m02n第二章初等模型-資料下載頁
2025-05-01 02:09本頁面
【正文】 f mjXqniaijij,2,1,][1??? ??航船速度 v, 船體尺寸 l, 浸沒面積 s, 海水密度 ?, 重力加速度 g . mnijaA ?? }{m=6, n=3 0),,( ?fsvlg ??0),( 21 ?mqqqf ?123( 1 , 0 , 0 )( 0 , 1 , 0 )( 0 , 0 , 1 )TTTyyy? ???????????????????????flgslvlg13132221211????,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1??????Ay=0 有 mr=3個(gè)基本解 rank A = 3 rank A = r Ay=0 有 mr個(gè)基本解 ys = (ys1, ys2, …, ysm)T s = 1,2,…, mr ???mjyjssjq1?mr 個(gè)無量綱量 0),( 21 ?mqqqf ? 0),,( ?fsvlg ??量綱分析示例： 波浪對(duì)航船的阻力 F(?1, ?2 ,?3 ) = 0與 ?(g,l,?,v,s,f) = 0 等價(jià) ????????????????flgslvlg13132221211????為得到阻力 f 的顯式表達(dá)式 F=0 ),(213 ???? ?? 未定 ???mjyjssjq1?F(? 1, ?2,…, ?mr ) = 0 與 f (q1, q2, ?, qm) =0 等價(jià) 221213 ,),(lsglvglf ??? ??????量綱分析示例： 波浪對(duì)航船的阻力 量綱分析法的評(píng)注 ? 物理量的選取 ? 基本量綱的選取 ? 基本解的構(gòu)造 ? 結(jié)果的局限性 ? (…) = 0 中包括哪些物理量是至關(guān)重要的 . 基本量綱個(gè)數(shù) n。 選哪些基本量綱 . 有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解 . ? 方法的普適性 函數(shù) F和無量綱量未定 . 不需要特定的專業(yè)知識(shí) . 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例 : 航船阻力的物理模擬 通過航船模型確定原型船所受阻力 gvlsf ,, ? ~模型船的參數(shù) (均已知 ) 211211112111311,),(lslgvglf?????????????可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 221213,),(lsglvglf?????????111111 ,, gvlsf ? ~原型船的參數(shù) (f1未知，其他已知 ) 注意：二者的 ?相同 2211 , ???? ????1gg ?llvv 121 )( ? 211 )(llss ???31311llff ?311 )(llff ?)( 1?? ? 按一定尺寸比例造模型船，量測 f，可算出 f1 ~ 物理模擬 221213,),(lsglvglf?????????211211112111311,),(lslgvglf?????????????例 : 航船阻力的物理模擬 無量綱化 例：火箭發(fā)射 2211 )( rxmmkxm?????vxxrxgrx?????)0(,0)0()(22???),。( gvrtxx ?m1 m2 x r v 0 g 星球表面豎直發(fā)射火箭。初速 v, 星球半徑 r, 星球表面重力加速度 g. 研究火箭高度 x 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律 . t=0 時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量 m1, 星球質(zhì)量 m2 牛頓第二定律，萬有引力定律 )0( ??? xgx??grkm 22 ?——3個(gè)獨(dú)立參數(shù) 用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù) [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT1, [g]=LT2 變量 x,t 和獨(dú)立參數(shù) r,v,g 的 量綱 用 參數(shù) r,v,g的組合 ,分別構(gòu)造與 x,t具有相同 量綱的 xc, tc （特征尺度） —無量綱變量 tx ,vrtrx cc /, ??如 ),。( gvrtxx ?利用新變量 , tx 將被簡化 cc tttxxx ?? ,令 xc, tc的不同構(gòu)造 vrtrx cc /, ??1）令 cc tttxxx ?? ,2 2 22ddddxx v v xtv x vxxr t r????),。( gvrtxx ? )。( ?txx ? ?為無量綱量 rvttrxx /,/ ?????????????1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx??? ??用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù) 的不同簡化結(jié)果 ),。( gvrtxx ?,)( 22rxgrx?????vxx??)0(,0)0(?gvtgvx cc /,/2 ??3）令 ),。( gvrtxx ????????????100011 22)(,)(,)(xxrgvxx??? ??)。( ?txx ??為無量綱量 ),。( gvrtxx ?grtrx cc /, ??2）令 ???????????????rgvxxxx2200011?? ,)()()(???)。( ?txx ??為無量綱量 用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù) 36 3 7 0 1 0 9 .8 8 0 0 0 ( )m / srg ? ? ? ?1) 2) 3) 的共同點(diǎn) 只含 1個(gè)參數(shù) ——無量綱量 ? )。( ?txx ?解 1) 2) 3) 的重要差別 rgv 2??考察無量綱量 v?? 1???在 1) 2) 3) 中能否忽略以 ?為因子的項(xiàng)？ ???????????1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx??? ??1) 忽略 ?項(xiàng) 無解 x 不能忽略 ?項(xiàng) 1)0(,0)0(,0)1(12????xxx?無量綱化方法 tttx ??? 2)(21)0(,0)0(,1????xxx???0)0(,0)0(,)1(12?????xxxx??????????????????rgvxxxx22,)0(0)0()1(1?????2) ???????????1)0(,0)0(,)1(1 22xxrgvxx??? ??3) 忽略 ?項(xiàng) 0)( ?tx不能忽略 ?項(xiàng) 忽略 ?項(xiàng) 0)( ?? tx1) 2) 3) 的重要差別 無量綱化方法 ?????????vxxgx)0(0)0(???,2)()32tttx ???gvtgvx cc /,/2 ??cc tttxxx ?? ,vtgttx ??? 221)(火箭發(fā)射過程中引力 m1g不變 即 x+r ? r vxxrxgrx?????)0(,0)0()(22???原問題 可以忽略 ?項(xiàng) vtgttx ??? 221)(是原問題的近似解 1) 2) 3) 的重要差別 無量綱化方法 為什么 3)能忽略 ?項(xiàng)，得到原問題近似解，而 1) 2)不能 ? vrtrx cc /, ??1）令 grtrx cc /, ??2）令 gvtgvx cc /,/2 ??3）令 火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為 v/g, 高度為 v2/2g, cc tttxxx /,/ ??大體上具有單位尺度 )1(??? 項(xiàng)可以忽略 cxx ??1, ??tx)1(??? 項(xiàng)不能忽略 無量綱化方法 ? 選擇特征尺度的一般討論見： 林家翹著《 自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué) 》 無 量 綱 化 ? 無量綱化 是研究物理問題常用的數(shù)學(xué)方法 . ? 選擇 特征尺度 主要依賴于物理知識(shí)和經(jīng)驗(yàn) . ? 恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素 .
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