【正文】 用以說(shuō)明標(biāo)志值變動(dòng)范圍的大小，通常用 R表示全距。全距數(shù)值越小，反映變量值越集中，標(biāo)志變動(dòng)度越??；全距數(shù)值越大，反映變量值越分散，則標(biāo)志變動(dòng)度越大。 對(duì)于根據(jù)組距數(shù)列求全距，可以用最高組的上限與最低組的下限之差，求全距的近似值。但當(dāng)有開口組時(shí)，若不知極端數(shù)值，則無(wú)法求全距。 ?三、四分位差 把一個(gè)變量數(shù)列分為四等分，形成三個(gè)分割點(diǎn) (Q QQ3)，這三個(gè)分割點(diǎn)的數(shù)值就稱為四分位數(shù)。第三個(gè)四分位數(shù) Q3與第一個(gè)四分位數(shù) Q1之差就是四分位差，用公式表示如下： .=Q3Q1 舍去數(shù)列中最低的 1/4和最高的 1/4 數(shù)值，僅用中間那部分標(biāo)志值的全 距來(lái)充分反映集中于數(shù)列中間 50% 數(shù)值的差異程度就是四分位差。 四 分位差的數(shù)值越大，表明 Q1與 Q3 之間變量值的分布越遠(yuǎn)離中位數(shù) Me，也就說(shuō)明中位數(shù)的代表性越 差；反之，四分位差的數(shù)值越小， 則說(shuō)明中位數(shù)的代表性越好。 根據(jù)未分組資料計(jì)算四分位差： 例如：某數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)小組 11人年齡 (歲 )為： 17， 19， 22， 24， 25，26， 34， 35， 36， 37， 38。請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)計(jì)算該數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)小組的四分位差，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。 4 11 ?? nQ 的位置? ?4 133 ?? nQ 的位置? ?4 122 ?? nQ 的位置 如果 (n+1)不為 4的整數(shù)倍，則按上述方法計(jì)算出來(lái)的四分位數(shù)位置就帶有小數(shù)。此時(shí)，四分位數(shù)就應(yīng)該是與該小數(shù)相鄰的兩個(gè)整數(shù)位置上的標(biāo)志值的平均數(shù)，權(quán)重的大小取決于兩個(gè)整數(shù)位置距離的遠(yuǎn)近。距離越近，權(quán)重越大；距離越遠(yuǎn)，則權(quán)重就越小，權(quán)重之和等于 1。 例： 某車間 1月份工人的生產(chǎn)量分別為 1 、 、 1 、 、 1 、 ，計(jì)算該產(chǎn)品產(chǎn)量的三個(gè)四分位數(shù)和四分位差。 ? 四、平均差 平均差是各單位標(biāo)志值與平均數(shù)的 離差絕對(duì)值的算數(shù)平均數(shù) 。以 ，其計(jì)算公式如下： ★ 未分組資料： ★ 分組資料： nXXDA ? ??..?? ??ffXXDA ..? 五、標(biāo)準(zhǔn)差 (Standard Deviation ) ★ 標(biāo)準(zhǔn)差的概念 標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度最重要和最常用的指標(biāo) ，它是各單位標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。標(biāo)準(zhǔn)差的意義與平均差基本相同，也是根據(jù)各個(gè)標(biāo)志值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)求其平均離差后再來(lái)計(jì)算的，但由于采用離差平方的方法來(lái)消除正負(fù)離差，因此在數(shù)學(xué)處理上比平均差更為合理。 ★ 標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為： amp。 未分組資料： amp。 分組資料： 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的一般步驟： ①算出每個(gè)變量對(duì)平均數(shù)的離差；②將每個(gè)離差平方；③計(jì)算這些平方數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)；④把得到的數(shù)值開方，即得到標(biāo)準(zhǔn)差。 ? ?nXX? ?? 2?? ?????ffXX 2?某企業(yè)員工日產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表 按日產(chǎn)量分組 (千克 ) 工人數(shù) (人 )f 組中值 X 60以下 10 55 60～ 70 19 65 70～ 80 50 75 80～ 90 36 85 90～ 100 27 95 100～ 110 14 105 110以上 8 115 合計(jì) 164 — — XX? ? ? fXX 2?★ 標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用： amp。 測(cè)定分布偏度 絕對(duì)偏度不便于不同水平的現(xiàn)象之間進(jìn)行比較，因此需要將算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)的差距除以標(biāo)準(zhǔn)差，這樣就得到了偏態(tài)系數(shù) (SK)，用公式表示如下： 一般情況下， SK＞ 0為右偏， SK＜ 0為左偏， SK=0為對(duì)稱分布。偏態(tài)系數(shù)通常取值在 3到 +3之間。 SK的絕對(duì)值越大，表明偏度越大；反之，則表明偏度越小。 ?0MXSK ??★ 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分 (學(xué)會(huì)查 P340的“正態(tài)分布分位數(shù)表 ”) 對(duì)于來(lái)自不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的個(gè)體的數(shù)據(jù)，往往不能直接對(duì)比，需要將其轉(zhuǎn)化為同一規(guī)格、尺度的數(shù)據(jù)后再進(jìn)行比較。這種轉(zhuǎn)換的方法常常是將數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化是通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)分來(lái)進(jìn)行分析的，其計(jì)算公式為： 標(biāo)準(zhǔn)分實(shí)際上是將不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的總體都轉(zhuǎn)換為均值為 0、標(biāo)準(zhǔn)差為 1的總體，將各個(gè)個(gè)體的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為其在總體中的相對(duì)位置，也即 標(biāo)準(zhǔn)分反映各單位變量值以平均數(shù)為中心的相對(duì)位置。 ?XXZ i ??（標(biāo)準(zhǔn)分）? 某班學(xué)生先后進(jìn)行了兩次難度不同的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試，第一次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 80分和 10分，第二次考試成績(jī)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 70分和 7分。李某第一次、第二次考試的成績(jī)分別為 92分和 80分，那么就李某與全班相比較而言，她哪一次考試的成績(jī)更好呢？ ? 甲乙兩名學(xué)生的期末 A課程和 B課程考試成績(jī)?nèi)缦拢杭讓W(xué)生的 A成績(jī) 81分， B成績(jī) 75分，乙學(xué)生的 A成績(jī) 73分， B成績(jī) 90分。 A課程的平均分 65分，標(biāo)準(zhǔn)差 4分， B課程的平均分 80分，標(biāo)準(zhǔn)差 10分。試問(wèn)甲乙兩名學(xué)生誰(shuí)應(yīng)該獲得獎(jiǎng)學(xué)金？ 習(xí)題 標(biāo)準(zhǔn)分的實(shí)際應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)分 (Standardized Score)，就是一種轉(zhuǎn)換分。將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，便都有了相等的單位，因而可以用于不同學(xué)科、不同考次成績(jī)的比較與評(píng)價(jià)。但標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)也有缺點(diǎn)，就是它總以帶有正負(fù)號(hào)的小數(shù)形式出現(xiàn)，不符合人們的習(xí)慣。為克服這一缺點(diǎn)，可以 在 Z分?jǐn)?shù) 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步作線性變換，得到其他多種形式的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。例如： ： T=500+100 Z T分?jǐn)?shù)： T=50+10 Z TOEFL分?jǐn)?shù)： TOEFL分?jǐn)?shù) =500+70 Z EPT分?jǐn)?shù)： EPT分?jǐn)?shù) =90+ 20 Z E. Wechsler氏量表：離差智商 =100+15Z ? 六、離散系數(shù) 各種標(biāo)志變動(dòng)度的數(shù)值大小，不僅受離散程度的影響，而且還受數(shù)列水平 (即標(biāo)志本身的水平 )高低的影響。因此，在對(duì)比分析中，不宜直接用上述各種標(biāo)志變異指標(biāo)來(lái)比較不同水平數(shù)列之間的標(biāo)志離散程度，必須用反映標(biāo)志變異程度的相對(duì)指標(biāo)來(lái)比較，即用離散系數(shù)比較，離散系數(shù)也稱為標(biāo)志變動(dòng)系數(shù)。 各種標(biāo)志變異指標(biāo)都可以計(jì)算離散系數(shù)，來(lái)反映總體各單位標(biāo)志值的相對(duì)離散程度，但最常用的是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均數(shù)對(duì)比的離散系數(shù)，稱作“標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)”，用 Vσ表示。 離散系數(shù)的計(jì)算公式： 離散系數(shù)值越小，說(shuō)明平均數(shù)的代表性就越好；離散系數(shù)值越大，則說(shuō)明平均數(shù)的代表性就越差。 例如，有兩個(gè)不同水平的工人日產(chǎn)量（件）資料： 甲組： 60， 65， 70， 75， 80 乙組： 2， 5， 7， 9， 12 請(qǐng)根據(jù)上述資料判斷兩組的離散程度哪組更高？或者說(shuō)哪組工人的生產(chǎn)水平更整齊？ %100?? XV ??利用 EXCEL函數(shù)上機(jī)操作 ? 利用 EXCEL函數(shù)求加權(quán)算術(shù)平均數(shù) ? 語(yǔ)法規(guī)則： SUMPRODUCT(array1,array2, … ) ? 利用 EXCEL函數(shù)求幾何平均數(shù) ? 語(yǔ)法規(guī)則： GEOMEAN(number1, number2, … ) ? 利用 EXCEL函數(shù)求中位數(shù) ? 語(yǔ)法規(guī)則： MEDIAN(number1, number2, … ) ? 利用 EXCEL函數(shù)求眾數(shù) ? 語(yǔ)法規(guī)則： MODE(number1, number2, … ) ? 利用 EXCEL函數(shù)求 Z值 ? 語(yǔ)法規(guī)則： NORMSDIST(X) ? 利用 EXCEL函數(shù)求 P值 ? 語(yǔ)法規(guī)則： NORMSINV(P)