【正文】 m)(例 813 用初值定理求 e(t)=eat的初值。 解： 5. 終值定理 經(jīng)常用于分析計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差！ 例 814 設(shè) Z變換函數(shù)為 : 使用終值定理確定 e(kT)的終值。 220 . 7 9 2 z( 1 ) ( 0 . 4 1 6 0 . 2 0 8 ) ( ) z z zEz ? ? ??解 : 22( 1 ) ( 0 . 4 1 6 0 . 2 0 8 )11( ) lim( 1 ) ( ) lim ( z 1 ) 1z z zzze z E z ? ? ???? ? ? ? ? 設(shè)函數(shù) E(z)=Z[e(t)] ，函數(shù)序列 e(kT)均為有限值，且 存在 ，則有 )(lim tet ?????? ? ? ?1( ) li m ( ) li m ( 1 ) ( )zte e t z E z 設(shè)卷積 ? ??? ??????00 nknTnkrnTgTnkrnTgkTrkTgkTc])[()(])[()()(*)()(式中： 當 nk時 , r[(kn)T]=0 則有： )()()( zRzGzC ?)]([)()]([)()]([)(kTrZzRkTgZzGkTcZzC???式中： 兩個離散函數(shù)卷積的 z變換，等于兩個函數(shù) z變換的乘積。 解 : 令 E(z)=E1(z)E2(z) 例 815 設(shè) Z變換函數(shù)為 : 求 E(z) 的原函數(shù) e(t) 。 21z )()( ?? zzE)()()( ** ttez zzE 1 1 11 ???)()()( ** Tttez zzzE ???? ? 1 1 212由卷積和定理 1201( ) ( ) * ( )1 ( ) 1 [ ( 1 ) ]1 [ ( 1 ) ] 1 [ ( ) ]( ) /knkne kT e kT e kTn T k n Tn T k n T ke t t T???? ? ?? ? ? ???? z反變換 同拉氏變換一樣，對于離散系統(tǒng)，通常在 z域計算后，需要用反變換確定時域解。 z反變換 ：已知 z變換表達式 E(z)?e(kT)的過程，即 )]([)( zEZkTe 1??只能求出序列的表達式 ，可以求出 可能的連續(xù)函數(shù)之一 。 求解方法：長除法 、部分分式法 、 留數(shù)法 *。 長除法（冪級數(shù)法） 要點： 將 E(z)用長除法變化為 降冪 排列的冪級數(shù)，然后與 z變換定義式對照求出原函數(shù)的脈沖序列。 Z反變換為 ?? ????????? )()2()()()( 210* kTtcTtcTtctcte k ????例 816 求 )2)(1(10)(??? zzzzE 的 z反變換 ?????????????????????????0022110110110)()(kkkkknnnmmmzkTezczczccmnazazabzbzbzE???0* ( ) ( )kke t c t kT????? ? ??此方法比較方便，通常計算幾項就可以了，但求通項比較難。 1 2 3( ) 0 1 0 3 0 7 0E z z z z? ? ?? ? ? ? ?* ( ) 0 1 0 ( ) 3 0 ( 2 ) 7 0 ( 3 )e t t T t T t T? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2310)2)(1(10)(2 ?????? zzzzzzzE解： 10z z2?3z + 2 10z?1 10z ?30 + 20z?1 30 ?20z?1 +30z?2 30 ?90z?1 + 60z?2 70z?1 ? 60z?2 +70z?3 +… 2. 部分分式法 步驟：① 先將變換式寫成 zzE )( ， 展 開 成部分分式， ? ???ni iizzAzzE1)(② 兩端乘以 z ?? ??ni iizzzAzE1)(③ 查 z變換表 ???nikii zAkTe 1)(? ???nikTtkTete1)()()(* ?ka azz?例 817 求 ))(()( 2110??? zzzzE的 z反變換。 解： 1102102110??????? zzzzzzE))(()(110210???? zzzzzE )()()( 121010210 ????? kkkTe???????????? ???)3(70)2(30)(100)()12(10)(0*TtTtTtkTtte kk????與長除法結(jié)果一致。 例 818 求 ))(1()1()(aTaTezzzezE????? 的 z反變換。 解： aTaTaTezzezzezzE?? ???????? 111))(1(1)(aTezzzzzE????? 1)(akTekTe ??? 1)(??????????????????????)3)(1()2()1()()1(0)()1()(320*TteTteTtekTteteaTaTaTkakT???)()()(* kTtkTetek??? ?????0??????0 kkzkTeteZzE )()](*[)()( kTeZ[ ] Z1[ ] )()( kTete ?采樣 (留數(shù)法 )* . ... ..2)0( 210???????????knke ( k T ) zT ) ze(e ( T ) zee ( k T ) zE ( z )? ??? 21 jkTedzzzE k ?)()(由 z變換的定義 兩邊乘以 zk1 . ... ..2)0( 13211 ?????? ?? kkkk e ( k T ) zT ) ze(e ( T ) zzeE ( z ) z 設(shè) Γ為 z平面上包圍 E(z)zk1全部極點的任意封閉曲線，沿 Γ逆時針方向?qū)蛇呥M行線積分，由復(fù)變函數(shù)理論可知， e(kT)項的積分為 e(kT) 2πj,其他項均為零，即 ???? ??? izzkk zzEsdzzzEjkTe ])([Re)()( 112 1 ??izzkzzEs ?? ])([Re 1為函數(shù) E(z)zk1在極點 zi處的留數(shù)。 曲線 ?？梢允前?E(z)zk1全部極點的任意封閉曲線。 ])()[(])([Re 11 l i m ???? ?? kizzzzk zzEzzzzEsii若 zi為單極點 若 zi為 n重極點 ])()[()!1(1])([Re 1111 l i m ?????? ??? kninnzzzzk zzEzzdzdnzzEsii由柯西留數(shù)定理：得 式中， 例 819 用留數(shù)法求 ))(()( bTaT ezezzzE???的 z反變換 解： ))(()(1bTaTkkezezzzzE???? 有兩個單極點 bTaT ezez ?? 21bTaTakTbTaTkaTezezkeeeezezzezzzEsRaTaT ?????????? ]))(()[(lim])([Re11? ??????? ??21 211i bTaTbkTakTizzkeeeeRRzzEskTe ])([Re)(aTbTbkTbTaTkbTezezkeeeezezzezzzEsRbTbT ?????????? ]))(()[(lim])([Re12? ??????? 0k bTaTbkTakTkTteeeete )()(* ?例 820 用留數(shù)法求 2)1)(()( ??? zazzzE 的 z反變換。 解： 21)1)(()( ????zazzzzE kk有三個極點 1321 ??? zzaz22121212222111111112111)()()()()(])())(([)!()())((]))(([Re)(aakaaazzkzazaazzazzdzdazzazzzazzskTekzkkkzkazkk?????????????????????????????? ????????? 0 22 1111kkkTtaakaate )(])()([)(* ?