【正文】 的顯著性檢驗(yàn) — t檢驗(yàn) ),(~? 2211 ?ixN ???)2(~???1?112211 ??????ntSxti ??????用 σ2的估計(jì)量代替，構(gòu)造 t統(tǒng)計(jì)量 1?1???St ?對總體參數(shù)提出假設(shè)：H0： ?1=0，H1： ?1?0 帶入 ?1=0 ? 由樣本計(jì)算 t統(tǒng)計(jì)量值； ? 給定 顯著性水平 (level of significance)?，查 t分布表得 臨界值 (critical value)t ?/2(n2)； ? 比較，判斷： – 若 |t| t ?/2(n2)，則以（ 1－ α）的 置信度（ confidence coefficient） 拒絕 H0 ，接受 H1 ； – 若 |t|? t ?/2(n2)，則以（ 1－ α）的置信度 不拒絕 H0 。 ? 具體步驟如下： 檢驗(yàn)步驟： （ 1）對總體參數(shù)提出假設(shè) H0： ?1=0， H1： ?1?0 （ 2）以原假設(shè) H0構(gòu)造 t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其值 1?1???St ?（ 3）給定顯著性水平 ?，查 t分布表，得臨界值 t ?/2(n2) (4) 比較，判斷 若 |t| t ?/2(n2)，則拒絕 H0 ，接受 H1 ； 若 |t|? t ?/2(n2)，則拒絕 H1 ，接受 H0 ； 關(guān)于常數(shù)項(xiàng)的顯著性檢驗(yàn) ? T檢驗(yàn)同樣可以進(jìn)行。 ? 一般不以 t檢驗(yàn)決定常數(shù)項(xiàng)是否保留在模型中，而是從經(jīng)濟(jì)意義方面分析回歸線是否應(yīng)該通過原點(diǎn)。 對于一元線性回歸方程中的 ?0，可構(gòu)造如下 t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)： )2(~???0?022200 ?????? ntSxnXt ii ?????例：在上述 收入 消費(fèi)支出 例中，首先計(jì)算 ?2的估計(jì)值 1340 2210 7425 0202?2? 2221222 ??????????? ??nxyne iii ??0 4 2 0 1 4 2 5 0 0 0/1 3 4 0 2? 22? 1 ???? ? ixS ?? 4 2 5 0 0 010/5 3 6 5 0 0 0 01 3 4 0 2? 222? 0 ????? ?? ii xnXS ??t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為： 4 2 7 1?11 ??? ?? St 0?00 ????? ?? St 給定顯著性水平 ?=，查 t分布表得臨界值 t (8)= |t1|，說明 家庭可支配收入在 95%的置信度下顯著，即是消費(fèi)支出的主要解釋變量； |t2|,表明在 95%的置信度下 ， 無法拒絕截距項(xiàng)為零的假設(shè) 。 顯著性檢驗(yàn)除 t檢驗(yàn)外，我們還會(huì)經(jīng)常用到 Z檢，已知： ),(~? 2211 ?ixN ??? ),(~? 22200 ??? ??iixnXN? ?? ?0100100 00022211 1112222220 10 10 , 10 , 11,2iiiiZNSXnxZNSxenSS?????? ? ? ??? ? ? ??????? ???????????? ?????若 是 將 和 作 標(biāo) 準(zhǔn) 化 變 換 , 變 換 成 Z 統(tǒng) 計(jì) 量 , 則 Z 統(tǒng) 計(jì) 量 服 從標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 :當(dāng) 我 們 知 道 總 體 方 差 時(shí) , 可 計(jì) 算 Z 統(tǒng) 計(jì) 量 , 確 定 顯 著 性 水 平 ,查 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 表 , 對 兩 變 量 進(jìn) 行 顯 著 性 檢 驗(yàn) .當(dāng) 我 們 不 知 道 總 體 方 差 時(shí) , 用 樣 本 方 差 估 計(jì) 總 體 方 差 時(shí)與1?就 只 服 從 n2 自 由 度 的 t 分 布 , 即 通 過 計(jì) 算 t 統(tǒng) 計(jì) 量 ,確 定 顯 著 性 水 平 , 查 t 分 布 表 , 對 兩 變 量 進(jìn) 行 顯 著 性 檢 驗(yàn) .三、參數(shù)的置信區(qū)間 Confidence Interval of Parameter 概念 ? 回歸分析希望通過樣本得到的參數(shù)估計(jì)量能夠代替總體參數(shù)。 ? 假設(shè)檢驗(yàn) 可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)的可靠性（例如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多 “ 近 ” 。 ? 要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上 “ 近似 ”地替代總體參數(shù)的真值，需要通過構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的 “ 區(qū)間 ” ，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的 置信區(qū)間估計(jì) 。 ?????? ?????? 1)??(P 如果存在這樣一個(gè)區(qū)間 ， 稱之為 置信區(qū)間 ； 1? 稱為 置信系數(shù) （ 置信度 ） （ confidence coefficient） ， ?稱為 顯著性水平 ；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為 置信限 （ confidence limit） 。 一元線性模型中 ， ?i (i=1， 2） 的置信區(qū)間 : 在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道： )2(~????? ntstiii??? 意味著，如果給定置信度（ 1?） ，從分布表中查得自由度為 (n2)的臨界值，那么 t值處在 (t?/2, t?/2)的概率是 (1? )。表示為： P t t t( )? ? ? ? ?? ? ?2 21即 P t s ti ii(?)?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??2 21P t s t si i ii i( ? ? )? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 21于是得到 :(1?)的置信度下 , ?i的置信區(qū)間是 ( ? , ? )? ?? ?? ?? ?i it s t si i? ? ? ?2 2? 在上述 收入 消費(fèi)支出 例題中，如果給定 ? =，查表得： )8()2( 2??? tnt ?由于 ??S ??S于是， ? ?0的置信區(qū)間分別為： （ ,) （ ,） ? 顯然，在該例題中，我們對結(jié)果的正確陳述應(yīng)該是： 邊際消費(fèi)傾向 β 1是以 99%的置信度處于以 （ ,) 中。 ? 思考： – 邊際消費(fèi)傾向等于 ？ – 邊際消費(fèi)傾向以 100%的置信度處于什么區(qū)間？ ? 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的 “ 接近 ” 程度，因此置信區(qū)間越小越好。 ? 要縮小置信區(qū)間，需要 – 增大樣本容量 n。 因?yàn)樵谕瑯拥闹眯潘较拢?n越大，t分布表中的臨界值越?。煌瑫r(shí)，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差減??； – 提高模型的擬合優(yōu)度。 因?yàn)闃颖緟?shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和越小。 167。 一元線性回歸分析的應(yīng)用： 預(yù)測問題 一、預(yù)測值條件均值 或 個(gè)值的一個(gè)無偏估計(jì) 二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測值的置信區(qū)間 ? 對于一元線性回歸模型 ii XY 10 ??? ?? ??給定樣本以外的解釋變量的觀測值 X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測值 ?0 ，可以此作為其 條件均值 E(Y|X=X0)或個(gè)別值 Y0的一個(gè)近似估計(jì)。 ? 嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計(jì)值，而不是預(yù)測值。原因 : ? 參數(shù)估計(jì)量不確定； ? 隨機(jī)項(xiàng)的影響。 ?所以，我們得到的僅是預(yù)測值的一個(gè)估計(jì)值，預(yù)測值僅以某一個(gè)置信度處于以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間中。預(yù)測在很大程度上說是一個(gè)區(qū)間估計(jì)問題。 說 明 一、預(yù)測值是條件均值或個(gè)值的一個(gè)無偏估計(jì) ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的無偏估計(jì) 對 總體回歸函數(shù) E(Y|X=X0)=?0+?1X， X=X0時(shí) E(Y|X=X0)=?0+?1X0 0100 ??? XY ?? ??0101000100 )?()?()??()?( XEXEXEYE ?????? ??????可見， ?0是條件均值 E(Y|X=X0)的無偏估計(jì)。 ?0是個(gè)值 Y0的無偏估計(jì) 對 總體回歸模型 Y=?0+?1X+?，當(dāng) X=X0時(shí) ??? ??? 0100 XY0100100100 )()()( XEXXEYE ???????? ????????0100 ??? XY ?? ??0101000100 )?()?()??()?( XEXEXEYE ?????? ??????可見， ?0是個(gè)值 Y0的無偏估計(jì)。 二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測值的置信區(qū)間 總體條件均值預(yù)測值的置信區(qū)間 由于 0100 ??? XY ?? ??),(~? 2211 ?ixN ??? ),(~? 22200 ??? ??iixnXN于是 0101000 )?()?()?( XEXEYE ???? ????)?()?,?(2)?()?( 12022000 ???? V arXC ovXV arYV ar ???可以證明 ??? 2210 /)?,?( ixXC o v ???證明如下： 因此 ???? ??? 222022022202)?(iiiixXxXXxnXYV a r ??????????? ????? ?? 202222222 XXXXn XnXx ii?))(( 20222XXn xx ii??? ??? ))(1( 2202 ????ixXXn?故 )))(1(,(~? 22020100 ????ixXXnXNY ???)2(~)(?0?0100 ???? ntSXYtY?? ))(1(? 2 202?0 ????iY xXXnS ?其中 于是，在 1?的置信度下， 總體均值 E(Y|X0)的置信區(qū)間為 0202 ?00?0?)|(? YY StYXYEStY ?????? ??總體個(gè)別值預(yù)測值的預(yù)測區(qū)間 由 Y0=?0+?1X0+? 知 : ),(~ 20220 ??? XNY ?于是 )))(11(,0(~?220200 ?????ixXXnNYY ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?000022200010 0 0 1 0 0010 1 0 00 1 0 10 1 0 0 0 1 0 02 2220 1 0 1 0 10 1 0 0 1 0 0 1 020 0)0)202E Y Y E Y E YVar Y Y E Y Y E X EEXE X E X EE X E X XE? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ?證 明 : ((其 中 :? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?221 0 11 0 0 1 022 001 0 22022221iiXXXXVar X VarxXXnx? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ?????? ? ????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?220 0 1 0 10 0 1 0 0 0 1 0 022002 2 20222111iiV ar Y Y E X E E XX X X XEn x n x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ?