【正文】 9 37 65 原始序列 2 6 11 18 28 累減生成序列 2 4 5 7 10 累加生成 累減生成 第五節(jié) 累加生成算子與累減生成算子 38 灰色系統(tǒng)理論課件 第六節(jié) 累加生成的灰指數(shù)律 一般的非負準光滑序列經(jīng)過累加生成后，都會減少隨機性，呈現(xiàn)出近似的指數(shù)增長規(guī)律。原始序列越光滑，生成后指數(shù)規(guī)律也越明顯，如某市自行車銷售量數(shù)據(jù)序列 和其一次累加生成序列 的曲線分別如圖 。 ? ? 6( 0 ) ( 0 ) 1( ) ( 5 0 8 1 0 , 4 6 1 1 0 , 5 1 1 7 7 , 9 3 7 7 5 , 1 1 0 5 7 4 , 1 1 0 5 2 4 )X x k??? ? 6( 1 ) ( 1 ) 1( ) ( 5 0 8 1 0 , 9 6 9 2 0 , 1 4 8 0 9 7 , 2 4 1 8 7 2 , 3 5 2 4 4 6 , 4 6 2 9 70)X x k??39 灰色系統(tǒng)理論課件 第六節(jié) 累加生成的灰指數(shù)律 定義 設(shè)連續(xù)函數(shù)為 則當(dāng) (1) 時，稱 為齊次指數(shù)函數(shù)； (2) 時，稱 為非齊次指數(shù)函數(shù)。 定義 ，若對于 (1) ,則 稱為齊次指數(shù)序列； (2) ,則稱 為非齊次指數(shù)序列； ( ) 。 , 0atX t c e b c a? ? ?0?b )(tX0b? )(tX))(,),2(),1(( nxxxX ??0,。)(,2,1 ??? accekxnk ak? X0,。)(,2,1 ???? bacbcekxnk ak? X40 灰色系統(tǒng)理論課件 第六節(jié) 累加生成的灰指數(shù)律 定理 為齊次指數(shù)序列的充分必要條件是，對于 恒有 成立。 證明 ： 設(shè)對任意 ,則 ：再設(shè)對任意 , 則 X nk ,2,1 ??con stk ?)(?)? , ( ) , , 0akk x k c e c a??( 1 )()()( 1 )akaakx k c ek e c o n s tx k c e? ?? ? ? ??)? , ( ) ak k c onst e? ??( 1 )2( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) akaax k e x k e x k x e ?? ? ? ? ? ??? ?41 灰色系統(tǒng)理論課件 第六節(jié) 累加生成的灰指數(shù)律 定義 ，若 (1) ，則稱序列 具有負的灰指數(shù)規(guī)律； (2) ，則稱序列 具有正的灰指數(shù)規(guī)律 (3) ，則稱序列 具有絕對灰度為 的灰指數(shù)規(guī)律； (4) 時，稱 具有準指數(shù)規(guī)律。 定理 為非負準光滑序列，則 的一次累加生成序列 具有準指數(shù)規(guī)律。 證明 ： 按照準光滑序列的定義，對每個 ，有 ,所以 即 具有準指數(shù)規(guī)律。 ))(,),2(),1(( nxxxX ??]1,0()(, ?? kk ? X],1()(, bkk ?? ? X?? ???? abbakk ],[)(, X ??? X)0(X )0(X(1)X( 1 ) ( 0 ) ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( 1 )( ) 1 ( )( 1 ) ( 1 )x k x k x kkkx k x k????? ? ? ???k ( ) ? ?( 1 ) ( ) [1 , 1. 5 ) , 0. 5k????(1)X42 灰色系統(tǒng)理論課件 第六節(jié) 累加生成的灰指數(shù)律 定理 為非負序列，若 具有指數(shù)規(guī)律，且 的級比 , 則有 (1) (2)當(dāng) 時， ，對每個 ； (3)當(dāng) 時， ，對每個 。 證明 : (1) 具有指數(shù)規(guī)律，且對每個 ，有 則對每個 )0(X )(rX )(rX?? ?)()( kr1)1( 11)(?? ???kkr k???)1,0(?? 1)(lim )1( ???? krk ? ( 1 ), ( ) (1 , 1 ]rkk??? ??1?? ?? ???? )(lim )1( krk ( 1 ), ( ) ( , 1 ]rkk? ? ?? ????rX k ()()()()()( 1 )rrrxkkxk?????k( ) ( ) 2 ( ) ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( 2) ( 1 )r r r k rx k x k x k x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 ) ( )( ( 1 ) , ( 1 ) , ( 1 ) , , ( 1 ) )r r r r n rX x x x x? ? ? ?? ? ? ?( 1 ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 ) ( )( ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) , , ( 1 ) ( 1 ) )r r r r n rX x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) 1 ( )( 1 )1( 1 ) 2 ( ) 11( ) ( 1 ) ( 1 ) 11()1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 11kr k r krkr k r kx k xkx k x?? ? ????? ? ??????? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??43 灰色系統(tǒng)理論課件 第六節(jié) 累加生成的灰指數(shù)律 (2)當(dāng) 時， 隨著 的增大而遞減； 故對每個 。 (2)當(dāng) 時， 隨著 的增大而遞減。 所以，對每個 ， 。 10 ??? ( 1) ()r k? ? k2?k ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 2 )( 2 ) 1( 1 )rr rxx???? ?? ? ???k ( 1 ) 11( ) 11 kr kk ?? ?? ?????? ?( 1 ), ( ) 1 ,1rkk??? ??1?? ( 1) ()r k? ? k2?k ( 1 ) ( 2) 1r??? ????k ( 1 )11()1krkk??????????k ( 1 ) ( ) ( , 1 ]r k? ? ?? ??