【正文】 C2 B2A2DE20． （2022廣東省一模，20，9）有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是： 第一步：對(duì)折矩形紙片 ABCD，使 AD 與 BC 重合，得到折痕 EF，把紙片展開(kāi)（如圖 1） ；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn) A 落在 EF 上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) B，得到折痕 BM，同時(shí)得到線段BN（如圖 2）.(（圖 1） （圖 2） 請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）如圖 2，若延長(zhǎng) MN 交線段 BC 于 P，△BMP 是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（2）在圖 2 中，若 AB=a，BC=b，a、b 滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片 ABCD 上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片 BMP ？【答案】解：（1）△BMP 是等邊三角形. …………………………………………………1 分 證明：連結(jié) AN ∵EF 垂直平分 AB ∴AN = BN由折疊知 AB = BN ∴AN = AB = BN ∴△ABN 為等邊三角形 ∴∠ABN =60176。 ∴∠PBN =30176。 …………………………3 分29又∵∠ABM =∠NBM =30176。，∠BNM =∠A =90176。 ∴∠BPN =60176。∠MBP =∠MBN +∠PBN =60176?！唷螧MP =60176。∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60176?！唷鰾MP 為等邊三角形 . …………………………………………………5 分（2）要在矩形紙片 ABCD 上剪出等邊△BMP，則 BC ≥BP……………………7 分在 Rt△BNP 中， BN = BA =a，∠PBN =30176。∴BP = ∴b≥ ∴a≤ b .cos30a?cos30a?23∴當(dāng) a≤ b 時(shí)，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP.……………………9 分2yA P BQCO x21.（2022廣東省一模，22，9）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OABC為矩形， 3?，4?， P為直線 AB上一動(dòng)點(diǎn)，將直線 OP繞點(diǎn) 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90176。交直線 于點(diǎn) Q；（1）當(dāng)點(diǎn) 在線段 上運(yùn)動(dòng)（不與 ， 重合）時(shí)，求證：OABQ=APBP；（2）在（1）成立的條件下，設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 m，線段 CQ的長(zhǎng)度為 l，求出 l關(guān)于 的函數(shù)解析式，并判斷 l是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）直線 AB上是否存在點(diǎn) P，使 OQ△ 為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。22.（1）證明：∵四邊形 OABC 為矩形∴∠OAP=∠QBP=90176。,∵∠OPQ=90176。, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ∴ BQAPO?∴OABQ=APBP －－－－－3 分30(2) 由（1）知 OABQ=APBP ∴3BQ=m(4－m) ∴BQ= 3)4(m?∴CQ=3－ =3)4(m?342?即 L= (0＜m＜4)2?= 35)(12?∴當(dāng) m=2 時(shí)， L（最小）= －－－6 分 (圖 1)(3)∵∠OPQ=90176。,∴要使△POQ 為等腰三角形，則 PO=PQ . 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 上時(shí)，如圖 (1) △ AOP≌△BPQ ∴PB=AO=3 △ ∴AP=4－3=1∴ (1,3)1當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2） 此時(shí)△QBP≌△PAO ∴PB=AO=3 ∴AP=4+3=7 （圖 2）31（圖 3） ∴ (7,3)2P當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 （3） 此時(shí)∵PB＞AB＞AO, ∴△PQB 不可能與△OPA 全等,即 PQ 不可能與 PO 相等,此時(shí)點(diǎn) P 不存在.綜上所述，知存在 (1,3), (7,3). －－－－－9 分12P 22. （2022河北省石家莊市一模 4，18，10）已知，等腰 Rt△ABC 中，點(diǎn) O是斜邊的中點(diǎn)，△MPN 是直角三角形，固定△ABC，滑動(dòng)△MPN，在滑動(dòng)過(guò)程中始終保持點(diǎn) P 在 AC 上，且 PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分別為 E、F．（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合時(shí)，OE、OF 的數(shù)量和位置關(guān)系分別是____ __．（2）當(dāng)△MPN 移動(dòng)到圖 2 的位置時(shí)， （1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）如圖 3，等腰 Rt△ABC 的腰長(zhǎng)為 6，點(diǎn) P 在 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，Rt△MPN 的邊 PM 與 AB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E，直線 BC 與直線 NP 交于點(diǎn) F，OE 交 BC 于點(diǎn) H，且 EH：HO=2：5，則 BE 的長(zhǎng)是多少？ 圖 1AB COMNEF(P)AB COMNEFP圖 2AB COMNEFP圖 3H【答案】 （1）數(shù)量關(guān)系：相等，位置關(guān)系：垂直．（2）成立，易證△ＯＥＢ≌△ＯＦC；　（３） ．5623.（2022上海市盧灣區(qū)模擬 1，24，12）已知：32拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， ，且對(duì)稱軸 與 軸交于點(diǎn) .2yaxbc????0,O7,4Alx??5,0B（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，點(diǎn) 、 分別是 軸、對(duì)稱軸 上的點(diǎn)，且四邊形 是矩形，點(diǎn) 是 上一點(diǎn)，EFylEOF5,2C??????BF將 沿著直線 翻折， 點(diǎn)與線段 上的 點(diǎn)重合，求 點(diǎn)的坐標(biāo)；BOC?BEFD（3）在（2）的條件下，點(diǎn) 是對(duì)稱軸 上的點(diǎn)，直線 交 于點(diǎn) ， ，求 點(diǎn)GlGCH:1:4DOHCS??G坐標(biāo). OBCDEFxy(第 24 題圖)l【答案】 解（1）由題意得 …………………………………………（1 分）5,204974bac???????解，得 ∴ .…………………………………………（3 分）4,210,.abc???????2401yx?（2）∵ 與 重合，BOC?D，∴ ， ，∴ ，又5,2?55,2CB??90OCD???90EOFDC????，90E???∴ ，∵ ，∴ ∽ ，………（2 分）F90EF??E?F∴ ，……………………………………………………（1 分）52CD∵四邊形 是矩形，∴ ， ，OEBOB?設(shè) ，則 ，∴ ，F(xiàn)x?,xFx?104Ex?33∴ ，解，得 ，∴ ，∴ .…………（1 分）51042x???32x?,4EDO???3,（3）過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為點(diǎn) .HPOB?P∵ ，∴ ，…………………………………（1 分）:1:DOCS? 14HDCS?∵ ， ，∴ ∥ ，∴ ，∴ ，∴ .……………………（1 分）5HPB?1,2OP?,??????∴經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， 的直線 的表達(dá)式為 ，……………（1 分）??3,4D1,2??????DG754yx??∴ .………………………………………………………………………（1 分）15,2G??????24． （2022上海市普陀區(qū)二模，25，14）直角三角板 ABC 中，∠A=30176。，BC＝ C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角 （ 且 ≠ 90176。） ，得到 Rt△ ，?012????39。ABC（1）如圖 9，當(dāng) 邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角 的度數(shù)；39。A（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊 與 AB 所在直線交于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D 作 DE∥ 交 邊于點(diǎn)39。AC 39。AB39。E，聯(lián)結(jié) BE.①當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， ，求 與 之間的函數(shù)解析式及定義域；09???Dx?Eyx②當(dāng) 時(shí)，求 的長(zhǎng). 13BDEABCS?A CBA CBA圖 9 備用圖 備用圖E DB39。 A39。CBA25．解：（1）在 Rt△ 中，∵∠A=30176。，B34∴ ．………………………………………………………（1 分）60ABC???由旋轉(zhuǎn)可知： ， ，39。 39。 60BAC???39。BC???∴△ 為等邊三角形．……………（2 分）39?！?＝ ．……………（1 分）39。BC??60?（2）① 當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) D 在 AB 邊上（如圖）. 09?? ∵ DE∥ ，39。A ∴ .．…………………………………………………（1 分）EB??? 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA = ，CB= ， ∠ACD=∠BCE.39。CA39。B∴ ， ．…………………………………………………（1 分）CDA∴ .EB?∴ △CAD∽△CBE. ．………………………………………（1 分）∴ .ADC∵∠A=30176。∴ .……………………………………………（1 分）yx?3B∴ （0﹤ ﹤2）…………………………………………（2 分）x②當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) D 在 AB 邊上09???AD=x， ，∠DBE=90176。.2BA?? 此時(shí)， .21133(2)6DE xxSB???????A 當(dāng) S = 時(shí)， .13ABC?236x?? 整理，得 .210x? 解得 ，即 AD=1. …………………………………（2 分）12當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) D 在 AB 的延長(zhǎng)線上（如圖）.90???? 仍設(shè) AD=x，則 ，∠DBE=90176。..Bx?? .21133(2)2 6DE xxS ?????A35 當(dāng) S = 時(shí)， .13ABC?2336x?? 整理，得 .210x 解得 ， （負(fù)值，舍去）. 1??2? 即 .…………………………………………………（2 分）+AD 綜上所述：AD=1 或 .1+2 EDB39。A39。CBA