20xx屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理試題解析版-資料下載頁
2025-04-04 02:48本頁面
【正文】 0 ∴x2z=0x2y=0，令z=1，得n =(2,1,1)，∴AM? n=0，即AM⊥ n∵AM?平面SCD ∴AM∥平面SCD． （Ⅱ）取平面SAB的一個法向量m =(1,0,0)，則cos n,m= n?m|n|?|m| =216=63∴平面SCD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值為63． （Ⅲ）設(shè)N(x,2x2),(1≤x≤2)，則MN=(x,2x3,1)，平面SAB的一個法向量為m =(1,0,0)∴sinθ=|cosMN, m =x5x212x+10=110(1x)2121x+5=110(1x35)2+75 當1x=35，即x=53時，sinθ取得最大值，且(sinθ)max=357．【點睛】本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，屬中檔題.21．（1）單調(diào)減區(qū)間(1,1)，增區(qū)間(1,+∞) ； （2）(0,ln212).【解析】【分析】（Ⅰ）依題意知函數(shù)定義域為1,+∞，f39。(x) =2x2+2x+mx+1，當m=4時，令f39。(x)=2x2+2x4x+10，得1x1；令f39。(x)0，得x1，即可得到求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間；（II）由（I）可知：當0m12時，函數(shù)f（x）存在兩個極值點x1，x2，滿足x1+x2=1,x1x2=m2, x2∈(12,0)，可得fx2x1=2x2lnx2+1x22x2+1，令gh(x)=2xln(x+1)x2(x+1),x∈(12,0)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出范圍．【詳解】（Ⅰ）依題意知函數(shù)定義域為1,+∞，f39。(x)=2x+mx+1 =2x2+2x+mx+1，當m=4時，令f39。(x)=2x2+2x4x+10，得1x1；令f39。(x)0，得x1故函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間(1,1)，增區(qū)間(1,+∞)． （Ⅱ）若函數(shù)f(x)有兩個極值點xx2，且x1x2，知0m12，x1+x2=1,x1x2=m2, x2∈(12,0)，fx2x1=x22+2x1x2lnx2+1x1=2x2lnx2+1x22x2+1， 令h(x)=2xln(x+1)x2(x+1),x∈(12,0)，∴h39。x=2lnx+1+x2x+12，令g(x)=2lnx+1+x2x+12，∴g39。(x)=2(x2+3x+1)(x+1)3，令φx=x2+3x+1，又∵x∈(12,0)，(x+1)30。φx在(12,0)單調(diào)遞增且φ(0)0，φ(12)0，即存在x0∈(12,0)使得φx0=0即x∈(12,x0),g39。x0, x∈x0,0,g39。x0，gx在(12,x0)單調(diào)遞減，gx在x0,0單調(diào)遞增， 又g0=0,g(12)0，∴x∈(12,0),h39。(x)0， ∴h(x)在(12,0)單調(diào)遞減，又∵h(0)=0,h(12)=ln212， 故所求范圍為(0,ln212)．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．22．（1）ρsin(θ+π4)=22 ρ=4cosθ ； （2）2+22.【解析】【分析】（Ⅰ）由曲線C1：x+y=1，能求出曲線C1的極坐標方程；∵曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)φ，得到曲線C2的普通方程，由此能求出曲線C2的極坐標方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=1cosα+sinα,|OB|=ρB=4cosα，OBOA=4cosα(cosα+sinα)=2+22sin(2α+π4) ，由此利用0≤απ2，求出當α=π8時，OBOA 有最大值2+22．【詳解】（Ⅰ）曲線C1 的極坐標方程為ρ(cosθ+sinθ)=1 ，即ρsin(θ+π4)=22．曲線C2的普通方程為(x2)2+y2=4 ，即x2+y24x=0，所以曲線C2的極坐標方程為ρ=4cosθ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=1cosα+sinα,|OB|=ρB=4cosα，OBOA=4cosα(cosα+sinα)=2(1+2cos2α+sin2α)=2+22sin(2α+π4) 由0≤απ2，知π4≤2α+π45π4，當2α+π4=π2 ，即α=π8時， OBOA 有最大值2+22．【點睛】本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查兩線段比值的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．23．（Ⅰ）a∈[1,2]；（Ⅱ）詳見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）利用絕對值的幾何意義可知函數(shù)f(x)=|2x34|+|2x+54|，從而可得f(x)min=2，解相應(yīng)的不等式即可；（Ⅱ）利用分析法結(jié)合基本不等式即可證得結(jié)論．試題解析：解：（Ⅰ）f(x)=|2x34|+|2x+54|（Ⅱ）∵f(x)min=2，∴只需證明：2m+1+2n+1≤22成立，∵2(2m+1)≤2+(2m+1)2=m+32；2(2n+1)≤2+(2n+1)2=n+32．于是2(2m+1)+2(2n+1)≤m+32+n+32=m+n+3=4，∴2m+1+2n+1≤22成立， 故要證明的不等式成立．考點：1．絕對值不等式；2．恒成立問題；3．分析證明．
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