【正文】 a. 電荷 q對導(dǎo)體平面 xy面的鏡像電荷 q， 坐標(biāo)為 ( x, 0, z) b. 電荷 q 對球面的鏡像為 qzxaq )( 22 ????222 zxad ???② 求鏡像電荷 導(dǎo)體外任意點的場由 四個點電荷共同確定。 , , ,q q q q????c. 鏡像電荷 對 xy平面的鏡像為 ， 處在 與 O的連線上。 q? q?? q?? q?三 . 圓柱面鏡像 r P o a l ? ? R ? R l ? ? x d o ? d ? M y b b B 例 在半徑為 a的無限長接地導(dǎo)體園柱外有一根與圓柱軸線平行的無限長線電荷，線電荷與圓柱軸線的距離為 d，如圖所示。 求：柱外任意點的電位和柱面上的感應(yīng)電荷。 解：①設(shè)置鏡像電荷 根據(jù)場的對稱性，可設(shè)鏡像電荷是一條與圓柱軸平行的線電荷，線密度為 ，與軸線的距離為 。 l?? d?② 求解等效問題 空間任意點的電位為 RBORMBU ll????? ln2ln2 00 ??????daRadR ll???????? ln2ln2 00 ?????? 其中 ?c o s222 rdrdR ??? ?c o s222 drrdR ?????? M B d a?? O B a d????代入邊界條件 ，得 0??arU)( c o s2ln2220 adadadU lar ?????????? 0c o s2ln2 )(220??? ?????? da daadl ????上式應(yīng)對任意都成立，即圓柱面上的電位處處為零。因此應(yīng)有 0???? arU?0c o s)](2[)]()([ 2222 ???????????? ????? llll daddaddad 由此可以得到 上式成立的充分條件是兩個方括號部分都等于零 所以可得到 ddll ????? ,??不合理 dadll2, ????? ??正確解 ③ 給出原問題的解 ????????c os2c os2ln2ln2 22222200 rdrdrdadraRadRU ll???????利用求得的鏡像電荷參數(shù)可以得到柱外任意點電位 )c os2(2)(22220 ?????addaaadrU lars ??????????lls sin addaaddzaaddsQa?????? ? ???????? ??? 20 221022c o s22)(④ 柱面上的感應(yīng)電荷面密度和單位長度上的感應(yīng)電荷分別為 ⑤ 等量異號平行線電荷的等電位面 l ? ? l ? b b y x 圖 5 — 16 平行線電荷的等電位線 0ln2 l RUCR??? ???假定兩線電荷相距為 2b，電量分別為 ，則空間任意點電位為 ,ll???分別表示場點與 的距離， ,RR? ,ll???R R k? ?可見當(dāng) 取不同值時，就得到不同電位的等位線。 若取兩線電荷連線為 x軸，連線的中垂線為 y軸建立直角坐標(biāo)系， 2222()()x b ykx b y?????2 2 2 2221211( ) ( )kkx b y b?? ? ???則 整理可得 R? R( , )P x y 這是一個以常數(shù) k為參量的圓族方程，它表示兩條平行異號線電荷在二維平面內(nèi)的等電位線族。 22[ ( 1 ) ( 1 ) , 0 ]k b k? ? ?22 (1 )k b k?等位圓的圓心在 半徑為 k 1時，等位圓在 y軸的左側(cè)，電位為負(fù)值； k 1時，等位圓在 y軸的右側(cè)，電位為正值； k = 1時，等位線變?yōu)?y軸，電位為零； k = 0時，等位圓縮為 (0,－ b)處的點，電位為－ ∞； k =∞時，等位圓縮為 (0,－ b)處的點，電位為 ∞。 ),( yxp b b l? l? 2R 1R 1o1 2o 圖 5 － 1 7 平行雙圓柱的鏡像法 a a d A B o d y x 例 兩無限長平行圓柱導(dǎo)體的半徑都等于 a，軸線之間的距離為 2d，如圖所示。 求：導(dǎo)體柱單位長度的電容。 解：用兩條平行異號線電荷和作為平行帶電圓柱的鏡像。首先來確定線電荷的位置 b。 222220 1 0()l n l n22 ()ll x b yRUR x b y??? ? ? ???????在右邊圓柱邊界上選取兩個特殊點 ， ( , 0 ) , ( , 0 )A d a B d a??ABUU?設(shè) y軸上的任意點為零電位參考點，則空間任意點處的電位為 則 即 2200( ) ( )l n l n22 ( ) ( )lld a b d a bd a b d a b??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?解之得 22b d a??222222220222222220 )()(ln4)()(ln2 yadxyadxyadxyadxU ll????????????????????所以空間任意點處的電位為 可得帶負(fù)電圓柱的電位 由此將帶負(fù)電圓柱面的方程 代入上式， 222 )( dxay ???222222222201 )()()()(ln4 dxaadxdxaadxU la ??????????????aaddl 220ln2 ??? ??? 同理，可證明帶正電圓柱的電位為 aaddU la2202 ln2???????兩圓柱間的電位差 aaddUUV laa22021 ln????????兩圓柱單位長度的電容為 aaddVC l2200ln ???? ???aDC ln00???ad ?? dD 2?當(dāng) 時，令 ，則得 167。 復(fù)變函數(shù)法 復(fù)位函數(shù)法 保角變換法 167。 有限差分法 數(shù)值方法 當(dāng)邊界形狀比較復(fù)雜，以至邊界條件無法寫成解析式而只能用一些離散數(shù)值表示時，前面所介紹的各種解法均無法使用，此時可以采用 數(shù)值方法 求解。 有限差分法、矩量法、有限元法、邊界元法 …… 有限差分法 ① 基本思想： 將滿足拉普拉斯方程或泊松方程的邊值問題轉(zhuǎn)化為一個有限差分方程組來求解。 ② 差分方程的推導(dǎo) P 1P 2P 3P 4P 圖 6 － 25 有限差分法示意圖 x y o h h 討論最簡單的二維問題 a. 將待求區(qū)域劃分成許多邊長為 h的小正方形網(wǎng)格，如圖所示，網(wǎng)格的交點稱為 結(jié)點 。 b. 推導(dǎo)結(jié)點 P 與周圍四個節(jié)點間的電位關(guān)系 ???????????? 3332221 !31!21!11 hx Uhx UhxUUU???????????? 3332223 !31!21!11 hx Uhx UhxUUU),(1 yhxUU ??P1點 ),(3 yhxUU ??P3點 展成泰勒級數(shù) 將 U1 U3兩式相加，并略去高階小量，可得 22231 2 xUhUUU?????同理可求出 22242 2 yUhUUU?????)( 222224321 4 y Ux UhUUUUU ???????????????????2222yUxU)( 2432141 ??hUUUUU ?????)(41 4321 UUUUU ????以上兩式相加得 對于泊松問題 得 對于拉普拉斯問題， ρ =0 所以 P點的差分方程 P點的差分格式 我們可以由區(qū)域內(nèi)所有結(jié)點的差分方程構(gòu)成一個方程組。如果邊界上的電位值是已知的，則差分方程和未知電位的個數(shù)都等于結(jié)點數(shù)，聯(lián)立求解即可得到各結(jié)點的電位值。 ③ 利用迭代法求解差分方程 7U 8U U =0 1U 2U 3U 4U 6U 9U 5U U =0 U =0 U = 100 V 圖 5 － 26 正方形截面的導(dǎo)體長槽 a. 劃分網(wǎng)格 問題：求如圖正方形導(dǎo)體長槽內(nèi)的電位 把槽截面劃分成若干個邊長相等的小正方格。假設(shè)分成 16個，共有9個結(jié)點的電位待定，設(shè)它們的電位分別為 U1 …… U9 。 b. 給定初值 初值是任意的，最簡單的辦法是令它們均等于零 V0V25)000100(41954321???????????UUUUUU?c. 迭代求解 疊代次數(shù) U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 0（初始值） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 3 36 36 16 17 18 ④ 數(shù)值計算中的問題 a. 解題精度主要決定于結(jié)點密度 b. 收斂于穩(wěn)定值則決定于疊代次數(shù) 當(dāng)精度要求較高時，隨著節(jié)點數(shù)和疊代次數(shù)的增大，其運算量會迅速增大。 改進：異步疊代法、超松馳法 ……