高中數學必修2知識點總結第四章-圓與方程-資料下載頁
2025-04-04 05:09本頁面
【正文】 ＝0，解得m＝－1.故圓M的圓心M(－1，－2)．19．(12分)已知圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及弦長．解：設兩圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點的坐標是方程組的解，兩方程相減得：x＋y－3＝0，∵A、B兩點的坐標都滿足該方程，∴x＋y－3＝0為所求．將圓C2的方程化為標準形式，(x－1)2＋(y－1)2＝2，∴圓心C2(1,1)，半徑r＝.圓心C2到直線AB的距離d＝＝，|AB|＝2＝2＝.即兩圓的公共弦長為.20．(12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，從圓C外一點P向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：如圖：PM為圓C的切線，則CM⊥PM，∴△PMC為直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.設P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝.∵|PM|＝|PO|，∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2，化簡得點P的軌跡方程為：2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點O到直線2x－4y＋3＝0的距離，代入點到直線的距離公式可求得|PM|最小值為.21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(－1,0)，B(1,0)，點P是圓上動點，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及對應的P點坐標．解：設點P的坐標為(x0，y0)，則d＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2.欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的點到原點距離的平方的最大、最小值．作直線OC，設其交⊙C于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如圖所示．則u最小值＝|OP1|2＝(|OC|－|P1C|)2＝(5－1)2＝16.此時，＝＝，∴x1＝，y1＝.∴d的最小值為34，對應點P1的坐標為.同理可得d的最大值為74，對應點P2的坐標為.22．(12分)已知曲線C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求證：曲線C表示圓，并且這些圓心都在同一條直線上；(2)證明曲線C過定點；(3)若曲線C與x軸相切，求k的值．解：(1)證明：原方程可化為(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2∵k≠－1，∴5(k＋1)20.故方程表示圓心為(－k，－2k－5)，半徑為|k＋1|的圓．設圓心的坐標為(x，y)，則消去k，得2x－y－5＝0.∴這些圓的圓心都在直線2x－y－5＝0上．(2)證明：將原方程變形為(2x＋4y＋10)k＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0，∵上式對于任意k≠－1恒成立，∴解得∴曲線C過定點(1，－3)．(3)∵圓C與x軸相切，∴圓心(－k，－2k－5)到x軸的距離等于半徑，即|－2k－5|＝|k＋1|.兩邊平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，∴k＝5177。3.
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