【正文】 4相乘，它們和的個(gè)位數(shù)是幾？10．小紅數(shù)左手的手指，大拇指為1，食指為2，中指為3，無名指為4，小指為5，然后換向，無名指為6，中指為7，食指為8，大拇指為9，再換向，食指為10，…這樣，數(shù)到2000停在哪個(gè)手指上？第19講 假設(shè)問題（一）假設(shè)法是解答應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常用到的一種方法。所謂“假設(shè)法”就是依據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論作出某種設(shè)想，然后按照已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，再適當(dāng)調(diào)整，從而長(zhǎng)到正確答案。我們看這樣一道題：在同一個(gè)籠子里的，有若干雞和兔。從籠子上看有30個(gè)頭，從籠子下數(shù)有70只腳。這個(gè)籠子里裝有雞、兔各多少只？這樣的問題屬于“雞兔同籠”問題，解決這類問題通常用假設(shè)法。我們可以先假設(shè)籠子里全部都是雞，根據(jù)雞、兔的總只數(shù)可以算出在假設(shè)條件下共有多少只腳，結(jié)果一定比已知的問好腳數(shù)少，每差2只腳就說明有1只兔，所以，用所差的腳數(shù)除以2，就可以求出兔的只數(shù)，從而可以求出雞的只數(shù)。也可以先假設(shè)全部都是兔，按照前面的方法推算出雞的只數(shù)。用假設(shè)法解答雞兔同籠問題的基本數(shù)量關(guān)系式是：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）247。（每只兔子腳數(shù)每只雞腳數(shù)）雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù)）247。（每只兔子腳數(shù)每只雞腳數(shù)）例1．本講開始例舉題目。例2．王芳有2分、5分的硬幣共40枚，一共是1元2角5分。兩種硬幣各有多少枚？例3．王老師帶了51名同學(xué)去公園劃船，共租了11條船，每條大船坐6人，每條小船坐4人。請(qǐng)你算一算，他們租了大船、小船各幾條？例4．一批鋼材，用小卡車裝載，要用45輛；如果用大卡車裝載，只需用36輛。每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，這批鋼材有多少噸？例5．王老師從家到學(xué)校上班，出發(fā)時(shí)他看看表，發(fā)現(xiàn)如果步行，每分行80米，他將遲到5分；如果騎自行車，第分行200米，他可以提前7分到校。王老師出發(fā)時(shí)離上班時(shí)間有多少分？練習(xí)與思考 1．雞兔共100只，共有腳284只，雞兔各有多少只？2．2元、5元的人民幣共27張，全計(jì)99元。2元、5元的人民幣各有多少?gòu)垼?．用一元錢買8分郵票和4他郵票，共買了17張。買的4分郵票與8分郵票相差多少?gòu)垼?．電影院一天售出甲、乙兩種電影票共1700張，共收款7800元。甲種票每張6元，乙種票每張4元。甲、乙兩種電影票各售出多少?gòu)垼?．田甜這學(xué)期的21次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)际?分或5分（老師采用5分評(píng)分制），總共加起來是100分。她得了多少次5分？6．王師傅有2元，5元，10元的人民幣共118張，共計(jì)500元，其中5元與10元的張數(shù)相等。三種人民幣各有多少?gòu)垼?．張老師帶了55個(gè)學(xué)生去劃船，共乘從10只船，其中大船坐6人，小船坐4人。大船和小船各幾只？8．有一堆土，用大汽車運(yùn)，要運(yùn)50次；如果用小汽車運(yùn)，要運(yùn)80次。每輛大汽車比小汽車多運(yùn)3噸，這堆土有多少噸？9．李老師從學(xué)校到教委去開會(huì)，出發(fā)時(shí)他看一下表，發(fā)現(xiàn)如果步行每分行行100米，他將遲到6分；如果騎自行車每分行200米，可以提前3分到達(dá)。李老師出發(fā)時(shí)離開會(huì)有多少時(shí)間？10．松鼠采松子，晴天每天可采用20個(gè)，雨天每天可采12個(gè)，它一連幾天采了112松子，平均每天采14個(gè)。這幾天當(dāng)中有幾天下雨？第20講 假設(shè)問題（二）例1．三、四、五年級(jí)同學(xué)共植樹108棵。三年級(jí)比四年級(jí)少植18棵，五年級(jí)比三年級(jí)多植30棵，三個(gè)年級(jí)同學(xué)各植樹多少棵？例2．每個(gè)大油桶可裝油4千克，每個(gè)小油桶可裝油2千克，大桶和小桶共50個(gè)，大桶比小桶共多裝油20千克。大、小油桶各多少個(gè)？例3．搬運(yùn)1000只玻璃瓶，規(guī)定安全運(yùn)到一只可得搬運(yùn)費(fèi)3角，但打碎一只，不僅不給搬運(yùn)費(fèi)，還要賠5角。如果運(yùn)完后共得運(yùn)費(fèi)260元，那么，搬運(yùn)中打碎了幾只玻璃瓶？例4．，某單位買進(jìn)水果糖和奶糖共200千克，付款時(shí)發(fā)現(xiàn)買奶糖比水果糖多用220元，兩種糖各買進(jìn)多少千克？例5．雞兔同籠，雞比兔多14只，共有腳136只，雞兔各有多少只？練習(xí)與思考 1．小明、小宇、小虹、小葉到森林里去采蘑菇。他們共采了80個(gè)蘑菇，小明比小宇少采了8個(gè)，小虹比小明少采14個(gè)，小葉和小虹采的一樣多。他們每人采了多少個(gè)蘑菇？2．三筐蘋果共130個(gè)，第二筐內(nèi)的蘋果數(shù)是第一筐的3倍，第三筐的蘋果數(shù)是第二筐的2倍多10個(gè)，三筐蘋果各有多少個(gè)？3．小紅有一個(gè)小儲(chǔ)蓄箱，一天，她把儲(chǔ)蓄箱里存的錢全倒出來了。數(shù)一數(shù)，二分硬幣和五分硬幣共152枚，算一算，五分硬幣比二分硬幣多少60分，兩種硬幣各多少枚？4．學(xué)校組織參觀，全校共720人參加。一輛大轎車比一輛小卡車多載20人。6輛大轎車和8輛小卡車載的人數(shù)相等。如果都乘小卡車需要幾輛？5．某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共20道題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：每做對(duì)一道題得5分，每做錯(cuò)或不做一題扣1分。李強(qiáng)參加了這次競(jìng)賽，得了64分。李強(qiáng)做對(duì)了幾道題？，每只水瓶14元，每只茶杯2元，買的茶杯比水瓶多36只。買水瓶和茶杯各多少只？7．某電視機(jī)廠每天生產(chǎn)電視機(jī)500臺(tái)，在質(zhì)量評(píng)比中，每生產(chǎn)一臺(tái)合格電視機(jī)記5分，每生產(chǎn)一臺(tái)不合格電視機(jī)扣18分。已知該廠四天評(píng)比中得了9931分，這四天生產(chǎn)了多少臺(tái)合格電視機(jī)？8．雞兔同籠，共有腳138只，雞比兔多12只。雞兔各有多少只？9．六（2）班42個(gè)同學(xué)參加植樹，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵，男生比女生多種56棵，男、女生各多少人？10．小王、小李兩人射擊比賽，約定每中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)則扣12分。兩人各打了10發(fā)，共得208分，小王比小李多得64分。小王、小李兩各打中幾發(fā)？第21講 計(jì)數(shù)問題（一）我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了角、三角形、長(zhǎng)方形、正方形等基本圖形，當(dāng)這些圖形重疊交錯(cuò)在一起時(shí)，就構(gòu)成了錯(cuò)綜復(fù)雜的幾何圖形，要想準(zhǔn)確地計(jì)算出這類圖形中所包括的某一種基本圖形的個(gè)數(shù)，就需要認(rèn)真觀察，靈活地運(yùn)用有關(guān)的基本概念和知識(shí)，并學(xué)會(huì)運(yùn)用一些正常的解題思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，這樣才能獲得正確的計(jì)數(shù)結(jié)果。例1． 數(shù)出下面各圖中線段的總條數(shù)。例2． 數(shù)一數(shù)，圖中有多少條線段。 ABCD1D2D3D4D5D6D7例3． 數(shù)出圖中共有多少條線段。例4． 數(shù)一數(shù)圖中共有多少線線段。A5OA1A2A3A4例5． 數(shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)銳角。練習(xí)與思考1． 數(shù)一數(shù)，各圖中有多少條線段。 (1)C2C1C19ABC3…C18 (2) 2．如果線段AB上共有8個(gè)點(diǎn)（包括A、B兩點(diǎn)），那么，共有多少條線段？3．乘火車從南京到上海，途中共有5個(gè)站（不包括南京、上海），共有多少條不同的路段？BDCEA..（2）4．?dāng)?shù)一數(shù)，各圖中有多少條線段。(1) （4） （3）（6） （5） 5．?dāng)?shù)一數(shù)，各圖中有幾個(gè)銳角。6．某班有35個(gè)學(xué)生，現(xiàn)將34個(gè)學(xué)生排成一隊(duì)，另外一個(gè)站在隊(duì)外，如果把每個(gè)學(xué)生看成一點(diǎn)，那么，這35個(gè)學(xué)生可以組成多少條線段？第22講 計(jì)數(shù)問題（二）例1． 分別數(shù)出下面各圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)。 例2． 數(shù)一數(shù)下左圖中有多少個(gè)正方形。例3． 數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)三角形。例4． 數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)三角形。例5． 如圖，從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有3條路可走；從甲地到丁地有4條路可走，從丁地到丙地有2條路可去。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？練習(xí)與思考1．?dāng)?shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。 （1） （2）2．?dāng)?shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)正方形。，圖中有多少個(gè)三角形。 4．?dāng)?shù)一數(shù)，下左圖中有三角形、平等四邊形、梯形各多少個(gè)。 5．聯(lián)結(jié)A、B、C、D四個(gè)城市的道路如圖所示：（1）從A城經(jīng)B城到C城的不同走共有多少種？（2）從A城到C城的不同走法共有多少種？第23講 容斥問題（一）容斥問題涉及到一個(gè)重要的原理——包含與排除原理，也稱為容斥原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)地計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。這一講我們先介紹容斥原理1對(duì)n個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖1），那么，具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=Na+NbNab。例1．一個(gè)班有55名學(xué)生，訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有12人，訂閱《今日少年報(bào)》的有9人，兩種報(bào)紙都訂閱的有5人。（1）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)有多少？（2）兩種報(bào)紙都沒訂閱的有多少人？例2．一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語(yǔ)的有24人，會(huì)俄語(yǔ)的有18人，兩樣都不會(huì)的有4人，兩樣都會(huì)的有多少人？例3．在1到100的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？例4．藝術(shù)節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展了了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有23幅畫不是五年級(jí)的，有21幅畫不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的畫共有8幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？ 練習(xí)與思考1． 將邊長(zhǎng)分別為4厘米和5厘米的正方形紙片部分重疊，蓋在桌面上（如圖6），已知重疊的部分為9平方厘米，兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米？ 2．二（2）班有50名學(xué)生，下課后每人都至少做完了一門作業(yè)，其中做完語(yǔ)文作業(yè)的有35人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有40人，兩種作業(yè)都做完的有多少人？3．有62名學(xué)生，其中會(huì)彈鋼琴的有11名，會(huì)吹豎笛的有56名，兩樣都不會(huì)的有4名，兩樣都會(huì)的有多少名？4．某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人，數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12人，有3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)的，兩項(xiàng)比賽都沒獲獎(jiǎng)的有多少人？5．四（1）班有40個(gè)學(xué)生，其中有25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加航模水組，有19人兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？6．在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第2兩題，其中答對(duì)第1題的有35人，答對(duì)第2題的有28人，這兩題都答對(duì)的有20人，沒有人兩題都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？7．一個(gè)俱樂部里，會(huì)下中國(guó)象棋的有69人，會(huì)下國(guó)際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人，都會(huì)下的有30人。這個(gè)俱樂部里有多少人？8．某班上體育課，全班排成4行（每行的人數(shù)相等），小芳排的位置是：從前面數(shù)第6個(gè)，從后面數(shù)第7個(gè)。這個(gè)班共有多少名學(xué)生？9．在1到200的全部自然數(shù)中，既不是8的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？10．科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有114件不是一年級(jí)的，有96件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？第24講 容斥問題（二）這一講介紹容斥原理2 n個(gè)事物，如何采用三種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：按性質(zhì)a 分類、性質(zhì)b分類與性質(zhì)c分類（如圖1），那么，具有性質(zhì)a或b或c的事物的個(gè)數(shù)=(Na+Nb=Nc)(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。例1．五（1）班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目和人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球17人18人15人6人6人6人2人求全班人數(shù)。例2．某班有學(xué)生50人，參加無線電小組，航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20人、20人和12人，其中既參加無線電小組又參加航模小組的有4人，既參加航模小組又參加生物小組的有5人，既參加生物小組又參加無線電小組的有3人。已知全班每人都至少參加了以上三個(gè)小組中的某一個(gè)，那么，三個(gè)小組參加的學(xué)生有多少人？例3．一個(gè)體育鍛煉小組有35名男生，規(guī)定他們至少參加籃球、排球、足球三個(gè)球隊(duì)中的一個(gè)。結(jié)果參加籃球隊(duì)的有16人，參加排球隊(duì)的有11人，參加足球隊(duì)的有20人，其中有4人既參加了排球隊(duì)又參加了籃球隊(duì)，有3人既參加了排球隊(duì)又參加了足球隊(duì)，沒有人三個(gè)球隊(duì)都參加。既參加籃球隊(duì)又參加足球隊(duì)的有多少人？例4．松山小學(xué)45名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、作文、美術(shù)競(jìng)賽。有21人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，15人參加作文競(jìng)賽，其中7人既參加作文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，3人既參加作文競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽，但沒有一人既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽。（1）只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有多少人？（2）只參加作文競(jìng)賽的有多少人？（3）只參加美術(shù)競(jìng)賽的有多少人？練習(xí)與思考 1．有30名運(yùn)動(dòng)員、其中18人會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)，16人會(huì)撐桿跳高，10人三級(jí)跳遠(yuǎn)、撐桿跳高都不會(huì)。既會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)又會(huì)撐桿跳高的運(yùn)動(dòng)員有多少名？2．操場(chǎng)上的學(xué)生排成10路縱隊(duì)做操，每路縱隊(duì)的人數(shù)同樣多，小明站在第4路縱隊(duì)，從排頭數(shù)他是第13人，從后往前數(shù)他是第8人。操場(chǎng)上有多少人在做操？3．一個(gè)年級(jí)有120人愛好數(shù)學(xué)，100人愛好語(yǔ)文，85人愛好美術(shù)，30人既愛好數(shù)學(xué)又愛好語(yǔ)文，20人既愛好語(yǔ)文又愛好美術(shù)，35人既愛好美術(shù)又愛好數(shù)學(xué)，有18人三個(gè)學(xué)科都愛好。請(qǐng)問：這個(gè)年級(jí)中數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、美術(shù)三個(gè)學(xué)科至少愛好一個(gè)學(xué)科的學(xué)生有多少人？4．某班全體學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三個(gè)科目的測(cè)試，有8名學(xué)生在這三個(gè)科目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)科目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表：數(shù)學(xué)語(yǔ)文英語(yǔ)數(shù)學(xué)、語(yǔ)文語(yǔ)文、英語(yǔ)英語(yǔ)、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)2016164 453全班一共有多少名學(xué)生？ 5．