【正文】 0 1 0 1 教育 1 1 2 2 3 3 管理 — 教育組合 2022/6/4 61 為了對殘差進行分析，下圖給出 ? 與資歷 1x 的關(guān)系，及 ?與管理 2x 教育 43, xx 組合間的關(guān)系。 與資歷 1x? 的關(guān)系 ? 與 432 , xxx ? 組合的關(guān)系 從左圖看，殘差大概分成 3個水平，這是由于 6種管理 — 教育組合 混在一起，在模型中未被正確反映的結(jié)果；從右圖看，對于前 4 個管理 — 教育組合，殘差或者全為正，或者全為負，也表明管理 教育組合在模型中處理不當(dāng)。 在模型中，管理責(zé)任和教育程度是分別起作用的，事實上，二者 可能起著交互作用，如大學(xué)程度的管理人員的薪金會比二者分別 的薪金之和高一點。 2022/6/4 62 以上分析提示我們，應(yīng)在基本模型中增加管理 更好的模型： 2x 與教育 43,xx的交互項，建立新的回歸模型。 增加 2x 與 43,xx 的交互項后，模型記作 ????????? 426325443322110 xxaxxaxaxaxaxaay利用 MATLAB的統(tǒng)計工具箱得到的結(jié)果如表： 2022/6/4 63 參數(shù) 參數(shù)估計值 置信區(qū)間 11204 [11044 11363] 497 [486 508] 7048 [6841 7255] 1727 [1939 1514] 348 [545 152] 3071 [3372 2769] 1836 [1571 2101] 0a1a2a3a4a5a6a0,554, ??? pFR2022/6/4 64 由上表可知，這個模型的 做該模型的兩個殘差分析圖，可以看出，已經(jīng)消除了不正常 現(xiàn)象，這也說明了模型的適用性。 2R 和 F 值都比上一個模型有所改進， 并且所有回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不含零點，表明這個模型完全 可用。 ? 與 1x 的關(guān)系 ? 與 432 , xxx ? 組合的關(guān)系 2022/6/4 65 從上圖，還可以發(fā)現(xiàn)一個異常點：具有 10年資歷、大學(xué)程度的管理人員（編號 33）的實際薪金明顯低于模型的估計值，也明顯低于與他有類似經(jīng)歷的其他人的薪金。這可能是由我們未知的原因造成的。為了使個別數(shù)據(jù)不致影響整個模型，應(yīng)該將這個異常數(shù)據(jù)去掉，對模型重新估計回歸系數(shù)，得到的結(jié)果如表。殘差分析見圖?？梢钥吹?，去掉異常數(shù)據(jù)后結(jié)果又有改善。 2022/6/4 66 參數(shù) 參數(shù)估計值 置信區(qū)間 11200 [11139 11261] 498 [494 503] 7041 [6962 7120] 1737 [1818 1656] 356 [431 281] 3056 [3171 2942] 1997 [1894 2100] 0a1a2a3a4a5a6a0,36701, ??? pFR2022/6/4 67 ? 與 1x 的關(guān)系 ? 與 432 ,xxx ? 組合的關(guān)系 模型的應(yīng)用： 對于第二個模型，用去掉異常數(shù)據(jù)（ 33號）后估計出的系數(shù) 得到的結(jié)果是滿意的。模型的應(yīng)用之一，可以用來“制訂” 6 種管理 — 教育組合人員的“基礎(chǔ)”薪金（即資歷為零的薪金）， 這是平均意義上的。利用第二個模型和去掉異常數(shù)據(jù)后得到的 回歸系數(shù)，可以得到如下結(jié)果： 2022/6/4 68 組合 管理 教育 系數(shù) “ 基礎(chǔ)”薪金 1 0 1 9463 2 1 1 13448 3 0 2 10844 4 1 2 19882 5 0 3 11200 6 1 3 18241 30 aa ?5320 aaaa ???40 aa ?6420 aaaa ???0a20 aa ?2022/6/4 69 可以看出，大學(xué)程度的管理人員薪金比研究生程度管理人員 薪金高，而大學(xué)程度的非管理人員薪金比研究生程度非管理 人員薪金略低。當(dāng)然，這是根據(jù)這家公司實際數(shù)據(jù)建立的模 型得到的結(jié)果，并不具普遍性。 評注： 從建立回歸模型的角度，通過這個問題的求解我們學(xué)習(xí)了： 1） 對于影響因變量的定性因素（管理、教育），可以引入 0— 1變量來處理， 0— 1變量的個數(shù)比定性因素的水平少 1（如教育程度有 3個水平，引入 2個 0— 1變量）。 2） 用殘差分析法可以發(fā)現(xiàn)模型的缺陷，引入交互作用項常 ?？梢缘玫礁纳?。 3） 若發(fā)現(xiàn)異常值應(yīng)剔除，有助于結(jié)果的合理性。 思考： 在這里我們由簡到繁，先分別引進管理和教育因素，再 引入交互項。試直接對 6種管理 教育組合引入 5個 0— 1變量，建 立模型，看結(jié)果如何。 2022/6/4 70 五 教學(xué)評估 為了考評教師的教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)研究部門設(shè)計了一個教學(xué)評 估表，對學(xué)生進行一次問卷調(diào)查，要求學(xué)生對 12位教師的 15 門課程（其中 3為教師有兩門課程）按以下 7項內(nèi)容打分，分 值為 1— 5分（ 5分最好， 1分最差）： 問題： 1X ~課程內(nèi)容組織的合理性； 2X~主要問題展開的邏輯性； 3X~回答學(xué)生問題的有效性； 4X ~課下交流的有助性； 5X ~教科書的幫助性； 6X~考試評分的公正性； Y ~對教師的總體評價。 2022/6/4 71 收回問卷調(diào)查表后，得到了學(xué)生對 12為教師、 15門課程各項評分的平均值，見表。 教師編號 課程編號 1 201 2 224 3 301 4 301 5 301 1X 2X 3X 4X 5X 6X Y2022/6/4 72 教師編號 課程編號 6 309 7 311 8 311 9 312 10 312 11 333 12 424 3 351 4 411 9 424 1X 2X 3X 4X 5X 6X Y2022/6/4 73 61 ~ XX不一定每項都 對教師總體評價 Y 有顯著影響，并且各項內(nèi)容之間也可能存 在很強的相關(guān)性，他們希望得到一個總體評價與各項具體內(nèi)容 之間的模型，模型應(yīng)盡量簡單和有效，并且由此能給教師一些 合理的建議，以提高總體評價。 準備知識： 逐步回歸 這個問題給出了 6個自變量，但我們希望從中選出對因變量 Y影響顯著的那些來建立回歸模型。變量選擇的標準應(yīng)該是將所 有對因變量影響顯著的自變量都選入模型，而影響不顯著的自 變量都不選入模型，從便于應(yīng)用的角度，應(yīng)使模型中的自變量 個數(shù)盡量少。逐步回歸就是一種從眾多自變量中有效的選擇重 要變量的方法。 教學(xué)研究部門認為，所列各項具體內(nèi)容 2022/6/4 74 逐步回歸的基本思路是，先確定一個包含若干自變量的初始集合，然后每次從集合外的變量中引入一個對因變量影響最大的， 再對集合中的變量進行檢驗，從變得不顯著的變量中移出一個 影響最小的，依次進行，直到不能引入和移出為止。引入和移 出都以給定的顯著性水平為標準。 利用 MATLAB系統(tǒng)工具箱中的逐步回歸命令 stepwise可以實現(xiàn) 逐步回歸。 Stepwise提供人機交互式畫面，可以在畫面上自由 引入和移出變量，進行統(tǒng)計分析。具體用法參見 MATLAB叢書 回歸模型的建立與求解： 我們利用 MATLAB命令得到各個變量的回歸系數(shù)，置信區(qū)間，及 剩余標準差（ RMSE），決定系數(shù)（ Rsquare）， F 值， p值。見表。 2022/6/4 75 參數(shù) 參數(shù)估計值 置信區(qū)間 1 [ ] 2 [ ] 3 [ ] 4 [ ] 5 [ ] 6 [ ] RMSE Rsquare F p 可以看到，除 1X 外其他自變量的回歸系數(shù)置信區(qū)間都包含零點 3X在臨界狀態(tài)，將 6542 , XXXX 一一移去（與次序無關(guān)），當(dāng)模 型中僅含 31,XX 時結(jié)果見下表。 2022/6/4 76 參數(shù) 參數(shù)估計值 置信區(qū)間 1 [ ] 2 [ ] 3 [ ] 4 [ ] 5 [ ] 6 [ ] RMSE Rsquare F p 可以看到，僅含 31,XX 模型的回歸系數(shù)置信區(qū)間遠離零點， 31,XX 對 Y 的影響是顯著的，與上個結(jié)果比較，剩余標準差由 ，雖然 2R 略有下降，但 F 值大大提高。這些 表明僅含 31,XX 模型是合適的。但 MATLAB命令并未給出回歸模 型的常數(shù)項。我們由以下方法計算得到： 2022/6/4 77 終得到的模型為 在最終模型里回歸變量只有 ????? XbXbYb其中， 31 , XXY分別是 31 , XXY的平均值。利用逐步回歸最 2 4 7 6 7 0 9 31 ??? XXY模型解釋： 31,XX ，是一個簡單易用的模型，據(jù) 此可把課程內(nèi)容組織的合理性（ ） 1X和回答學(xué)生問題的有效性 （ ）列入考評的重點。上式表明， 3X 1X 的分值每增加一分，對 教師的總體評價就增加約 ； 3X 的分值每增加一分，對教師 的總體評價就增加約 。應(yīng)建議教師注重這兩方面的工作。 為了分析其它變量沒有進入最終模型的原因，可以計算 YXX ,~61的相關(guān)系數(shù)，利用 MATLAB系統(tǒng)工具箱中的 corrcoef命令直接得 到這 7個變量的相關(guān)系數(shù)矩陣： 2022/6/4 78 一般認為，兩個變量的相關(guān)系數(shù)超過 關(guān)系。由上面的結(jié)果知，與 Y 相關(guān)關(guān)系顯著的只有 321 , XXX而 2X 未進入最終模型，是由于它與 31,XX 的相關(guān)系數(shù)顯著（相 關(guān)系數(shù) 8 5 0 ,9 0 0 3212 ?? rr ），可以說，模型中有了 31,XX 以后 2022/6/4 79 變量 如果初步看來影響因變量的因素較多，并得到了大量的數(shù)據(jù)。 為了建立一個有效的、便于應(yīng)用的模型，可以利用逐步回歸只 選擇那些影響顯著的變量 “ 入圍 ” 。 如果懷疑原有變量的平方項、交叉項等也會對變量有顯著影響 也可以將這些項作為新的自變量加入到候選行列，用逐步回歸 來處理。 2X 是多余的，應(yīng)該去掉。 評注： 2022/6/4 80 練習(xí)： 下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本（元）的數(shù)據(jù)， 從散點圖，可以明顯的發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在 500以內(nèi)時，單位成 本對生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系，生產(chǎn)批量超過 500時服從另 一種線性關(guān)系，此時單位成本明顯下降。希望你構(gòu)造一個合適 的回歸模型全面地描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。 生產(chǎn)批量 650 340 400 800 300 600 720 480 440 540 750 單位成本