權(quán)價格有什么影響？3. 怎樣理解下面這個觀點：組合中一份衍生證券合約的價值往往取決于該組合中其他合約的價值？4. 什么是波動率微笑、波動率期限結(jié)構(gòu)和波動率矩陣？它們的作用何在？5. 當(dāng)波動率是隨機的且和股票價格正相關(guān)時，人們在市場上可能會觀察到怎樣的隱含波動率？6. 假設(shè)一個股票價格遵循復(fù)合期權(quán)模型，隱含波動率會是怎樣的形狀？7. 如果我們對隨機波動率的概念進(jìn)一步深入下去，使得波動率的波動率也是隨機的，結(jié)果會如何？8. 設(shè)前一天收盤時Samp。P500為1040，指數(shù)的每天波動率為1％，GARCH(1,1)模型中的參數(shù)為。如果當(dāng)天收盤時Samp。P500為1060，則新的波動率估計為多少？（設(shè)＝0）9. 不確定參數(shù)模型的定價思想是什么？10. 如何理解跳躍擴(kuò)散模型和崩盤模型？11. 期權(quán)交易者常常喜歡把深度虛值期權(quán)看作基于波動率的期權(quán)，為什么？答案：1. （1）交易成本的假設(shè)：BS模型假定無交易成本，可以連續(xù)進(jìn)行動態(tài)的套期保值，但事實上交易成本總是客觀存在的。（2）波動率為常數(shù)的假設(shè)：實際上波動率本身就是一個隨機變量。（3）不確定的參數(shù)：BS模型假設(shè)波動率、利率、股利等參數(shù)都是已知的常數(shù)（或是已知的確定函數(shù)）。但事實上它們都不是一個常數(shù)，最為典型的波動率甚至也不是一個時間和標(biāo)的資產(chǎn)價格的確定函數(shù)，并且完全無法在市場觀察到，也無法預(yù)測。（4）資產(chǎn)價格的連續(xù)變動：在實際中，不連續(xù)是常見的，資產(chǎn)價格常常出現(xiàn)跳躍。2. 交易成本的存在，會影響我們進(jìn)行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價格：交易成本一方面會使得調(diào)整次數(shù)受到限制，使基于連續(xù)組合調(diào)整的BS模型定價成為一種近似；另一方面，交易成本也直接影響到期權(quán)價格本身，使得合理的期權(quán)價格成為一個區(qū)間而不是單個數(shù)值。同時，不同的投資者需要承擔(dān)的交易成本不同，具有規(guī)模效應(yīng)，即使是同一個投資者，處于合約多頭和空頭時，期權(quán)價值也不同。3. 在放松布萊克－舒爾斯模型假設(shè)之后，常常出現(xiàn)非線性的偏微分方程，這意味著同一個組合中的期權(quán)頭寸可能出現(xiàn)互相對沖和保值，減少了保值調(diào)整成本，從而使得整個組合的價值并不等于每個期權(quán)價值之和，因此組合中一份衍生證券合約的價值往往取決于該組合中其他合約的價值。4. 應(yīng)用期權(quán)的市場價格和BS公式推算出來的隱含波動率具有以下兩個方面的變動規(guī)律：（1）“波動率微笑”：隱含波動率會隨著期權(quán)執(zhí)行價格不同而不同；（2）波動率期限結(jié)構(gòu)：隱含波動率會隨期權(quán)到期時間不同而變化。通過把波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)放在一起，可以構(gòu)造出一個波動率矩陣，它是我們考察和應(yīng)用波動率變動規(guī)律的基本工具之一。波動率微笑和波動率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場不是這樣預(yù)期的。實際從業(yè)人員常常從隱含波動率矩陣中獲取市場對資產(chǎn)價格分布的信息和預(yù)期，從而為衍生證券尤其是那些交易不活躍的期權(quán)定價。5. 當(dāng)股票價格與波動率正相關(guān)時，隱含分布的左尾較小而右尾較大。當(dāng)股票價格上升時，波動率上升，較高的股票價格出現(xiàn)的概率變大（比波動率為常數(shù)時），當(dāng)股價下跌，波動率下降，較低的價格出現(xiàn)的概率較小。因此，隱含波動率將是股票價格的增函數(shù)。6. 復(fù)合期權(quán)模型下，股票價格分布右尾較對數(shù)正態(tài)分布小而左尾較大。實值看漲期權(quán)和虛值看跌期權(quán)的隱含波動率較高，而虛值看漲期權(quán)和實值看跌期權(quán)的隱含波動率較低。7. 隨機波動率的一般模型為：其中，我們可以再進(jìn)一步為建模：，然后可以再為b建模，一直下去。從理論上說，這樣當(dāng)然會越來越接近現(xiàn)實，精確度更高。隨著市場競爭的加劇，只有精確度提高才能獲得更高的利潤。但是這也同時要求更高的計算能力，即使計算能力許可，還需要考慮成本效益問題。這需要在模型的拓展和現(xiàn)實應(yīng)用方面作一定的權(quán)衡。8. ，因此。9. 不確定性參數(shù)模型的定價思想為：我們不再假設(shè)已經(jīng)知道參數(shù)的精確價值，而是假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個特定的區(qū)間之內(nèi)（我們選擇的區(qū)間代表了我們對期權(quán)或期權(quán)組合的參數(shù)值在有效期間上下限范圍的預(yù)測），之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。這樣，只要我們的參數(shù)區(qū)間不被突破，就可以保證永遠(yuǎn)不會損失。10. 跳躍擴(kuò)散模型除了使用原先的連續(xù)布朗運動來反映連續(xù)擴(kuò)散過程之外，還引入了泊松過程來描述資產(chǎn)價格的跳躍，這時過程中包括兩個部分，一是確定的部分，二是每隔一段時間常常會發(fā)生的非確定的跳躍。為了得到期權(quán)價值，Merton提出了一個重要的思想：即如果資產(chǎn)價格變化過程中的跳躍成分與整個市場無關(guān)的話，就不應(yīng)該獲得期望收益。盡管跳躍擴(kuò)散模型更接近現(xiàn)實，但是由于參數(shù)預(yù)測的困難、方程難以求解和完全保值的不可能性，使得它在現(xiàn)實中應(yīng)用不太廣泛。而崩盤模型的主要思想是：假設(shè)最糟糕的情況確實發(fā)生，度量標(biāo)的資產(chǎn)價格變化可能導(dǎo)致的最大損失，之后使用數(shù)值方法中的二叉樹模型，根據(jù)可能獲得的最低收益來為期權(quán)定價。從而彌補了價格出現(xiàn)極端運動時保值失效的缺陷。這樣，除非我們非常不幸，最糟的情況確實發(fā)生了，否則我們就可以獲得更多的收益。同時崩盤模型沒有對崩盤發(fā)生的時間和規(guī)模分布作任何假設(shè)，減少了參數(shù)預(yù)測的問題，也沒有使用預(yù)期的概念。因而能夠更有效的考察巨幅變動發(fā)生的情景。11. 一個深度虛值期權(quán)價值很低。波動率的降低進(jìn)一步降低了它的價值。然而，這個下降程度很小，因為期權(quán)價值不可能小于零。另一方面，波動率的提高可能導(dǎo)致期權(quán)價值的大幅（百分比）上升。因此，這樣的期權(quán)和基于波動率的期權(quán)具有一些相同的性質(zhì)。30 / 30