【正文】 研究居民家庭教育支出和消費性支出之間的關 系，收集到 1978年至 2021年全國人均消費性支出 和教育支出的數(shù)據(jù)。 56 曲線估計 ? 曲線估計概述 變量間的相關關系中，并不總是表現(xiàn)出線性關系，非線性關系也是極為常見的。變量之間的非線性關系可以劃分為本質線性關系和本質非線性關系。 本質線性關系是指變量關系形式上雖然呈非線性關系，但可通過變量變換為線性關系，并最終可通過線性回歸分析建立線性模型。 本質非線性關系是指變量關系不僅形式上呈非線性關系，而且也無法變換為線性關系。本節(jié)的曲線估計是解決本質線性關系問題的。 常見的本質線性模型有： 二次曲線（ Quadratic）， 方程為 ，變量變換后的方程為 復合曲線（ Compound）， 方程為 ，變量變換后的方程為 增長曲線（ Growth）， 方程為 ，變量變換后的方程為 20 1 2y x x? ? ?? ? ?20 1 2 1 1()y x x x x? ? ?? ? ? ?01xy ???01l n ( ) l n ( ) l n ( )yx????01 xye ????01l n ( )yx???? 對數(shù)曲線（ Logarithmic）， 方程為 ，變量變換后的線性方程為 三次曲線（ Cubic）， 方程為 ，變量變換后的方程為 S曲線（ S）， 方程為 ，變量變換后的方程為 指數(shù)曲線（ Exponential）， 方程為 ，變量變換后的線性方程為 01 l n ( )yx????0 1 1yx????230 1 2 3y x x x? ? ? ?? ? ? ?0 1 2 1 3 2y x x x? ? ? ?? ? ? ?01 / xye ????0 1 1l n ( )yx????10 xye???01l n( ) l n( )yx???? 逆函數(shù)（ Inverse）， 方程為 變量變換后的方程為 冪函數(shù)（ Power）， 方程為 變量變換后的方程為 邏輯函數(shù)（ Logistic）， 方程為 變量變換后的線性方程為 01 /yx????0 1 1yx????10 ()yx ???01l n ( ) l n ( ) l n ( )yx????0111/ xy? ? ??? SPSS曲線估計中，首先，在不能明確究竟哪種模型更接近樣本數(shù)據(jù)時，可在多種可選擇的模型中選擇幾種模型；然后 SPSS自動完成模型的參數(shù)估計，并輸出回歸方程顯著性檢驗的 F值和概率 p值、判定系數(shù) R2等統(tǒng)計量；最后，以判定系數(shù)為主要依據(jù)選擇其中的最優(yōu)模型，并進行預測分析等。另外， SPSS曲線估計還可以以時間為解釋變量實現(xiàn)時間序列的簡單回歸分析和趨勢外推分析。 ? 曲線估計的基本操作 可通過繪制并觀察樣本數(shù)據(jù)的散點圖粗略確定被解釋變量和解釋變量之間的相關關系，為曲線擬合中的模型選擇提供依據(jù)。 SPSS曲線估計的基本操作步驟是： （ 1）選擇菜單 Analyze－ Regression－ Curve Estimation，出現(xiàn)窗口如下頁所示。 （ 2）把被解釋變量選到 Dependent框中。 （ 3）曲線估計中的解釋變量可以是相關因素變量也可是時間變量。如果解釋變量為相關因素變量，則選擇 Variable選項，并把一個解釋變量指定到 Independent框；如果選擇 Time參數(shù)則表示解釋變量為時間變量。 （ 4）在 Models中選擇幾種模型。 （ 5）選擇 Plot Models選項繪制回歸線；選擇 Display ANOVA table輸出各個模型的方差分析表和各回歸系數(shù)顯著性檢驗結果。 至此，完成了曲線估計的操作， SPSS將根據(jù)選擇的模型自動進行曲線估計，并將結果顯示到輸出窗口中。 ? 應用舉例 教育支出的相關因素分析 為研究居民家庭教育支出和消費性支出之間的關系，收集到 1978年至 2021年全國人均消費性支出和教育支出的數(shù)據(jù)。 首先繪制教育支出和消費性支出的散點圖。觀察散點圖發(fā)現(xiàn)兩變量之間呈非線性關系，可嘗試選擇二次、三次曲線、復合函數(shù)和冪函數(shù)模型，利用曲線估計進行本質線性模型分析。其中，教育支出為被解釋變量，消費性支出為解釋變量。 分析和預測居民在外就餐的費用 利用收集到 1978年至 2021年居民在外就餐消費的數(shù)據(jù)，對居民未來在外就餐的趨勢進行分析和預測。 首先繪制就餐費用的序列圖，選擇菜單Graphs－ Sequence。得到的序列圖表明自80年代以來居民在外就餐費用呈非線性增加，90年代中期以來增長速度明顯加快，大致呈指數(shù)形式，可利用曲線估計進行分析。由于要進行預測，因此在曲線估計主窗口中要單擊 Save按鈕，出現(xiàn)如下窗口： ? Save Variables框中： Predicted values表示保存預測值； Residual表示保存殘差； Prediction interval表示保存預測值默認 95％置信區(qū)間的上限和下限值。 ? Predict cases框中：只有當解釋變量為時間時才可選該框中的選項。 Predict from estimation period through last case表示計算當前所有樣本期內的預測值； Predict through表示計算指定樣本期內的預測值，指定樣本期在 Observation框后輸入。 本例希望預測 2021年和 2021年的值，應在Observation框后輸入 27。 練習： ?現(xiàn)有 1987~2021年湖南省全社會固定資產投資總額 NINV和 GDP兩個指標的年度數(shù)據(jù)，見下表。試研究全社會固定資產投資總額和 GDP的數(shù)量關系，并建立全社會固定資產投資總額和 GDP之間的線性回歸方程。 湖南省全社會固定資產投資和 GDP年度數(shù)據(jù) Thank you