【正文】 ，是不穩(wěn)定的極限環(huán)，整體刻畫如圖 413。 圖 413 范德坡方程極限環(huán)整體刻畫 由上面分析可知，傳統(tǒng) LC振蕩電路中輸出的波形嚴格說來不是正弦波，頻率也不很穩(wěn)定，為了使 LC振蕩輸出正弦波不失真與幅度穩(wěn)定，需要對圖 412（ a）的放大電路加入交流負反饋或者采取其它穩(wěn)幅措施，為了穩(wěn)定正弦波頻率，需要增加諧振回路 Q值或者使用晶體振蕩器 .從范德坡方程來看，就是使其相圖更接近圓形。 三、范德坡方程數(shù)值分析 下面用 VB編寫簡單的程序進行仿真，使用四階龍格 庫塔法。編寫程序的思想是，在預(yù)測的極限環(huán)內(nèi)外分別選擇一個坐標點作為初始條件，現(xiàn)選 (,)、 (,3)，分別從這兩個初始點上迭代，為了提高運算精度，算法使用四階龍格 庫塔算法。為了顯示結(jié)果的數(shù)量化表示，程序用了較多的篇幅編寫坐標顯示圖形。 程序運行結(jié)果如圖 414所示，圖中 181。值分別是 、 、0、 、 、 3的仿真結(jié)果，圖中從（ d）開始， 181。值 0，顯示出清晰的極限環(huán)。 (a) 181。= (b) 181。= (c) 181。=0 (d) 181。= (e) 181。= (f) 181。=1 (g) 181。=2 (h) 181。=3 圖 414 范德坡方程極限環(huán) 圖 415 MATLAB的范德坡波形與極限環(huán)運行結(jié)果 167。 4普通混沌電路 一、研究普通混沌電路的背景與意義 前面討論過的各種各樣的混沌電路以及所依據(jù)的非線性方程，由于歷史的原因或者其它原因，從電子電路設(shè)計的角度來看，總是帶有“特殊性”的“手工工藝品”，使得這些非線性電路設(shè)計不很流暢?，F(xiàn)代電子電路發(fā)展很快，可以提供的電路設(shè)計手段很多，另一方面，非線性方程也很多。因而，用電子電路設(shè)計非線性動力系統(tǒng)是很容易的，稍微使用一些電路技巧就可以設(shè)計出很多很靈活的非線性電路系統(tǒng)。 電子電路的內(nèi)容既豐富又靈活，像一座大舞臺，電子學(xué)工作者們在這里創(chuàng)造了一個又一個電子電路的奇跡。如果說前面幾節(jié)講述的著名非線性電路是著名科學(xué)家在特定領(lǐng)域內(nèi)創(chuàng)造的奇跡，那么，本節(jié)敘述的就是廣大的電子工作者各顯神通壯闊場面。 二、非線性電路組成單元 一個非線性電路是由幾個基本單元電路組成的，這些基本單元電路多數(shù)是線性基本單元電路，而非線性基本單元電路很少，一般是一個。線性基本單元電路有的僅是一個單一線性電路元件，如電阻器、點容器、電感器等，有的是一個線性單元電路，如工作在線性放大區(qū)的反向比例放大器、反向加法器、減法器、同向放大器、反向微分器、反向積分器等，如圖 416所示。 RRfRRf+_VoutRRfVin2VoutVin1RRRfVin2VoutVin1R1R2VoutVin+_+_+_R+_VoutCR+_VoutCVinVin(a)(b)(c)(d) (e)(f) Vin(a)反向比例放大器 (b)反向加法器 (c)減法器 (d) 同向放大器 (e) 反向微分器 (f) 反向積分器 圖 416 非線性電路設(shè)計常用的線性單元電路 經(jīng)常用到的非線性單元電路有：限幅運算放大器、乘法器、絕對值器、正向電壓傳送器、反向電壓傳送器、運算符號器、正向階躍信號器等。這些非線性單元電路有的是一個單一電子元件，如二極管 。 有的是不太復(fù)雜的基本電路，如表 43所示。表中的改進電路主要是對于基本電路的阻抗的改進。 表 43 常用的非線性單元電路 當(dāng)前的電子電路系統(tǒng)與其它學(xué)科相比，能夠產(chǎn)生更多的非線性動態(tài)系統(tǒng)，這是因為電子電路系統(tǒng)內(nèi)容很多，設(shè)計靈活，價格低廉，以上所述的非線性單元電路僅僅是其中的一部分，就呈現(xiàn)出很多的類型了，這也是電子電路系統(tǒng)成為非線性學(xué)科中比較活躍的一個領(lǐng)域的主要原因。 下面舉例介紹幾個能夠產(chǎn)生非線性特性的電子電路系統(tǒng)。 三、一種由運算放大器為主要元件構(gòu)成的混沌電路 運算放大器自身的限幅特性是典型的非線性特性，使得非線性或分段線性器件無須特意構(gòu)造，簡化了電路設(shè)計。一個具體的運算放大器混沌電路如圖 417所示，它是由反相加法器、反相積分器、比例放大器等線性運算單元構(gòu)成的一個三階非線性自治電路。 C21uR110KR310KR51K+_C11uR41K+_R210K+_R910KR1110KR1010K+_R610KR8300KR710K+_C31uR121K+_R1410KR1310K+_+_+_P21KP11KY XZf(y,z)yzA7A4A9A3A1 A2A5A8A6圖 417 一種以運算放大器為主構(gòu)成的混沌電路 0 Vc1/KVc1Vc1Vc1/Kyzf(y,z)圖 418 運算放大器限幅特性曲線 ???????????)( yzfyzzxyyxba???是標準的三階自治微分方程。函數(shù)式 f(y,z)是唯一非線性項 。 圖 419畫出了在參數(shù) β=，改變參數(shù) α得到的幾個 yz平面上的軌道投影。圖中由左至右表示 α從最大值 0依次減少時的軌道演變過程。軌道先是一個模糊的左右連通的 2個單圈，僅表示運動的過渡，逐漸變成清晰的 2個單圈，表示一種周期運動 。 α繼續(xù)減少時， 2個單圈變成 2個模糊的 2圈，表示一種混沌運動，之后是 2個清晰的 2圈，表示周期運動； 再之后是 2個模糊的 3圈，2個清晰的 3圈，這樣混沌、周期地交替變化。 (a)k=30α== (b) k=30α== (c) k=30α== (d)k=30,α=,β= (e) k=30,α=,β= (f) k=30,α=,β= (g)k=30,α=,β= (h) k=30,α=,β= (i) k=30,α=,β= (j)k=30,α=,β= (k) k=30,α=,β= (l) k=30,α=,β= 圖 419 周期與混沌軌道的吸引子 四、能夠產(chǎn)生混沌的三階自治微分方程電路 正如自然界普遍存在著混沌運動一樣，電子線路中也普遍存在著混沌現(xiàn)象，有些電路的混沌現(xiàn)象是不可控制的、無用且有害的。有用的混沌電路都是精心設(shè)計的電路，如蔡氏電路等。隨著數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生態(tài)學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域的混沌科學(xué)的迅速發(fā)展，出現(xiàn)了很多優(yōu)秀而著名的混沌微分方程，而這些方程又能夠很容易地通過電子電路而實現(xiàn)，因此，現(xiàn)在正處于熱門研究著的混沌電路很大比例是這些電路?，F(xiàn)在又出現(xiàn)了許多混沌電路，數(shù)量多，例如由運算放大器產(chǎn)生的混沌電路，利用微機技術(shù)（如單片機技術(shù)）、DSP技術(shù)產(chǎn)生混沌電路等。 混沌電路的階與自治及非自制的觀念很重要，它很容易引出超混沌的概念，三階非自治微分電路與四階及四階以上自治微分電路能夠產(chǎn)生“超混沌”運動。蔡氏電路、洛倫茨方程混沌電路是三階自治微分電路，只有一個正的李雅普諾夫指數(shù)，“超混沌”電路有一個以上的李雅普諾夫指數(shù)。 圖 420 限幅特性非線性三階自治電路 圖 421 三次多項式特性非線性三階自治電路 xxxxx ????? ??????狀態(tài)方程