【正文】 也可以寫成： ),2,1(* * miYbZ ii?????即表示 Z*對(duì) bi的變化率。 其經(jīng)濟(jì)意義是：在其它條件不變的情況下，單位資源變化所引起的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的變化。即對(duì)偶變量 yi就是第 i 個(gè)約束條件的影子價(jià)格。 影子價(jià)格是在最優(yōu)決策下對(duì)資源的一種估價(jià)，沒有最優(yōu)決策就沒有影子價(jià)格，所以影子價(jià)格又稱“最優(yōu)計(jì)劃價(jià)格”，“預(yù)測價(jià)格”等等。 資源的影子價(jià)格定量的反映了單位資源在最優(yōu)生產(chǎn)方案中為總收益所做出的貢獻(xiàn)，因此，資源的影子價(jià)格也可稱為在最優(yōu)方案中投入生產(chǎn)的機(jī)會(huì)成本。 清華大學(xué)出版社 影子價(jià)格的作用 （ 1）指出企業(yè)挖潛革新的途徑 影子價(jià)格 0，說明該資源已耗盡，成為短線資源。 影子價(jià)格 =0，說明該資源有剩余，成為長線資源。 （ 2）對(duì)市場資源的最優(yōu)配置起著推進(jìn)作用 即在配置資源時(shí)，對(duì)于影子價(jià)格大的企業(yè)，資源優(yōu)先供給 （ 3）可以預(yù)測產(chǎn)品的價(jià)格 產(chǎn)品的機(jī)會(huì)成本為 CBB1AC，只有當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格定在機(jī)會(huì)成本之上，企業(yè)才有利可圖。 清華大學(xué)出版社 （ 4）可作為同類企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益評(píng)估指標(biāo)之一。 對(duì)于資源影子價(jià)格越大的企業(yè)，資源的利用所帶來的收益就越大，經(jīng)濟(jì)效益就越好。 通過以上討論可知： ① 只有某資源對(duì)偶解大于 0，該資源才有利可圖，可增加此種資源量；若某資源對(duì)偶解為 0，則不增加此種資源量。 ② 直接用影子價(jià)格與市場價(jià)格相比較，進(jìn)行決策，是否買入該資源。 清華大學(xué)出版社 四、對(duì)偶單純形法 對(duì)偶單純形的計(jì)算步驟： （ 1）根據(jù)線性規(guī)劃問題，列出初始單純形表。檢查 b列的數(shù)字，若都為非負(fù)，且檢驗(yàn)數(shù)都為非正，則已得到最優(yōu)解，停止計(jì)算。若檢查 b列的數(shù)字時(shí)，至少還有一個(gè)負(fù)分量，檢驗(yàn)數(shù)保持非正，轉(zhuǎn)（ 2）； （ 2）確定換出變量 按 對(duì)應(yīng)的基變量為換出變量； ? ?liii bBbBbB )(0)()(m i n 111 ??? ??（ 3）確定換入變量 在單純形表中檢查所在的行的系數(shù) ， 若所有的 ，則無可行解，停止計(jì)算。若存在 ，計(jì)算 ),2,1( nja lj ??0?lja 0?ljalkkkljljjji azcaazc ???????????? ??? 0m i n?清華大學(xué)出版社 按 Θ規(guī)則，所對(duì)應(yīng)的列變量的非基變量為換入變量； （ 4）以 為主元素，按單純形法進(jìn)行換基迭代，得到新的單純形表； 重復(fù)（ 1）－（ 4）的步驟進(jìn)行計(jì)算。 lka例 1－ 23 用對(duì)偶單純形法求解： ?????????????????????)(0145 1232102215129m i n321321321321jxxxxxxxxxxxxxZj清華大學(xué)出版社 對(duì)偶單純形的優(yōu)點(diǎn)與用途： （ 1）初始解可以是非可行解，當(dāng)檢驗(yàn)數(shù)都是負(fù)數(shù)時(shí)，就可以進(jìn)行基變換，這樣避免了增加人工變量，使運(yùn)算簡便。 （ 2）對(duì)變量較少時(shí)，而約束條件很多的線性規(guī)劃問題，可先將其變?yōu)閷?duì)偶問題，再用對(duì)偶單純形求解，簡化計(jì)算。 （ 3）用于后面的靈敏度分析。 清華大學(xué)出版社 五、靈敏度分析 在前面的線性規(guī)劃問題討論中，都是假定為常數(shù)，但實(shí)際工作中這些系數(shù)往往是估計(jì)值和預(yù)測值。如市場條件發(fā)生變化，價(jià)值系數(shù)就會(huì)發(fā)生變化；當(dāng)資源投入量發(fā)生改變時(shí)，也隨著發(fā)生變化；當(dāng)工藝條件發(fā)生改變時(shí)，也隨著工藝的變化而變化。因此當(dāng)這些系數(shù)有一個(gè)或幾個(gè)發(fā)生變化時(shí)，已求得的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解會(huì)有什么變化？或者這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解不發(fā)生變化。 因此我們在進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，要弄清楚： 1）系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解（基）不變； 2）若系數(shù)的變化使最優(yōu)解發(fā)生變化，如何最簡便地求得新的最優(yōu)解。 下面分別就各個(gè)參數(shù)改變后的情形進(jìn)行討論。 例 1－ 25 已知某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn) 3種產(chǎn)品 A、 B、 C，其資源消耗與利潤如表 1－ 41所示。 清華大學(xué)出版社 A B C 資源量 甲 1 1 1 12 乙 1 2 2 20 利潤 5 8 6 問：如何安排產(chǎn)品產(chǎn)量，可獲最大利潤？ 解：設(shè)三種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為 x x x3。其數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)型為 maxZ=5x1 +8x2 +6x3 x1 +x2 +x3+x4=12 x1 +2x2 +2x3+x5=20 x1 , x2 ,x3,x4,x50 清華大學(xué)出版社 該問題的初始單純形表如表 1－ 42所示。 表 1－ 42 5 8 6 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x4 12 1 1 1 1 0 0 x5 20 1 2 2 0 1 0 5 8 6 0 0 清華大學(xué)出版社 經(jīng)過計(jì)算得最優(yōu)表如表 1－ 43。 表 1－ 43 5 8 6 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 5 x1 4 1 0 0 2 1 8 x2 8 0 1 1 1 1 84 0 0 2 2 3 這時(shí)最優(yōu)方案為 X=(4,8,0)T,目標(biāo)值為 84。 清華大學(xué)出版社 目標(biāo)函數(shù)中的價(jià)值系數(shù) Cj的靈敏度分析 （ 1）、非基變量的價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析 由于檢驗(yàn)數(shù) σj= cj－ CBB1 Pj， 因此 的改變，只使檢驗(yàn)數(shù) 發(fā)生改變，其它不變。 ① 如果 的改變，檢驗(yàn)數(shù) 仍小于零時(shí)，這時(shí)對(duì)最優(yōu)解方案沒有影響。 在例 1－ 25中，如果改變 ，使 時(shí)，原最優(yōu)方案不發(fā)生改變。 ②若改變?yōu)?10時(shí)， ，這時(shí)原方案已不是最優(yōu)方案。這時(shí)單純形表變?yōu)楸?1－ 44。 jcj?jc j?3c13 3 3 3 32 1 1( 5 , 8 ) 8 01 1 2Bc C B P c c?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?3 20? ??清華大學(xué)出版社 5 8 10 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 5 x1 4 1 0 0 2 1 8 x2 8 0 1 [1] 1 1 84 0 0 2 2 3 5 8 10 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 5 x1 4 1 0 0 2 1 10 x3 8 0 1 1 1 1 100 0 2 0 0 5 表 1－ 45 單位產(chǎn)品 C3的利潤為 10時(shí)，則最優(yōu)方案調(diào)整為 X=(4,0,8)T,目標(biāo)值為 100。 清華大學(xué)出版社 （ 2）、基變量的價(jià)值系數(shù) 的靈敏度分析 ①如果 的改變，使全部檢驗(yàn)數(shù) 仍小于零時(shí)，這時(shí)對(duì)最優(yōu)解方案沒有影響，但對(duì)最優(yōu)值發(fā)生改變。 在例 1－ 25中，如果 改變，使 jcjc j?1c0)8,82,2,0,0( 1111012022)8,()0,0,6,8,(11111?????????????????? ?ccccABCC BA?即 解得 ，這時(shí)原最優(yōu)方案不發(fā)生改變。即單位產(chǎn)品 A的利潤在 [4,8]之間變化時(shí) ,最優(yōu)方案不變，但最優(yōu)值為 。 ????????0808211cc84 1 ?? c1464 c?清華大學(xué)出版社 ② 若改變?yōu)?10時(shí)， ，這時(shí)需要換基迭代。這時(shí)原方案已不是最優(yōu)方案。這時(shí)單純形表變?yōu)楸?1－ 46 表 1－ 46 025 ???10 8 6 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 10 x1 4 1 0 0 2 1 8 x2 8 0 1 1 1 [1] 104 0 0 2 12 2 清華大學(xué)出版社 表 1－ 47 10 8 6 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 10 x1 12 1 1 1 1 0 0 x5 8 0 1 1 1 1 120 0 2 4 10 0 單位產(chǎn)品 A的利潤為 10時(shí)，則最優(yōu)方案調(diào)整為 X=(12,0,0)T,目標(biāo)值為 120。 清華大學(xué)出版社 資源約束數(shù)量 b的靈敏度分析 從矩陣形式的單純形表 1－ 48中可以看出， b的變化只影響最優(yōu)解的變化和最優(yōu)值的變化。 表 1－ 48 b X XB B1b B1A Z C BB1b CC BB1A 因此，當(dāng) 時(shí)，最優(yōu)基不變（即生產(chǎn)產(chǎn)品的品種不變，但數(shù)量及最優(yōu)值會(huì)變化）。 是一個(gè)不等式組，從中可以解得 b的變化范圍，若 B1b中有小于 0的分量，則需用對(duì)偶單純形法迭代，以求出新的最優(yōu)方案。 01 ?? bB01 ?? bB清華大學(xué)出版社 添加新變量的靈敏度分析 在例 1－ 25中，若新開發(fā)新產(chǎn)品 D，該單位產(chǎn)品需要消耗原材料甲： 3個(gè)單位，乙： 2個(gè)單位，可以得利潤 10。 問：投產(chǎn)產(chǎn)品 D是否有利？ 0212102311 12)8,5(106166 ??????????????????????? ? PBCcB?因此最優(yōu)方案不變。投產(chǎn)產(chǎn)品 D無利 。 （ 1）、產(chǎn)品 D的利潤為多少時(shí)，投產(chǎn)產(chǎn)品 D有利？ 只有 時(shí)， 才能進(jìn)入基，也就是說產(chǎn)品 D才能生產(chǎn)，這時(shí)解得 。即當(dāng) 時(shí)，投產(chǎn)產(chǎn)品 D才有利。 01266166 ????? ? cPBCc B? 6x126 ?c 126 ?c清華大學(xué)出版社 添加新約束的靈敏度分析 在例 1－ 25中，假設(shè)電力供應(yīng)緊張，若電力供應(yīng)最多為 13單位，而生產(chǎn)產(chǎn)品 A、 B、 C每單位需電力分別為 3個(gè)單位，問該公司生產(chǎn)方案是否需要改變？ 解：先將原問題的最優(yōu)解 x1＝ 4， x2＝ 8， x3＝ 0代入電力約束條件 2x1+x2+3x3?13。因?yàn)? ，故原問題最優(yōu)解已經(jīng)不是新約束條件下的最優(yōu)解。 在電力約束條件中加入松弛變量得 2x1+x2+3x3＋ x6＝ 13 以 x6為基變量，將上式反映到最終單純形表中得到表 1－ 53 1316824 ????清華大學(xué)出版社 表 1－ 53 5 8 6 0 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 x1 4 1 0 0 2 1 0 8 x2 8 0 1 1 1 1 0 0 x6 13 2 1 3 0 0 1 84 0 0 2 2 3 0 在表 1－ 53中， x x x6為基變量，因此所對(duì)應(yīng)的列向量應(yīng)為單位向量，因此經(jīng)計(jì)算得表 1－ 54。 表 1－ 54 5 8 6 0 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 x1 4 1 0 0 2 1 0 8 x2 8 0 1 1 1 1 0 0 x6 － 3 0 0 2 [－3] 1 1 84 0 0 2 2 3 0 清華大學(xué)出版社 利用對(duì)偶單純形法計(jì)算得表 1－ 55 表 1－ 55 5 8 6 0 0 0 XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 x1 2 1 0 4/3 0 1/3 2/3 8 x2 9 0 1 1/3 0 2/3 1/3 0 x4 1 0 0 2/3 1 1/3 1/3 82 0 0 10/3 0 11/3 2/3 增加電力約束后，這時(shí)生產(chǎn)方案為：生產(chǎn) A產(chǎn)品 1件，生產(chǎn) B產(chǎn)品 9件。目標(biāo)值為 82。 清華大學(xué)出版社 技術(shù)系數(shù)改變 (計(jì)劃生產(chǎn)的產(chǎn)品工藝結(jié)構(gòu)發(fā)生改變 ) （ 1）、非基變量的工藝發(fā)生改變 當(dāng) 是非基變量 的系數(shù)時(shí)，它的變化不會(huì)改變 ,它只影響單純形表 列，只是對(duì)檢驗(yàn)數(shù)有影響，也就是看檢驗(yàn)數(shù)是大于零還是小于零，利用新增變量的靈敏度分析的類似方法解決。 ija jx 1?BjP基變量的工藝發(fā)生改變 當(dāng) 是基變量 的系數(shù)時(shí)，它的變化會(huì)使發(fā)生改變 ，所以最終單純形表 也要發(fā)生變化，若在例 1－ 25中，生產(chǎn)產(chǎn)品 A的工藝發(fā)生改變，生產(chǎn)產(chǎn)品 A對(duì)甲、乙原材料的需求分別為 2， 2。 單位產(chǎn)品