【正文】 1 2i i i k k i iY X X X i n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ， ， ， (623) Xi?用 代表所有的解釋變量，我們假定第 i個(gè)隨機(jī)誤差 的方差為如下形式 2 2 2( ) ( ) ( )i i i iV a r E f X? ? ? ?? ? ?( ) 0ifX ?()ifX其中 是某些導(dǎo)致異方差的解釋變量觀察值的函數(shù)。 該式表明 去除原模型，使之變成如下形式的新模型： 隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差與某些解釋變量之間存在相關(guān)性，那么我們可以用 進(jìn)一步改寫為： 0 1 1 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )11( ) ( )i i ii i i ik k i iiiY X Xf X f X f X f XXf X f X? ? ???? ? ? ???* * * * *0 0 1 1 2 2i i i i k k i iY X X X X v? ? ? ?? ? ? ? ? ?(624) 其中， **0 1 111 , , ( ) ( )i i iiiX X Xf X f X??其余類似。 在 (624)式中，隨機(jī)誤差項(xiàng) iv 的方差為 222(1( ) ()() ( )1()())iiiiiif X f XVar v Var VarfXfX???????? ????????上面的加權(quán)最小二乘例子實(shí)際上就是對(duì)加了權(quán)的殘差平方和實(shí)施 OLS估計(jì)，即求解 220 1 11 ? ? ?m in ( ) m in ( )()i i i i k k iiw e Y X XfX? ? ????? ??? ? ? ? ??? ??????0221111m in m in ? ? ?()i k kiiiiiXXeY ??? ?? ??? ? ? ???? ???? ??? ? ??????如果直接用 11()i i iw fX? ???干擾項(xiàng)的方差等于 1，它也滿足同方差性，此時(shí)加權(quán)最小二乘法就是對(duì)如下加了權(quán)的 模型進(jìn)行 OLS回歸： 作為權(quán)數(shù)，則容易驗(yàn)證變換后的模型的隨機(jī) 如果我們確實(shí)知道回歸模型隨機(jī)干擾項(xiàng)是異方差的，而且我們知道異方差形式，那么我們應(yīng)該用加權(quán)最小二乘法。 但是有時(shí)候即使模型隨機(jī)干擾項(xiàng)滿足同方差假設(shè)，我們可能仍然需要用加權(quán)最小二乘來(lái)估計(jì)模型。 例如 :當(dāng)我們估計(jì)個(gè)體水平模型中的參數(shù)時(shí)，盡管個(gè)體水平模型中的干擾項(xiàng)滿足基本假設(shè)，但如果個(gè)體水平的資料不能得到，而 只能得到某些組或某些地理區(qū)域中的個(gè)體的平均水平資料 ，這時(shí)估計(jì)模型就必須用加權(quán)最小二乘法（權(quán)重為個(gè)體規(guī)模數(shù)），因?yàn)橛闷骄降馁Y料來(lái)估計(jì)個(gè)體 水平的模型，必然會(huì)出現(xiàn)異方差性的問(wèn)題。 用個(gè)體規(guī)模作為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計(jì)的前提是 個(gè)體水平的回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足同方差假設(shè) 。如果個(gè)體水平模型隨機(jī)誤差項(xiàng)是異方差的，那么正確的權(quán)重應(yīng)取決于異方差的形式。這就是為什么越來(lái)越多的研究者在用人均資料估計(jì)模型時(shí)只簡(jiǎn)單計(jì)算穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量 。 另一個(gè)變通的方法是根據(jù)個(gè)體規(guī)模來(lái)加權(quán)，但只報(bào)告 WLS估計(jì)中異方差穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)量。這樣可以確保在個(gè)體水平資料滿足基本假設(shè)時(shí)，估計(jì)結(jié)果有效；在個(gè)體水平資料存在異方差時(shí)，通過(guò)穩(wěn)健推斷來(lái)描述，估計(jì)是有用的。 （二）異方差形式未知時(shí)的估計(jì) —— 可行的加權(quán)最小二乘法 定義： ()ifX?()ifX 我們把估計(jì)的 記為 而不是用 的權(quán)重函數(shù)得到的估計(jì)量稱為可行的 加權(quán)最小二乘估計(jì)量 （ FWLS）。 有很多方法模型化異方差形式，這里介紹一種特殊的、比較靈活的方法 ()ifX ，用 ?()ifX作為 WLS估計(jì)中 假定隨機(jī)誤差 i? 的方差為 （ 627） 2 0 1 1 2 2( ) e xp ( )i i i k k iV ar X X X? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?12, , , kX X X j?這里 是原回歸模型中的解釋變量， 是未知的參數(shù)， 如果用前面 的異方差表達(dá)式，那么這里 0 1 1 2 2( ) e x p ( )i i i k k if X X X X? ? ? ?? ? ? ? ?案例分析 一、問(wèn)題的提出和模型設(shè)定 為了給制定醫(yī)療機(jī)構(gòu)的規(guī)劃提供依據(jù) ， 分析比較醫(yī)療機(jī)構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系 ， 建立衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型 。 假定醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)之間滿足線性約束 ，則理論模型設(shè)定為： 其中 表示衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù) ， 表示人口數(shù) 。 iYiX12i i iY = b + b X + uiY四川省 2022年各地區(qū)醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù) 地區(qū) 人口數(shù)（萬(wàn)人） 醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)） 地區(qū) 人口數(shù)（萬(wàn)人） 醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)） 成都 6304 眉山 827 自貢 315 911 宜賓 1530 攀枝花 103 934 廣安 1589 瀘州 1297 達(dá)州 2403 德陽(yáng) 1085 雅安 866 綿陽(yáng) 1616 巴中 1223 廣元 1021 資陽(yáng) 1361 遂寧 371 1375 阿壩 536 內(nèi)江 1212 甘孜 594 樂(lè)山 1132 涼山 1471 南充 4064 X Y X Y二、參數(shù)估計(jì) 估計(jì)結(jié)果為 : 2? 56 3. 05 48 5. 37 35( 1. 93 11 ) ( 8. 34 03 )0. 78 55 , se 50 8. 26 65 , 69 .5 6iiYXRF??? ? ?檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷漠惙讲? （ 一 ） 圖形法 1. EViews軟件操作 由路徑： Quick/Qstimate Equation，進(jìn)入 Equation Specification窗口，鍵入 ，點(diǎn)“ ok”，得樣本回歸估計(jì)結(jié)果。 y c x（ 1） 生成殘差平方序列 。 在得到表 ， 用生成命令生成序列， 記為 。 生 成 過(guò) 程 如 下 ， 先 按 路 徑 ：Procs/Generate Series， 進(jìn)入 Generate Series by Equation對(duì)話框 ， 鍵入下式并點(diǎn) “ OK”即可： 2e2 re s i d ^ 2e ?2ie生成序列圖示 （ 2） 繪制 對(duì) 的散點(diǎn)圖 。 選擇變量名 與 。 （ 注意選擇變量的順序 ， 先選的變量將在 圖形中表示橫軸 ， 后選的變量表示 縱軸 ） ， 進(jìn)入數(shù) 據(jù)列表 ， 再按路 徑 view/ graph/ scatter， 可得散 點(diǎn)圖 ， 見(jiàn)右圖： 2te tX X2e 由圖可以看出 ， 殘差平方 對(duì)解釋變量 的散點(diǎn)圖主要分布在圖形中的下三角部分 ， 大致看出殘差平方 隨 的變動(dòng)呈增大的趨勢(shì) ， 因此 ， 模型很可能存在異方差 。 但是否確實(shí)存在異方差還應(yīng)通過(guò)更進(jìn)一步的檢驗(yàn) 。 2ie2ieiXX異方差的修正 加權(quán)最小二乘法 （ WLS） 分別選用權(quán)數(shù) : 生成權(quán)數(shù)： 在 Genr/Enter equation中 分別鍵入： 經(jīng)估計(jì)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)用權(quán)數(shù) 較好，下面只給出用權(quán) 數(shù) 的結(jié)果。 1 2 321 1 1,t t ttt tw w wXXX? ? ?2tw1 1 /wX? 2 1 / ^ 2wX? 3 1 / s q r t( )wX?2tw方法 :在 Estimate equation 中輸入“ ” ,點(diǎn) option,在對(duì)話框中點(diǎn) weighted LS,在 weighted 中輸入“ ” 再點(diǎn) ok ,即出現(xiàn)加權(quán)最小二乘結(jié)果。 2w y c x表 估計(jì)結(jié)果： 結(jié)論 : 運(yùn)用加權(quán)小二乘法消 除了異方差性后，參數(shù)的 t檢驗(yàn) 均顯著，可決系數(shù)大幅提高， F檢驗(yàn)也顯著，并說(shuō)明人口數(shù) 量每增加 1萬(wàn)人，平均說(shuō)來(lái)將 增加 ，而 不是引子中得出的增加 個(gè)醫(yī)療機(jī)構(gòu)。 2? 3 6 8 .6 0 9 0 2 .9 5 3 0( 4 .3 7 9 4 ) ( 3 .5 8 9 4 )0 .9 3 8 7 , D W 1 .7 0 6 0 ,se 2 7 6 .0 4 9 3 , 1 2 .8 8 3 8iiYXRF?????