【導(dǎo)讀】擾的影響，系統(tǒng)輸出的數(shù)字信息不可避免地會出現(xiàn)差錯。因此，為了保證通信內(nèi)容。為了降低誤碼率，常用的方法有兩種：一種是降低數(shù)字信道本身引起的誤碼，措施，使用信道編碼。在許多情況下，信道的改善是不可能的或者是不經(jīng)濟的，這。時只能采用信道編碼方法。因此實現(xiàn)信道編碼方法具有重要的意義。信道編碼的本質(zhì)是增加通信的可靠性，或者說增加整個系統(tǒng)的抗干擾。對信道編碼有下列要求：：要求對所傳消息的內(nèi)容不加任何限制；2.加一些碼，要求加入最少的比特數(shù)而得到最大的利益；。減少發(fā)生差錯的可能性；二是增加糾錯能力，使得即便出現(xiàn)差錯，也能

　　

【正文】 沒有反饋通道。 誤碼控制的基本原理 為了能判斷傳送的信息是否有誤，可以在傳送時增加必要的附加判斷數(shù)據(jù)；如果 又能糾正錯誤，則需要增加更多的附加判斷數(shù)據(jù)。這些附加數(shù)據(jù)在不發(fā)生誤碼的情況之下是完全多余的，但如果發(fā)生誤碼，即可利用被傳信息數(shù)據(jù)與附加數(shù)據(jù)之間的特定關(guān)系來實現(xiàn)檢出錯誤和糾正錯誤，這就是誤碼控制編碼的基本原理。具體地說就是：為了使信源代碼具有檢錯和糾錯能力，應(yīng)當(dāng)按一定的規(guī)則在信源編碼的基礎(chǔ)上增加一些冗余碼元 (又稱監(jiān)督碼 )，使這些冗余碼元與被傳送信息碼元之間建立一定的關(guān)系，發(fā)信端完成這個任務(wù)的過程就稱為誤碼控制編碼；在收信端，根據(jù)信息碼元與監(jiān)督碼元的特定關(guān)系，實現(xiàn)檢錯或糾錯，輸出原信息碼元，完成這個任務(wù)的過程就 稱誤碼控制譯碼 (或解碼 )。另外，無論檢錯和糾錯，都有一定的誤別范圍，如上例中，若開會時間錯為 “16 ： 00~18： 00” ，則無法實現(xiàn)檢錯與糾錯，因為這個時間也同樣滿足附加數(shù)據(jù)的約束條件，這就應(yīng)當(dāng)增加更多的附加數(shù)據(jù) (即冗余 )。我們已知，信源編碼的中心任務(wù)是消去冗余，實現(xiàn)碼率壓縮，可是為了檢錯與糾錯，又不得不增加冗 余，這又必然導(dǎo)致碼率增加，傳輸效率降低；顯然這是個矛盾。我們分析誤碼控制編碼的目的，正是為了尋求較好的編碼方式，能在增加冗余不太多的前提下來實現(xiàn)檢錯和糾錯。再者，經(jīng)過信源編碼，如果傳送信道容量與信源碼率相匹配，而且信道內(nèi)引入的噪聲較小，則誤碼率一般是很低的。例如，當(dāng)信道的信雜比超過 20dB 時，二元單極性碼的誤碼率低于 ，即誤碼率只 分之一，故通過信道編碼實現(xiàn)檢錯和糾錯是可以做到的。 誤碼控制編碼的分類 隨著數(shù)字通信技術(shù)的發(fā)展，研究開發(fā)了各種誤碼控制編碼方案，各自建立在不同的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，并具有 不同的檢錯與糾錯特性，可以從不同的角度對誤碼控制編碼進行分類。 按照誤碼控制的不同功能，可分為檢錯碼、糾錯碼和糾刪碼等。檢錯碼僅具備識別錯碼功能而無糾正錯碼功能；糾錯碼不僅具備識別錯碼功能，同時具備糾正錯碼功能；糾刪碼則不僅具備識別錯碼和糾正錯碼的功能，而且當(dāng)錯碼超過糾正范圍時可把無法糾錯的信息刪除。 按照誤碼產(chǎn)生的原因不同，可分為糾正隨機錯誤的碼與糾正突發(fā)性錯誤的碼。前者主要用于產(chǎn)生獨立的局部誤碼的信道，而后者主要用于產(chǎn)生大面積的連續(xù)誤碼的情況，例如磁帶數(shù)碼記錄中磁粉脫落而發(fā)生的信息丟失。按照信息碼元與附 加的監(jiān)督碼元之間的檢驗關(guān)系可分為線性碼與非線性碼。如果兩者呈線性關(guān)系，即滿足一組線性方程式，就稱為線性碼；否則，兩者關(guān)系不能用線性方程式來描述，就稱為非線性碼。 糾錯檢錯的基本原理 13 按照信息碼元與監(jiān)督附加碼元之間的約束方式之不同，可以分為分組碼與卷積碼。在分組碼中，編碼后的碼元序列每 n位分為一組，其中包括 k位信息碼元和 r位附加監(jiān)督碼元，即 n=k+r，每組的監(jiān)督碼元僅與本組的信息碼元有關(guān)，而與其他組的信息碼元無關(guān)。卷積碼則不同，雖然編碼后碼元序列也劃分為碼組，但每組的監(jiān)督碼元不但與本組的信息碼元有關(guān)，而且與前面碼組的信息碼元也有 約束關(guān)系。 按照信息碼元在編碼之后是否保持原來的形式不變，又可分為系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼。在系統(tǒng)碼中，編碼后的信息碼元序列保持原樣不變，而在非系統(tǒng)碼中，信息碼元會改變其原有的信號序列。由于原有碼位發(fā)生了變化，使譯碼電路更為復(fù)雜，故較少選用。 根據(jù)編碼過程中所選用的數(shù)字函數(shù)式或信息碼元特性的不同，又包括多種編碼方式。對于某種具體的數(shù)字設(shè)備，為了提高檢錯、糾錯能力，通常同時選用幾種誤碼控制編碼方式。以下，以線性分組碼為例，對幾種簡單的編碼方式進行介紹。 有關(guān)誤碼控制編碼的基本概念 (1)信息碼元與監(jiān)督碼元 信息碼元又稱信息序列或信息位，這是發(fā)端由信源編碼后得到的被傳送的信息數(shù)據(jù)比特，通常以 k 表示。由信息碼元組成的信息組為： M=(mk1,mk2…m 0) 在二元碼情況下，每個信息碼元 m 的取值只有 0 或 1，故總的信息碼組數(shù)共有 個，即不同信息碼元取值的組合共有 組。 監(jiān)督碼元又稱監(jiān)督位或附加數(shù)據(jù)比特，這是為了檢糾錯碼而在信道編碼時加入的判斷數(shù)據(jù)位。通常以 r表示，即為： n=k+r 或 r=n－ k。 經(jīng)過分組編碼后的碼又稱為 (n,k)碼，即表示總碼長為 n 位，其中信息碼長 (碼元數(shù) )為 k位，監(jiān)督碼長 (碼元數(shù) )為 r=n－ k。通常稱其為長為 n的碼字 (或碼組、碼矢 )。 (2)許用碼組與禁用碼組 信道編碼后的總碼長為 n，總的碼組數(shù)應(yīng)為 2n，即為 2k+r 。其中被傳送的信息碼組有 2k個，通常稱為許用碼組；其余的碼組共有個 (2n2k)，不傳送，稱為禁用碼組。發(fā)端誤碼控制編碼的任務(wù)正是尋求某種規(guī)則從總碼組 (2n)中選出許用碼組；而收端譯碼的任務(wù)則是利用相應(yīng)的規(guī)則來判斷及校正收到的碼字符合許用碼組。通常又把信息碼元數(shù)目 k 與編碼后的總碼元數(shù)目 (碼組長度 )n 之比稱為信道編碼的編碼效率或編碼速率，表示為： R=k/n=k/k+r。 這是衡量糾錯 碼性能的一個重要指標(biāo)，一般情況下，監(jiān)督位越多 (即 r越大 )，檢糾錯能力越強，但相應(yīng)的編碼效率也隨之降低了。 (3)碼重與碼距 在分組編碼后，每個碼組中碼元為 “1” 的數(shù)目稱為碼的重量，簡稱碼重。兩 糾錯檢錯的基本原理 14 個碼組對應(yīng)位置上取值不同 (1 或 0)的位數(shù)，稱為碼組的距離，簡稱碼距，又稱漢明距離，通常用 d表示。例如： 000 與 101 之間碼距 d=2； 000 與 111 之間碼距 d=3。對于 (n,k)碼，許用碼組為 個，各碼組之間距離最小值稱為最小碼距，通常用 d0表示。碼距又稱漢明距。 最小碼距 d0 的大小與信道編碼的檢糾錯能力密切相關(guān)。以下舉 例說明分組編碼的最小碼距與檢糾錯能力的關(guān)系。 設(shè)有兩個信息 A 和 B，可用 1比特表示，即 0 表示 A， 1表示 B，碼距 d0=1。如果直接傳送信息碼，就沒有檢糾錯能力，無論由 1 錯為 0，或由 0 錯為 1，收端都無法判斷其錯否，更不能糾正，因為它們都是合法的信息碼 (許用碼 )。這可用圖 41來說明。由圖中看出， A 與 B 之間最小碼距為 1，只要發(fā)生一位誤碼就會變成另一個許用碼，無法檢糾其錯誤。 如果對這兩個信息 A和 B經(jīng)過信道編碼，增加 1比特監(jiān)督碼元，得到 (2， 1)碼組，即： n= k= r=nk=1，就具有檢錯能力，由圖 4－ 3來說 明。 由于 n=2，故總碼組數(shù)為 ，以由于 k=1，故許用碼組數(shù) ，其余為禁用碼組。由圖中看出，許用碼組有兩種選擇方式，即 00 與 11，或 01 與 10，其結(jié)果是相同的，只是信息碼元與監(jiān)督碼元之間的約束規(guī)律不同。現(xiàn)采用信息碼元重復(fù)一次得到許用碼組的編碼方式，故許用碼組為 00 表示 A， 11 表示 B。這時 A 和 B 都具有 1位檢錯能力，因為無論 A(00)或 B(11)如果發(fā)生一位錯碼，必將變成 01 或 10，這都是禁用碼組，故收端完全可以按不符合信息碼重復(fù)一次的準(zhǔn)則來判斷為誤碼。但卻不能糾正其錯誤，因為無法判斷誤碼 (01 或 10)是 A(00)錯誤造成還是 B(11)錯誤造成，即無法判定原信息是 A或 B，或說 A 與 B 形成誤碼 (01 或 10)的可能性 (或概率 )是相同的。由圖 4－ 3 中又可看出，如果產(chǎn)生二位錯碼，即 00 錯為 11，或 11錯為 00，結(jié)果將從一個許用碼組變成另一個許用碼組，收端就無法判斷其錯否。通常用 e表示檢錯能力 (位數(shù) )，用 t 表示糾錯能力 (位數(shù) )。由上述分析可知，當(dāng) d0=2的情況下，碼組的檢錯能力 e=1，糾錯能力 t=0。 為了提高檢糾錯能力，可對上述二個信息 A和 B經(jīng)過信道編碼增加 2比特監(jiān)督碼元，得到 (3， 1)碼組，即 n= k= r=n－ k=2，總的碼組數(shù)為 2n=23=8，由圖 43來說明其檢糾錯能力。 信道編碼后，許用碼組之間的最小碼距 d0越大，檢糾錯的能力就越高。此例中由于 k=1,2k=21=2，故只有 2 個許用碼組，其余 6個為禁用碼組。由圖中可以看出，滿足最小碼距為最大的條件共有 4 種選擇方式，即為 (000 與 111)、 (001 與 110)、(010 和 101)、 (011 與 100)，這四種選擇方式具有相同的最小碼距，故其抗干擾能力或檢糾錯能力也相同。為了編碼直接、簡便，選擇二重重復(fù)編碼方式，即按信息碼元重復(fù)二次的規(guī)律來產(chǎn)生許用碼組，編碼結(jié)果為 000 表示 A， 111 表示 B，由圖中 糾錯檢錯的基本原理 15 黑點代表， A 與 B之間的碼距 d0=3。 由圖中可以看出，這時的兩個許用碼組 A 或 B 都具有一位糾錯能力。例如，當(dāng)信息 A(000)產(chǎn)生一位錯誤時，將有三種誤碼形式，即 001 或 010 或 100，這些都是禁用碼組，可確定是誤碼。而且這三個誤碼距離最近的許用碼組的 000，與另一個許用碼組 111 的距離較遠(yuǎn)，根據(jù)誤碼少的概率大于誤碼多的概率的規(guī)律，可以判定原來的正確碼組是 000，只要把誤碼中的 1 改為 0 即可得到糾正。同理，如果信息B(111)產(chǎn)生一位錯誤時，則有另三種誤碼可能產(chǎn)生，即 110 或 101 或 011，根據(jù)同樣道理可以判定原來的正確碼組是 111，并能糾正錯誤。但是，如果信息 A(000)或信息 B(111)產(chǎn)生兩位錯誤時，雖然能根據(jù)出現(xiàn)禁用碼組識別其錯誤，但糾錯時卻會作出錯誤的糾正造成誤糾錯。如果信息 A(000)或信息 B(111)產(chǎn)生三位錯誤時，將從一個許用碼組 A(或 B)變成了另一個許用碼組 B(或 A)，這時既檢不出錯，更不會糾錯了，因為誤碼已成為合法組合的許用碼組，譯碼后必然產(chǎn)生錯誤。 綜上所述，可以得到分組編碼最小碼距與檢糾錯能力的關(guān)系有以下三條結(jié)論： ① 在一個碼組內(nèi)為了檢測 e 個誤碼，要求最小碼距應(yīng) 滿足： d0≥e ＋ 1； ② 在一個碼組內(nèi)為了糾正 t 個誤碼，要求最小碼距應(yīng)滿足： d0≥2t ＋ 1； ③ 在一個碼組內(nèi)為了糾正 t 個誤碼，同時能檢測 e 個誤碼 (e＞ t)，要求最小碼距應(yīng)滿足： d0≥e ＋ t＋ 1。 糾錯編碼方式簡介 奇偶監(jiān)督碼 奇偶 校驗碼也稱奇偶監(jiān)督碼，它是一種最簡單的線性分組檢錯編碼方式。其方法是首先把信源編碼后的信息數(shù)據(jù)流分成等長碼組，在每一信息碼組之后加入一位(1比特 )監(jiān)督碼元作為奇偶檢驗位，使得總碼長 n(包括信息位 k和監(jiān)督位 1)中的碼重為偶數(shù) (稱為偶校驗碼 )或為奇數(shù) (稱為奇校驗碼 )。如果 在傳輸過程中任何一個碼組發(fā)生一位 (或奇數(shù)位 )錯誤，則收到的碼組必然不再符合奇偶校驗的規(guī)律，因此可以發(fā)現(xiàn)誤碼。奇校驗和偶校驗兩者具有完全相同的工作原理和檢錯能力，原則上采用任一種都是可以的。 由于每兩個 1的模 2相加為 0，故利用模 2加法可以判斷一個碼組中碼重是奇數(shù)或是偶數(shù)。模 2加法等同于 “ 異或 ” 運算?，F(xiàn)以偶監(jiān)督為例。 對于偶校驗，應(yīng)滿足 ， 故監(jiān)督位碼元 c0可由下式求出： （ 41） 不難理解，這種奇偶校驗編碼只能檢出單個或奇數(shù)個誤碼，而無法檢知偶數(shù)個 糾錯檢錯的基本原理 16 誤碼，對于連續(xù)多位的突發(fā)性誤碼也不能檢知，故檢錯能力有限，另外，該編碼后碼組的最小碼距為 d0=2，故沒有糾錯碼能力。 奇偶監(jiān)督碼常用于反饋糾錯 法。 行列監(jiān)督碼 行列 監(jiān)督碼是二維的奇偶監(jiān)督碼，又稱為矩陣碼，這種碼可以克服奇偶監(jiān)督碼不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個差錯的缺點，并且是一種用以糾正突發(fā)差錯的簡單糾正編碼。 其基本原理與簡單的奇偶監(jiān)督碼相似，不同的是每個碼元要受到縱和橫的兩次監(jiān)督。具體編碼方法如下：將若干個所要傳送的碼組編成一個矩陣，矩陣中 每一行為一碼組，每行的最后加上一個監(jiān)督碼元，進行奇偶監(jiān)督，矩陣中的每一列則由不同碼組相同位置的碼元組成，在每列最后也加上一個監(jiān)督碼元，進行奇偶監(jiān)督。如果用 表示信息位，由矩陣碼的結(jié)構(gòu)可如圖 4－ 5 所示，這樣，它的一致監(jiān)督關(guān)系按行及列組成。每一行每一列都是一個奇偶監(jiān)督碼，當(dāng)某一行 (或某一列 )出現(xiàn)偶數(shù)個差錯時，該行 (或該列 )雖不能發(fā)現(xiàn)，但只要差錯所在的列 (或行 )，沒有同時出現(xiàn)偶數(shù)個差錯，則這種差錯仍然可以被發(fā)現(xiàn)。矩陣碼不能發(fā)現(xiàn)的差錯只有這樣一類：差錯數(shù)正好為 4 倍數(shù)，而且差錯位置正好構(gòu)成矩形的四個角，如圖 4－ 5中所 示有的差錯情況。因此，矩陣碼發(fā)現(xiàn)錯碼的能力是十分強的，它的編碼效率當(dāng)然比奇偶監(jiān)督碼要低 恒比碼 恒比碼又稱為定比碼。在恒比碼中，每個碼組 “1” 和 “0” 都保持固定的比例，故得此名。這種碼在檢測時，只要計算接收到的碼組中 “1” 的數(shù)目是否對就知道有無錯誤。在我國用電傳機傳輸漢字時，只使用阿拉伯?dāng)?shù)字代表漢字。這時采用的所謂 “ 保護電碼 ” 就是 “3 ∶ 2” 或稱 “5 中取 3” 的恒比碼，即每個碼組的長度為 5，其中 “1” 的個數(shù)總是 3，而 “0” 的個數(shù)總是 2。如表 41所示。 表 41 數(shù)字字符 普通的五單位碼 恒比碼 1 2 3 4 5 11101 11001 10000 01010 00001 01011 11001 10110 11010 00111 6 7 8 9 0 10101 11100 01100 00011 01101 10101 11100 01110 10011 01101 糾錯檢錯的基本原理 17 本來以 5 位碼元組成的碼組總共可以有 25=32 種，而恒比碼規(guī)定只有確切地含有 3 個 “1” ， 2 個 “0” 的那些碼組為準(zhǔn)用碼組，而有 3 個 “1” ， 2 個 “0” 的 5位碼組共有多少 ？ 這是 “5 中取 3” 求組合的算法，組合數(shù)為 35 10c? ， 一般情況下，從 “n 中取 m”(m ＜ n)恒比碼的碼組數(shù)為： ? ?!!!mn nC m n m? ? 由此可以看出，恒比碼實際上是 n 個碼元傳送 比特信息，例如上述 “3 ∶2” 即 “5 中取 2” 恒比碼，用 5 位碼只傳 10 種信息。每個碼組的信息量為，有 = 作為代價付出。 恒比碼適用于傳輸字母和符號 。 漢明碼 漢明碼 屬于線性分組編碼方式，大多數(shù)分組碼屬于線性編碼，其基本原理是，使信息碼元與監(jiān)督碼元通過線性方程式聯(lián)系起來。線性碼建立在代數(shù)學(xué)群論的 基礎(chǔ)上，各許用碼組的集合構(gòu)成代數(shù)學(xué)中的群，故又稱為群碼。 校驗子和監(jiān)督關(guān)系式 我們先回顧下按式（ 41）條件構(gòu)成的偶數(shù)監(jiān)督碼。由于我們使用了一位監(jiān)督碼 c0，它就能和信息碼 一起構(gòu)成一個代數(shù)式，在接收端解碼時，我們實際上是計算： (4－ 3) 若 s=0，就認(rèn)為無 錯 碼。若 s=1，就認(rèn)為有錯碼。上式就是一致監(jiān)督關(guān)系式。 S稱為 “ 校驗子 ” 。由于校驗子 S 的取值只有這樣兩種，它就只能代表有錯和無錯兩種信息，而不能指出錯碼的位置。我們不難推想， 如監(jiān)督位增加一位，變成兩位，則能增加一個類似于式 (4－ 3)的監(jiān)督關(guān)系式。兩個校驗子的可能值有 4種組合 00，01， 10， 11。故能表示 4種不同的信息 ，其中一種表示無錯，其余三種就有可能用來指示一位錯碼的 3 種不同位置。同理， r 個監(jiān)督關(guān)系式能指示一位錯碼的 （ 2r1）個可能位置。 一般說來，若碼長為 n，信息碼為 k，則監(jiān)督碼數(shù) r=nk。若希望用 r個監(jiān)督碼構(gòu)造出 r 個監(jiān)督關(guān)系式來指示一位錯碼的 n種可能位置，則要求： (4－ 4) 下面通過 一個例子來說明如何具體構(gòu)造這些監(jiān)督關(guān)系式。 設(shè)分組碼 (n、 k)中 k=4，為了能糾正一位錯碼，按式 (4－ 4)可知，要求監(jiān)督碼數(shù) r≥3 ，現(xiàn)取 r=3，則 n=k+r=4+3=7，這是一種 ( 4)分組碼。我們用 糾錯檢錯的基本原理 18 表示這 7 個碼元， ，表示三個監(jiān)督關(guān)系式中的校驗子，則 的值與錯碼位置的對應(yīng)關(guān)系可以規(guī)定如表 42， (當(dāng)然也可以規(guī)定成另一種對應(yīng)關(guān)系，這不影響討論一般性 )。 按表 42的規(guī)定，僅當(dāng)有一個錯碼位置在 時，校驗子 s1 為 1，否則s1 為 0，這就意味著 四個碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： 表 42 錯碼位置 錯碼位 置 001 101 010 110 100 111 011 000 無錯碼 同理， 構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： 以及 構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： （ 1） 監(jiān)督碼的確定 在發(fā)送端編碼時，信息碼 的值決定于輸入信號，是隨機的。而監(jiān)督碼 則應(yīng)根據(jù)信息碼的取值按監(jiān)督關(guān)系式?jīng)Q定。即監(jiān)督碼的取值應(yīng)使上三式中 的值為 0，表示編成的碼組中無錯碼： 由上式移項解出監(jiān)督碼： (在模 2 加法中，移項后沒有負(fù)號 ) 糾錯檢錯的基本原理 19 已知信息碼后，直接按上式可算出監(jiān)督碼，計算結(jié)果得出 16 個碼組列于表 43 中。 表 43 信 息碼 監(jiān)督碼 信息碼 監(jiān)督碼 0000 000 1000 111 0001 011 1001 100 0010 101 1010 010 0011 110 1011 001 0100 110 1100 001 0101 101 1101 010 0110 011 1110 100 0111 000 1111 111 （ 2） 解碼過程 接收端收到每個碼組后，按下述順序解碼。先按式 (43)～ (4－ 6)計算出c0,a3,a4, 42 判斷錯誤情況。例如，若接收碼組為 0000011，按式 (4－4)～ (4－ 6)計算得： s1=0,s2=1,s3=1，由于 s1s2s3=011，查表 42可知有一錯碼為a3。 （ 3） 漢明碼的效率 漢明碼的編碼效率 η=1 r/n 當(dāng) n 很大時，效率是很高的 。 循環(huán)碼（ CRC） （ 1） 循環(huán)碼是一種重要的線性碼，它有三個主要數(shù)學(xué)特征： ，即循環(huán)碼中任一碼組循環(huán)一位 (將最右端的碼移至左端 )以后，仍為該碼中的一個碼組。 (模 2)必定為該碼組集合中的一個碼組。 ，各碼元之間還存在一個循環(huán)依賴關(guān) 系， b 代表碼元，則有 （ 2） 用多項式碼作為檢驗碼的編解碼過程 糾錯檢錯的基本原理 20 用多項式碼作為檢驗碼時，發(fā)送器和接收器必須具有相同的生成多項式(GeneratorPolynomial)G(x)，其最高、最低項系數(shù)必須為 1。 CRC 編碼過程是將要發(fā)送的二進制序列看作是多項式的系數(shù)，除以生成多項式，然后把余數(shù)掛在原多項式之后。 CRC 譯碼過程是接收方用同一生成多項式除以接收到的 CRC 編碼，若余數(shù)為零，則傳輸無錯。 編碼譯碼方法： 令 r 為生成多項式 G(x)的階，將 r個 “0” 附加在信息 (數(shù)據(jù) )元的低端，使其長度變?yōu)?k