【正文】 ????? ? ? ??????? ? ???? ? ? ??? ? 球面上總感應電量為 導體上總的感應電荷量等于像電荷的電荷量。 ? 在上述問題中，若導體球不接地，球面上除了分布有感應負電荷外，還分布有感應正電荷，且球面的凈電荷為零，此時導體球的電位不為零，為保持球面是等位面還需在球上再加上一個鏡像電荷 ；且此 必須放在球心處，如圖 412所示。 2/31212221)c o s2(4)(?? addaaadq?????22 211 12 2 3 201 1 1() 2 s in4 ( 2 c o s )in /q d a a d aqqa a d a d d? ? ? ????? ? ? ????23 qq ??3q 圖 412 點電荷對不接地導體球的鏡像 ? 這種情況下球外任意點的電位為 此時球的電位等于 在球面上產生的電位 ? 它等于球不存在時 在 O點時產生的電位。 3q 2d2qa 1q0R 2R 1R 1P1dP? ??2P?010 1 1 2 1 014q aaR d R d R? ????? ? ?????3q3 10 0 144q qad? ?? ????1q? 4. 柱面邊界的鏡像法 【 例 410】 線電荷密度為 的無限長帶電直線與半徑為 a的接地無限長導體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為 ，如圖 413所示。求圓柱外空間的電位函數(shù)。 圖 413 線電荷對接地導體球的鏡像 l?1d 0 2d39。l?a l?P2R 1R 1P1d? ??2P 0R 【 解 】 導體圓柱在線電荷的電場作用下，柱面上會出現(xiàn)感應電荷。柱外空間任一點的電位等于線電荷和感應電荷分別產生的電位的迭加。顯然，柱面上感應電荷在離線電荷近的一側多，離線電荷遠的一側少，且其分布具有對稱性。假設在與圓柱軸線的距離為 ，且平行于軸線方向上放置一條鏡像線電荷，密度為 ，可由邊界條件確定之。 ? 圓柱外空間一點電位為 ? 由于圓柱接地，圓柱面上電位為零，設圖 413中的 ，則 2dl??1200l n l n22llR R C??? ? ? ? ??? ? ? ?2POP ???2 2 2 21 1 2 200l n ( 2 c o s ) l n ( 2 c o s ) 044lla d a d a d a d C?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 上式對任意 值均成立，在上式兩端對 求導可得 比較等式兩端相應 項的系數(shù)，可得 ? 聯(lián)解以上兩式可得 后一組解不合理，應舍去。 ??2 2 2 21 2 2 2 1 1( 2 c o s ) ( 2 c o s ) 0lld a d a d d a d a d? ? ? ??? ? ? ? ? ?cos?2 2 2 21 2 2 1( ) ( )lld a d d a d?? ?? ? ? ?ll?????22121lllladddd?????? ? ??? ? ?? 圓柱外任一點的電位為 ? 由 時，可求得 ? 圓柱面上的感應電荷密度為 ? 圓柱面上單位長度的感應面電荷為 201ln2 l R CR?? ????0r a,???2101ln2 l RdC Ra????2210 2211()2 ( 2 c o s )lSradar a a d a d??????????? ? ?? ? ?22 2122011()d2 2 c o slS l lSda adSa a d a d?? ?? ? ???? ?? ? ? ? ????? 二、靜磁場中的鏡像法 ? 靜磁場的邊值問題也可用鏡像法求解。 【 例 411】 設分界面為平面的兩個半無限大空間中，分別充滿磁導率為 和 的兩種均勻介質，在介質 1中存在一平行于分界面的長直線電流 I，與分界面的距離為 d，試求空間的磁場。 【 解 】 采用直角坐標系，取分界面為 平面，電流沿 y方向流動，如圖 414(a)所示。 求解上半空間的磁場時，以分界面為對稱面，在原電流的對稱位置上用一鏡像電流代替分界面上的磁化電流。這樣，可以為整個空間充滿磁導率為 的 1? 2?xoy1? 均勻介質，如圖 414(b)所示。因此，區(qū)域 1內任一點 P的矢量磁位為 圖 414 電流的鏡像 2 2 2 2111 l n ( ) l n ( )22 39。IIA x z d x z d????? ? ? ? ? ? ??d1?2?ozxI ?d1?2?ozxI?dI ??d1?2?oPxII? ????()a ()b ()c? 求解上半空間的磁場時，也可用鏡像電流來等效地代替分界面上的磁化電流。根據(jù)鏡像法，鏡像電流只能在區(qū)域 1內，如圖 414 (c )所示。區(qū)域 2內任一點 P的矢量磁位為 ? 鏡像電流和可由邊界條件確定，在分界面（ ）上 ? 從而得到 2222() l n ( )239。39。IIA x z d???? ? ? ?0z?1 0 2 0zzA | A |???12121100AAzzzz???????12()39。39。 39。39。I I I???? ? 聯(lián)立求解可得 ? 由上式可知，鏡像電流 和 的方向由 和 決定，若 ， 與原電流的方向一致，而 則相反；反之也然。則可得 39。39。 39。I I I??212139。II???????122139。39。II???????1? 2?39。I 39。39。I21??? 39。I 39。39。I2 2 2 21 1 2 1121l n ( ) l n ( )22IIA x z d x z d? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? 222 1 2212l n ( )2 IA x z d? ? ?? ? ??? ? ? ??相應的磁場為 1 2 111 2 2 2 221( ) ( )2 ( ) ( )x z x zz d x z d xIx z d x z d? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?e e e eBA2 1 2222212()2 ( )xzz d xIx z d? ? ?? ? ????? ? ? ?? ? ?ee