計算機控制系統(tǒng)第七章-資料下載頁
2025-05-02 03:44本頁面
【正文】 S x t t F x t u t t t?? ?46 性能指標是衡量系統(tǒng)性能好壞的尺度 ， 其內容與形式取決于最優(yōu)控制問題所要完成的任務 ， 不同控制問題應取不同的性能指標 。 目前最常用的性能指標是用積分判據(jù)表示的 ， 常稱為代價函數(shù) f0 [ ( ) , ( ) , ] dttJ F x t u t t t? ?47 性能指標以對狀態(tài)及控制作用的二次型積分表示 ，通常稱為二次型最優(yōu)控制 。 其性能指標函數(shù)一般表達式為 為使性能指標有意義 ， 應要求 S、 Q至少是對稱半正定的 ， R是對稱正定的 。 即代價函數(shù)可以對某些狀態(tài)變量不給予約束 ， 但對控制作用的每個分量都必須給予約束 。 代價終端時刻 tf可以任意選取 ， 如是 tf有限的 ，則稱為有限時間最優(yōu)代價函數(shù)；如 tf趨于無限大 ， 則稱為無限時間代價函數(shù) 。 此時代價函數(shù)可簡化為 f0ff11( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] d22tT T TtJ x t S x t x t Q x t u t R u t t? ? ??01 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] d2TTtJ x t Q x t u t R u t t????48 設線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為 二次型代價函數(shù)為 其物理意義為消耗較小能量的條件下 ， 使整個控制過程的狀態(tài)響應偏離平衡態(tài)的偏差盡可能地小 。 這是狀態(tài)調節(jié)問題 。 ( 1 ) ( ) ( )x k A x k B u k? ? ?( ) ( )y k C x k?1011( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]22NT T TkJ x N S x N x k Q x k u k R u k??? ? ??49 用拉格朗日乘數(shù)法來求解線性二次型最優(yōu)控制問題 ， 系統(tǒng)狀態(tài)方程可寫為 作為約束條件 ， 可構造拉格朗日函數(shù) 1,2,1,0,0)1()()( ?????? NkkxkBukAx ?101011( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]22( 1 ) [ ( ) ( ) ( 1 ) ]NT T TkNTkL x N S x N x k Q x k u k R u kk A x k B u k x k?????? ? ?? ? ? ? ???0 , 0 , 1 , 2 , , 1()0 , 0 , 1 , 2 , , 1()0 , 0 , 1 , 2 , , 1()LkNxkLkNukLkNk?? ?? ? ????? ?? ? ????? ?? ? ????50 線性離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制 在上式的約束條件下 ， 使二次型代價函數(shù)取得極值的條件是 51 線性離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制 應用拉格朗日函數(shù)可得 上式中 ， 當 k=0時有 ( ) ( 1 ) ( ) 0()( ) ( 1 ) 0()( ) ( ) ( 1 ) 0()TTLQ x k A k kxkLR u k B kukLA x k B u k x kk????? ?? ? ? ? ????? ?? ? ? ????? ?? ? ? ? ????( 0) ( 1 ) ( 0) 0( 0)( ) ( ) 0()TL Q x AxLSx N NxN?????? ? ? ???????? ? ?? ??52 線性離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制 經簡單的數(shù)學操作可得 假定存在黎卡提 (Riccati)變換 可得 1( ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 )TTk Q x k A ku k R B k????? ? ? ?? ? ? ??1( 1 ) ( ) ( 1 )Tx k A x k B R B k??? ? ? ?( ) ( ) ( )k p k x k? ?( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )Tp k x k Q x k A p k x k? ? ? ?1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )Tx k A x k B R B p k x k?? ? ? ? ?53 線性離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制 進而有 或 在終止階段 k=N， 則有 即 p(N)=S。 11( 1 ) [ ( 1 ) ] ( )Tx k I B R B p k A x k??? ? ? ?11( ) ( ) ( ) ( 1 ) [ ( 1 ) ] ( )TTp k x k Q x k A p k I B R B p k A x k??? ? ? ? ?11( ) ( 1 ) [ ( 1 ) ]TTp k Q A p k I B R B p k A??? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )N p N x N S x N? ??54 線性離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制 111( ) ( 1 ) ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )T T TTTu k R B k R B A k Q x kR B A p k Q x k K k x k?????? ? ? ? ? ?? ? ? ?1( ) ( ) [ ( ) ]TTK k R B A p k Q?? ? ? 計算出 p(0)~p(N)的值后 ， 可得 式中 如果系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣 A， 控制矩陣 B， 目標函數(shù)的加權陣 Q、 R、 S均為已知 ， 就可以預先脫機計算反饋增益矩陣 K(k)， 用 K(k)左乘狀態(tài)向量 x(k)， 就能確定出控制向量 u(k)。 例
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