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2025-05-07 12:10本頁面
【正文】 為增函數(shù)時為減函數(shù)，時又設?例 5 已知 x1, 求證 xln(x+1). .0)2l n (1ln1ln,01111])1l n ([?????????????????xxxxxxxxx）是增函數(shù)，在（?5．怎樣做好數(shù)列綜合題 數(shù)列內部的綜合：等差與等比；數(shù)列與極限；數(shù)列與數(shù)學歸納法。 數(shù)列與相關知識的綜合：數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、方程；數(shù)列與點列。 數(shù)學能力要求較高：運算能力、歸納猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力； 數(shù)列的應用廣泛：增長率；貸款問題等 . 例 1 已知首項與公比都是正數(shù) a的等比數(shù)列 {an}， bn=anlgan, 若數(shù)列 {bn}的每一項都小于它后 面的項，求 a的取值范圍。 解 an=an, bn=anlgan= anlg an=n anlga nanlga(n+1) an+1lga, 當 a1時， n(n+1)a, ,1?? nna ∴ a1 當 0a1時， n(n+1)a, ,1?? n na ∴ 0a 例 2 .l i m}{x3。x,2n2。x,2n1)(21,0}{x111nnnnnnnnnnxxaxaxxax????????????求，的極限存在，且大于零）若數(shù)列（總有）求證：對（總有）求證：對（由下列條件確定，數(shù)列（ 1）用平均值定理 axaxxnnn 221)(211 ?????（ 2）用比較法 。12 221 ????nnnnxaxxx（ 3）利用解方程的方法 .l i m),(21)l i ml i m(21l i m1axAaAAxaxxnnnnnnnn??????????????例 3 對任意函數(shù) f(x),x∈ D, 可按圖示構造一個數(shù) 列發(fā)生器 ， 其工作原理如下： ① 輸入數(shù)據(jù) x0∈ D, 經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出 x1= f(x0), ② 若 x1 D， 則數(shù)列發(fā)生器結束工作； 若 x1∈ D， 則 x返回輸入端 ， 再輸出 x2= f(x1), 將一次規(guī)律繼續(xù)下去 . 現(xiàn)定義： ?124)(???xxxf f 輸入 打印 輸出 X1∈ D No Yes 結束 )2,1( )3(。2 ,1 )2(。1,51,1911)1( ?6549(1) 若 x0= ， 則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列 {xn}， 請寫出數(shù)列 {xn}的所有項； (2) 若數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列 ， 試 輸入初始值 x0 的值； (3)若輸入 x0時 ， 產(chǎn)生的無窮數(shù)列 {xn}， 滿足 xn xn+1 對任意正整數(shù) n成立 ， 求 x0 的取值范圍 . 答案 。 例 4 已知函數(shù) ),0,()( 22 ????? aaxaxxxf.87)2(}{)1(.,),(,3}{111的大小與試比較的通項公式；求數(shù)列項和為數(shù)列的前設且滿足數(shù)列nnnnnnnnnTbNnTnaaaabafaaaa?????????解：先求已知函數(shù)的反函數(shù)， ),0,()( 22 ????? aaxaxxxf,2)(221xaxxf ???,0 22ayaxaxxy???????),(2)(221 axxaxxf ???? ?),(2)(221 axxaxxf ???? ?再尋求數(shù)列 {bn}的構成規(guī)律， .)(.)(22,),(212222211111nnnnnnnnnnnnnnnnbbaaaaaaaaaaaaaaaabaaaabafa????????????????????????兩邊取對數(shù) ,lg2lg1 nn bb ??可得等比數(shù)列 {lgbn}， ,2lg11 bb nn ??∵ a1=3a, ∴ b1=, .)21( 12 ?? nnb,21 nn bbbT ????????∴ n=1,2,3時， Tn 。87當 n≥4時， ,1111)11(2 11 ???????? ?? nnnn.871611613])21()21()21[(161316521????????????????nnnbbbT?
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