【正文】 第三節(jié) 相似三角形1．如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)三角形叫做相似三角形，對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)），當(dāng)相似比等于1時(shí)，這兩個(gè)相似三角形是全等三角形2．相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似3．相似三角形的判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似4．相似三角形判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似5．相似三角形判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例那么這兩個(gè)三角形相似6．直角三角形相似的判定定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似7．兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形具有以下性質(zhì)（1） 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；（2） 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線之比和對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比；（3） 相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；（4） 相似三角形面積之比等于相似比的平方第四節(jié) 平面向量的線性運(yùn)算 實(shí)數(shù)與向量相乘1．實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算 若k≠0且≠0，那么k的長(zhǎng)度︱k︱=︱k︱︱︱。k的方向 若k＞0時(shí)，k與同方向 若k＜0時(shí)，k與反方向 若k = 0或=0，那么k=02．實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律 設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，則（1） m(n )=(mn) （2） (m+n) =m+n（3） m(+b)=m+mb 向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘等運(yùn)算，與多項(xiàng)式的運(yùn)算類似，但向量運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，是一個(gè)有長(zhǎng)度與方向的量3．平行向量定理：如果向量b與非零向量平行（包括b、在同一直線上）那么存在唯一確定的實(shí)數(shù)m，使b=k* 平面向量的分解1．向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘，以及他們的混合運(yùn)算，叫做向量的線性運(yùn)算。如果、b是兩個(gè)不平行的向量，x、y是實(shí)數(shù)，那么向量x+yb叫做向量、b的線性組合2． 給定兩個(gè)不平行的向量、b，對(duì)于任一個(gè)向量c，都可以確定它關(guān)于、b的分解式，也可作圖法作出這個(gè)向量在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上的分向量。第二十五章 銳角三角比第一節(jié) 銳角的三角比 sinA=對(duì)邊/斜邊 cosA=鄰邊/斜邊 tanA=對(duì)邊/鄰邊 cotA=鄰邊/對(duì)邊2．能正確地運(yùn)用定義并借助直角三角形邊角之間的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題，故如果題目中無(wú)直角條件時(shí)，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)直角，則sinA cosA tanA cotA 的取值范圍分別是： 0sinA 1。 0 cosA1。 tanA0 。 cotA0，即tanA cotA=11.三角函數(shù)角角度sinαcosαtanα30176。45176。160176。，互余的兩角的三角比之間的關(guān)系 ①倒數(shù)關(guān)系 tanA=1/cotA②平方關(guān)系 sin178。A+cos178。A=1③積商關(guān)系 tanA=sinA/cosA；cotA=cosA/sinA④余角和余函數(shù)的關(guān)系：如果＋=90176。，那么sinA=cosB；tanA=cotB (正弦和余弦，正切和余切被稱為余函數(shù)關(guān)系)3．使用計(jì)算器求銳角的三角比的值第二節(jié) 解直角三角形25．3 解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，還有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知兩元素（其中至少有一條邊），求出其他所有位置元素的過(guò)程，叫做解直角三角形2．當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)淖龈?，化斜三角形為直角三角形，再求?．解直角三角形的類型有兩種情況： ①已知兩條邊 ②已知一條邊和一個(gè)銳角25．4 解直角三角形的應(yīng)用仰角和俯角 視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角2．坡角、坡度： 坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛垂高度h與水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用i表示，即i=h:l，通常坡度要寫成i:m的形式；坡角的正切是坡面的坡度3．方向角：一般以觀測(cè)者的位置為中心將正北或正南方向?yàn)槭歼呅D(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的銳角4．解直角三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題： ①認(rèn)清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義； ②認(rèn)真分析題意，畫出并找出要求解得直角三角形，有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形） ③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便，并且不易出錯(cuò) ④按照題目中已知數(shù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按照題目中要求的精確度確定答案并注明單位第二十六章 二次函數(shù)：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).(1)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸.(2)函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系.①當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn) 的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.：的形式，其中.，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).①?zèng)Q定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.②平行于軸(或重合)，軸記作直線.，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.、對(duì)稱軸的方法(1)公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是.(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失★，的作用(1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.(2),故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②(即、同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：①，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。 ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，則 .：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)() (1)一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式. (2)頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. (3)交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、通常選用交點(diǎn)式：. (1)軸與拋物線得交點(diǎn)為() (2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). (3)拋物線與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、是對(duì)應(yīng)一元二次方程：①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)。 ②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 13．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1)一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況．(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)時(shí)自變量的值，即一元二次方程的根．(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根：(1)二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值；(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值．：(1)理解問(wèn)題；(2)分析問(wèn)題中的變量和常量；(3)用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對(duì)問(wèn)題加以拓展等第二十七章 圓與正多邊形27． 圓的確定1． 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。2． 圓的兩要素是圓心和半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。3． 圓心相同的圓叫做同心圓。半徑相等的圓叫做等圓。4． 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)A可以做無(wú)數(shù)個(gè)圓。經(jīng)過(guò)A、B可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓。經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C可以做1個(gè)圓。5． 三角形的外接圓的圓心叫做外心。6． 一個(gè)三角形有1個(gè)外接圓，一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形。7． 銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形的外部。8． 經(jīng)過(guò)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做四邊形的外接圓。經(jīng)過(guò)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做多邊形的外接圓。27． 2 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（1）1． 聯(lián)接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦。過(guò)圓心的弦就是直徑。2． 直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。3． 從圓心到弦的距離叫做弦心距。 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（2）1. 在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么所對(duì)的劣弧或優(yōu)弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距相等。2. 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條優(yōu)劣弧、兩條弦、或兩條弦心距，這四組量中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余三組量也相等。 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系（3）1. 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。（1）1. 垂徑定理：如果圓的直徑垂直于弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧。（推論：弦心距平分弦）（2）1. 如果圓的直徑平分炫（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直這條弦，并且平分這條弦所對(duì)弧。2. 如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑垂直平分這條弧所 對(duì)的弦。3. 如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的弧。4. 如果一條直線平分弦和它所對(duì)的一條弧，那么這條直線過(guò)圓點(diǎn)，并且垂直這條弦。5. 如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線過(guò)圓點(diǎn)，并且平分這條弦。（3）1. 應(yīng)用垂徑定理，就可以把弦半徑弦心距等的計(jì)算問(wèn)題，歸結(jié)為解直角三角形的問(wèn)題。 直線與圓的位置關(guān)系（交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）判斷直線與圓的位置關(guān)系： 直線L與圓相離= 直線L與圓沒(méi)有公共點(diǎn)； 直線L與圓相切= 直線L與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)； 直線L與圓相交= 直線L與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)。2. 根據(jù)圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系：如果⊙O的半徑為r，圓心到直線L的距離為d,那么直線L與圓相離=dr直線L與圓相切=d=r直線L與圓相交=dr 圓與圓的位置關(guān)系(1)（公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)）判斷圓與圓的位置關(guān)系：兩圓相離=兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)；兩圓相切=兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；兩圓相交=兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；2．兩圓相離包括外離和內(nèi)含兩種情況； 兩圓相切包括外切和內(nèi)切兩種情況。3. 根據(jù)圓心距d與兩圓的半徑R、r(Rr)判斷圓與圓的位置關(guān)系：兩圓外離=dR+r兩圓外切=d= R+r兩圓相交= RrdR+r兩圓內(nèi)切=d=Rr兩圓內(nèi)含=dRr4. ⊙〇1與⊙〇，△〇1A〇2的三邊長(zhǎng)記為R、r、d，那么R+rd,Rrd. 圓與圓的位置關(guān)系(2)，經(jīng)過(guò)圓心的任意一條的直線都是圓的對(duì)稱軸。，兩圓的連心線是兩圓的對(duì)稱軸。 圓與圓的位置關(guān)系(3)，一般添加輔助線的方法是畫兩圓的公共弦和連心線，如果相交兩圓的公共弦一定，那么兩圓的圓心距有兩種情況。，一般要確定切點(diǎn)。確定切點(diǎn)的方法是作連心線與圓的交點(diǎn)。 正多邊形與圓 (1)，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。，正四邊形有4條對(duì)稱軸，正五邊形有5條對(duì)稱軸，正六邊形有6條對(duì)稱軸，正n邊形有n條對(duì)稱軸。，這兩個(gè)圓是同心圓。 正多邊形與圓 (2)，這些等腰三角形底邊上的高又把它們分成了2n個(gè)全等的直角三角形。,邊心距rn,半徑R,周長(zhǎng)Pn和面積Sn等的計(jì)算問(wèn)題，歸結(jié)為解直角三角形的問(wèn)題。