【正文】 (18. 12) 一般地， 只通過 Yt1 對 Yt 起作用，第 t 個觀察值以前 t 1個觀察值為條件的分布為： () 完全樣本的似然函數(shù)為 () 其對數(shù)似然函數(shù)（記作 log ） 可由 ()取對數(shù)求得： () 將 ()和 ()代入 () ，由 AR(1)過程得到一個樣本量為 T的樣本的對數(shù)似然為() 例例 3 AR (1 )模型的極大似然估計模型的極大似然估計 （ 18ar1) 我們用數(shù)據(jù)生成過程生成 Y ， 其中 ?t 是一個白噪聲過程，即 ?t ～ 。 AR(1)過程的樣本量為 T 的對數(shù)似然函數(shù)為 ()式，總體參數(shù)向量為 。 利用極大似然估計方法估計的 AR (1)模型 : @LOGL LOGL1 @PARAM C(1) RHO(1) RES = @RECODE( D1=1,YC(1)/(1RHO(1)),YC(1)RHO(1)*Y(1) ) VAR = @RECODE( D1=1,S2(1)/(1RHO(1)^2),S2(1) ) SRES = RES/@SQRT(VAR) LOGL1 = LOG(@DNORM(SRES)) LOG(VAR)/2 @TEMP RES VAR SRES LOGL1 其中 @RECODE函數(shù)的第 1個參數(shù)是條件，如果滿足，執(zhí)行第 2個表達(dá)式；否則執(zhí)行第 3個表達(dá)式。AR(1)模型的表達(dá)式為： （ ) () 二、二、 GARCH（（ 1, 1）） 的極大似然函數(shù)的極大似然函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)的 GARCH（ p, q） 模型的形式為： () 要想寫出 GARCH（ p, q） 模型的極大似然函數(shù)，首先要分析擾動項 ut 的密度函數(shù)。為了方便起見，我們對方程 ()采用另外一種方法來表示，它對 ut 的序列相關(guān)施以更強的假定。假定；() 這里， {vt}是一個 i. . 序列，其均值為 0，方差為 1： 如果 ht 的變化服從 () 那么 () 意味著， () 因此，如果 ut 是 由 ()和 ()產(chǎn)生的話，那么 ut 服從 GARCH（p, q） 過程，并且線性投影 ()是其條件期望。 如果 vt ～ N(0, 1)， yt 的條件分布為正態(tài)分布，其均值為 ，方差為 ht ， 則其密度函數(shù)為 : ()式中 Yt1 表示 t 1時刻前的信息集合， () 將欲估計的未知參數(shù)列成一個向量： 則樣本對數(shù)似然函數(shù)是 () 但是，很多金融時間序列的無條件分布不同于正態(tài)分布，它們具有更寬的尾部，也就是說，即使 () 中的 vt 為正態(tài)分布， ut 的無條件分布也是一個非正態(tài)分布。大量事實表明， ut 的條件分布也常常是非正態(tài)的。 對于非正態(tài)分布可以使用原來的基本方法。例如，博勒斯萊文（1987）認(rèn)為 () 中的 vt 可以取自一個自由度為 k 的 t 分布， k 可視作由極大似然函數(shù)估計的參數(shù)。如果 ut 是 一具有 k 個自由度的 t 分布，當(dāng) k 2 時，其密度函數(shù)為 () 該密度函數(shù)可用來取代 () 中的正態(tài)設(shè)定，未知參數(shù)向量變?yōu)椋? 于是樣本對數(shù)似然函數(shù)就變成： () 這樣對數(shù)似然函數(shù) ()在 k 2 的約束下關(guān)于 k ,? ,? ,? , ? 數(shù)值最大化。 例例 4 根據(jù)方程 () 中描述的 GARCH ( p, q )模型和 () 式的極大似然函數(shù)，利用極大似然估計方法重新估計的股票價格指數(shù) sp 的 GARCH (1, 1) 模型 (工作文件 16sp)。 在極大似然函數(shù)窗口寫出似然說明： @LOGL LOGL @byobs RES = LOG(SP)gamma(1)*LOG(SP(1)) SIG2 = omega(1)+alpha(1)*RES(1)^2 +beta(1)*SIG2(1) Z = RES^2/SIG2/(k(1)2) + 1 LOGL = @GAMMALOG((k(1) + 1)/2) @GAMMALOG(k(1)/2) – LOG()/2 LOG(k(1) 2)/2 LOG(SIG2)/2 (k(1)+1)*LOG(Z)/2 利用極大似然估計方法 可以得到未知參數(shù)向量： 從而得到 GARCH (1, 1) 模型： 均值方程： （ ） 方差方程： （ ） （ ） （ ） 對數(shù)似然值 = 3056 AIC = SC = 附例附例 ： 下面的附例程序可在 EViews目錄的 “Example Files”子目錄中找到。 條件 logit模型（ ） BoxCox變換（ ） 非對稱遷移模型 () 乘法異方差性 () 具有異方差性的 Probit模型 () 分組數(shù)據(jù)的 Probit模型 () 嵌套 logit模型 () 零選擇泊松模型 () ?？寺鼧颖具x擇模型 () 威布爾概率模型 () 具有 t分布誤差的 GARCH(1,1)模型 () 具有一般誤差分布誤差的 EGARCH模型 () 多元 GARCH模型 (