【正文】 盤模型 這時(shí)有兩點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)：第一，基本崩盤模型中只考慮發(fā)生一次崩盤的情況，這樣崩盤之后期權(quán)頭寸的價(jià)值仍然是根據(jù)相應(yīng)的和t計(jì)算出來的BS價(jià)格。第二，由于我們已經(jīng)為期權(quán)建立了保值組合，對于整個(gè)組合來說，并非變動(dòng)幅度越大，組合價(jià)值越低，而是會(huì)出現(xiàn)一個(gè)臨界點(diǎn)。Hua amp。 Wilmott發(fā)現(xiàn)，當(dāng)足夠大到 （）時(shí)，最糟糕的情況并不是發(fā)生在出現(xiàn)崩盤的時(shí)候，而是出現(xiàn)在正常的擴(kuò)散過程中，即A、B狀態(tài)中；如果小于上述臨界值，則崩盤將導(dǎo)致最差的結(jié)果。1. 大于臨界值的情形 ，我們將三種組合價(jià)值放在一個(gè)圖中，選擇一個(gè)，找到最低的組合價(jià)值，同時(shí)不斷改變值直到獲得這個(gè)最低價(jià)值的最大化，結(jié)果我們將發(fā)現(xiàn)當(dāng) （）時(shí)即時(shí)，組合的最低價(jià)值最大。這就是最優(yōu)的保值比率。選定之后，我們讓組合收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率，即?？梢缘玫?（）這就是大于臨界值的情形下期權(quán)價(jià)值的計(jì)算公式。我們可以發(fā)現(xiàn)如果讓，和實(shí)際上就是BS模型中的對應(yīng)值。這是因?yàn)樽畈钋闆r的發(fā)生與崩盤無關(guān)，因此在定價(jià)時(shí)無需考慮崩盤的影響。 最差的情形發(fā)生在擴(kuò)散過程中2. 小于臨界值的情形 當(dāng)小于臨界值，即最差的情況發(fā)生在崩盤的時(shí)候，我們必須考慮崩盤的影響。，這時(shí)我們應(yīng)該選擇的交點(diǎn)，即 （）來為期權(quán)定價(jià)，這時(shí)組合風(fēng)險(xiǎn)最小。根據(jù)我們得到 （） 這就是小于臨界值的情形下期權(quán)價(jià)值的計(jì)算公式。由于考慮崩盤的影響，這時(shí)的就不再等于BS模型中的保值比率，期權(quán)價(jià)值公式也不能轉(zhuǎn)化為BS偏微分方程。 最差的情形發(fā)生在崩盤情況下 以上就是存在崩盤可能的情況下的期權(quán)定價(jià)公式，可以使用一般二叉樹模型的倒推法計(jì)算出的價(jià)值。二、崩盤模型的推廣 如果令式（）到（）中的，我們可以發(fā)現(xiàn)在滿足下面限制條件時(shí)仍然可以用BS公式來求?。夯颈辣P模型中的k是給定的，我們可以將這個(gè)假定擴(kuò)展到允許k位于一個(gè)區(qū)間內(nèi)，即假設(shè)，這樣期權(quán)價(jià)值就等于 可以從兩個(gè)方面來考慮多次崩盤：第一是對一段時(shí)間之內(nèi)的崩盤次數(shù)加以限制；第二是對崩盤之間的時(shí)間長度進(jìn)行限制。（1）限制崩盤總次數(shù)假設(shè)允許N次崩盤，崩盤時(shí)間不限。崩盤大小為下跌k%（當(dāng)然這個(gè)k也可以很容易的擴(kuò)展到一個(gè)區(qū)間）。定義（），這里的是在剩余時(shí)間內(nèi)，還允許次崩盤的期權(quán)價(jià)格，因此仍然是根據(jù)BS公式計(jì)算的價(jià)格。這樣針對每次崩盤，我們都可以根據(jù)一般模型的方法計(jì)算臨界值、值和，并根據(jù)二叉樹模型倒推出最初的期權(quán)價(jià)值。（2）限制崩盤頻率限制崩盤頻率時(shí)，需要引入一個(gè)新的變量，反映上一次崩盤到現(xiàn)在的時(shí)間間隔。如果發(fā)生崩盤的時(shí)間還沒到達(dá)，這時(shí)用來計(jì)算可能的最低價(jià)值；如果已經(jīng)允許發(fā)生崩盤，則用進(jìn)行計(jì)算?；痉椒ㄍ拗票辣P總次數(shù)的計(jì)算方法。三、崩盤模型的理解第六節(jié)所討論的跳躍擴(kuò)散模型有兩個(gè)缺點(diǎn)：無法實(shí)現(xiàn)完全保值；參數(shù)很難預(yù)測。而崩盤模型是對這兩個(gè)方面的一個(gè)補(bǔ)充。崩盤模型考慮了資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)的極端情形，給出了最差情形下的期權(quán)定價(jià)，從而彌補(bǔ)了價(jià)格出現(xiàn)極端運(yùn)動(dòng)時(shí)保值失效的缺陷。這樣，除非我們非常不幸，最糟的情況確實(shí)發(fā)生了，否則我們就可以獲得更多的預(yù)期收益。同時(shí)崩盤模型沒有對崩盤發(fā)生的時(shí)間和規(guī)模分布作任何假設(shè)，減少了參數(shù)預(yù)測的問題，也沒有使用預(yù)期的概念。因而能夠更有效的考察巨幅變動(dòng)發(fā)生的情景。實(shí)際上，崩盤模型和VaR（在險(xiǎn)價(jià)值）相當(dāng)類似，它們都是對最糟糕情況下的情景分析，我們將在第十一章講解VaR的內(nèi)容。小結(jié)1. BS模型最基本的假設(shè)包括沒有交易成本、模型的參數(shù)如波動(dòng)率、利率和紅利率為常數(shù)或者至少是確定的函數(shù)、標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布等。這些假設(shè)在現(xiàn)實(shí)中都是難以成立的。2. 交易成本的存在，會(huì)影響我們進(jìn)行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價(jià)格，每一個(gè)投資者的不同頭寸位置都將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)可行價(jià)格區(qū)間。HoggardWhalleyWilmott交易成本模型發(fā)現(xiàn)，交易成本對期權(quán)價(jià)格的影響與有關(guān)，考慮了交易成本后的期權(quán)模型是一個(gè)非線性方程，期權(quán)組合的價(jià)值不再是單個(gè)期權(quán)價(jià)值的簡單加總。3. 應(yīng)用期權(quán)的市場價(jià)格和BS公式推算出來的隱含波動(dòng)率具有以下兩個(gè)方面的變動(dòng)規(guī)律： “波動(dòng)率微笑”和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)。這兩個(gè)規(guī)律的存在證明了波動(dòng)率并非常數(shù)。隱含波動(dòng)率成為市場交易者為期權(quán)定價(jià)的有力輔助工具。4. 人們擴(kuò)展出許多改進(jìn)波動(dòng)率假設(shè)的模型，包括隨機(jī)波動(dòng)率模型和GARCH模型。5. 面對不確定的參數(shù)，市場交易者采取的另一種方法是將它們設(shè)定在某個(gè)預(yù)測區(qū)間之內(nèi)而不是賦予它們一個(gè)確定的值，考慮在最悲觀的情況下期權(quán)至少值多少。這種方法能盡量降低損失風(fēng)險(xiǎn)。6. Merton 提出的跳躍擴(kuò)散模型是對資產(chǎn)價(jià)格對數(shù)正態(tài)分布這一假設(shè)的改進(jìn)，它將跳躍引入到原先的擴(kuò)散方程中，使模型更符合現(xiàn)實(shí)，但是由于參數(shù)難以預(yù)測，方程一般無法獲得解析解，使得它們在現(xiàn)實(shí)中的使用仍不夠廣泛。7. 崩盤模型考慮的是在資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)極端變動(dòng)的情況下，可能導(dǎo)致的最大損失，從而為期權(quán)定價(jià)。附錄7A 本附錄中主要是歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，可以利用看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系推出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。一、 復(fù)合期權(quán)模型基于無紅利股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)值為：其中： 其中是第一個(gè)變量小于，第二個(gè)變量小于，而變量之間的相關(guān)關(guān)系為的二元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積概率分布。當(dāng)前時(shí)刻為t時(shí)刻，期權(quán)在時(shí)刻到期，而變量是在時(shí)刻時(shí)的價(jià)值。二、 替代擴(kuò)散模型基于替代擴(kuò)散模型得到的股票歐式看漲期權(quán)價(jià)值為:其中: 在以上公式中，是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)占總資產(chǎn)的初始比例，是初始債務(wù)與股權(quán)的比率，是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率。如果存在已知紅利，則這些紅利按無風(fēng)險(xiǎn)利率計(jì)復(fù)利到時(shí)刻的值應(yīng)從b中扣除。三、 絕對擴(kuò)散模型基于替代擴(kuò)散模型得到的股票歐式看漲期權(quán)價(jià)值為：其中： 這個(gè)公式假設(shè)股票價(jià)格的一個(gè)吸收障礙為零。習(xí)題1. 布萊克－舒爾斯定價(jià)模型的主要缺陷有哪些？2. 交易成本的存在對期權(quán)價(jià)格有什么影響？3. 怎樣理解下面這個(gè)觀點(diǎn)：組合中一份衍生證券合約的價(jià)值往往取決于該組合中其他合約的價(jià)值？4. 什么是波動(dòng)率微笑、波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)和波動(dòng)率矩陣？它們的作用何在？5. 當(dāng)波動(dòng)率是隨機(jī)的且和股票價(jià)格正相關(guān)時(shí)，人們在市場上可能會(huì)觀察到怎樣的隱含波動(dòng)率？6. 假設(shè)一個(gè)股票價(jià)格遵循復(fù)合期權(quán)模型，隱含波動(dòng)率會(huì)是怎樣的形狀？7. 如果我們對隨機(jī)波動(dòng)率的概念進(jìn)一步深入下去，使得波動(dòng)率的波動(dòng)率也是隨機(jī)的，結(jié)果會(huì)如何？8. 設(shè)前一天收盤時(shí)Samp。P500為1040，指數(shù)的每天波動(dòng)率為1％，GARCH(1,1)模型中的參數(shù)為。如果當(dāng)天收盤時(shí)Samp。P500為1060，則新的波動(dòng)率估計(jì)為多少？（設(shè)＝0）9. 不確定參數(shù)模型的定價(jià)思想是什么？10. 如何理解跳躍擴(kuò)散模型和崩盤模型？11. 期權(quán)交易者常常喜歡把深度虛值期權(quán)看作基于波動(dòng)率的期權(quán)，為什么？答案：1. （1）交易成本的假設(shè)：BS模型假定無交易成本，可以連續(xù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)的套期保值，但事實(shí)上交易成本總是客觀存在的。（2）波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)：實(shí)際上波動(dòng)率本身就是一個(gè)隨機(jī)變量。（3）不確定的參數(shù)：BS模型假設(shè)波動(dòng)率、利率、股利等參數(shù)都是已知的常數(shù)（或是已知的確定函數(shù)）。但事實(shí)上它們都不是一個(gè)常數(shù)，最為典型的波動(dòng)率甚至也不是一個(gè)時(shí)間和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的確定函數(shù)，并且完全無法在市場觀察到，也無法預(yù)測。（4）資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變動(dòng)：在實(shí)際中，不連續(xù)是常見的，資產(chǎn)價(jià)格常常出現(xiàn)跳躍。2. 交易成本的存在，會(huì)影響我們進(jìn)行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價(jià)格：交易成本一方面會(huì)使得調(diào)整次數(shù)受到限制，使基于連續(xù)組合調(diào)整的BS模型定價(jià)成為一種近似；另一方面，交易成本也直接影響到期權(quán)價(jià)格本身，使得合理的期權(quán)價(jià)格成為一個(gè)區(qū)間而不是單個(gè)數(shù)值。同時(shí)，不同的投資者需要承擔(dān)的交易成本不同，具有規(guī)模效應(yīng)，即使是同一個(gè)投資者，處于合約多頭和空頭時(shí)，期權(quán)價(jià)值也不同。3. 在放松布萊克－舒爾斯模型假設(shè)之后，常常出現(xiàn)非線性的偏微分方程，這意味著同一個(gè)組合中的期權(quán)頭寸可能出現(xiàn)互相對沖和保值，減少了保值調(diào)整成本，從而使得整個(gè)組合的價(jià)值并不等于每個(gè)期權(quán)價(jià)值之和，因此組合中一份衍生證券合約的價(jià)值往往取決于該組合中其他合約的價(jià)值。4. 應(yīng)用期權(quán)的市場價(jià)格和BS公式推算出來的隱含波動(dòng)率具有以下兩個(gè)方面的變動(dòng)規(guī)律：（1）“波動(dòng)率微笑”：隱含波動(dòng)率會(huì)隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格不同而不同；（2）波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)：隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化。通過把波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)放在一起，可以構(gòu)造出一個(gè)波動(dòng)率矩陣，它是我們考察和應(yīng)用波動(dòng)率變動(dòng)規(guī)律的基本工具之一。波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場不是這樣預(yù)期的。實(shí)際從業(yè)人員常常從隱含波動(dòng)率矩陣中獲取市場對資產(chǎn)價(jià)格分布的信息和預(yù)期，從而為衍生證券尤其是那些交易不活躍的期權(quán)定價(jià)。5. 當(dāng)股票價(jià)格與波動(dòng)率正相關(guān)時(shí)，隱含分布的左尾較小而右尾較大。當(dāng)股票價(jià)格上升時(shí)，波動(dòng)率上升，較高的股票價(jià)格出現(xiàn)的概率變大（比波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)），當(dāng)股價(jià)下跌，波動(dòng)率下降，較低的價(jià)格出現(xiàn)的概率較小。因此，隱含波動(dòng)率將是股票價(jià)格的增函數(shù)。6. 復(fù)合期權(quán)模型下，股票價(jià)格分布右尾較對數(shù)正態(tài)分布小而左尾較大。實(shí)值看漲期權(quán)和虛值看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率較高，而虛值看漲期權(quán)和實(shí)值看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率較低。7. 隨機(jī)波動(dòng)率的一般模型為：其中，我們可以再進(jìn)一步為建模：，然后可以再為b建模，一直下去。從理論上說，這樣當(dāng)然會(huì)越來越接近現(xiàn)實(shí)，精確度更高。隨著市場競爭的加劇，只有精確度提高才能獲得更高的利潤。但是這也同時(shí)要求更高的計(jì)算能力，即使計(jì)算能力許可，還需要考慮成本效益問題。這需要在模型的拓展和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用方面作一定的權(quán)衡。8. ，因此。9. 不確定性參數(shù)模型的定價(jià)思想為：我們不再假設(shè)已經(jīng)知道參數(shù)的精確價(jià)值，而是假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個(gè)特定的區(qū)間之內(nèi)（我們選擇的區(qū)間代表了我們對期權(quán)或期權(quán)組合的參數(shù)值在有效期間上下限范圍的預(yù)測），之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。這樣，只要我們的參數(shù)區(qū)間不被突破，就可以保證永遠(yuǎn)不會(huì)損失。10. 跳躍擴(kuò)散模型除了使用原先的連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)來反映連續(xù)擴(kuò)散過程之外，還引入了泊松過程來描述資產(chǎn)價(jià)格的跳躍，這時(shí)過程中包括兩個(gè)部分，一是確定的部分，二是每隔一段時(shí)間常常會(huì)發(fā)生的非確定的跳躍。為了得到期權(quán)價(jià)值，Merton提出了一個(gè)重要的思想：即如果資產(chǎn)價(jià)格變化過程中的跳躍成分與整個(gè)市場無關(guān)的話，就不應(yīng)該獲得期望收益。盡管跳躍擴(kuò)散模型更接近現(xiàn)實(shí)，但是由于參數(shù)預(yù)測的困難、方程難以求解和完全保值的不可能性，使得它在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用不太廣泛。而崩盤模型的主要思想是：假設(shè)最糟糕的情況確實(shí)發(fā)生，度量標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化可能導(dǎo)致的最大損失，之后使用數(shù)值方法中的二叉樹模型，根據(jù)可能獲得的最低收益來為期權(quán)定價(jià)。從而彌補(bǔ)了價(jià)格出現(xiàn)極端運(yùn)動(dòng)時(shí)保值失效的缺陷。這樣，除非我們非常不幸，最糟的情況確實(shí)發(fā)生了，否則我們就可以獲得更多的收益。同時(shí)崩盤模型沒有對崩盤發(fā)生的時(shí)間和規(guī)模分布作任何假設(shè)，減少了參數(shù)預(yù)測的問題，也沒有使用預(yù)期的概念。因而能夠更有效的考察巨幅變動(dòng)發(fā)生的情景。11. 一個(gè)深度虛值期權(quán)價(jià)值很低。波動(dòng)率的降低進(jìn)一步降低了它的價(jià)值。然而，這個(gè)下降程度很小，因?yàn)槠跈?quán)價(jià)值不可能小于零。另一方面，波動(dòng)率的提高可能導(dǎo)致期權(quán)價(jià)值的大幅（百分比）上升。因此，這樣的期權(quán)和基于波動(dòng)率的期權(quán)具有一些相同的性質(zhì)。30 / 30