20xx屆上海市七寶中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題解析版-資料下載頁
2025-04-04 02:45本頁面
【正文】 2≤(xy)2,∴(xy)2≥112=12,因為f(t)0,所以xy≥22,∴xy∈[22,+∞).所以函數(shù)f(t)=2t3t2的值域為[22,+∞).【點睛】(1)本題主要考查常量代換和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 本題的解題關(guān)鍵是對“1”的常量代換，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值. 利用基本不等式求最值時，要注意“一正二定三相等”，三個條件缺一不可.20．（1）7；（2）233；（3）(0,227].【解析】【分析】解不等式得其解集即得區(qū)間長度.(2) 由題意求出f（x）的定義域并化簡解析式，判斷出區(qū)間的范圍和f（x）的單調(diào)性，由題意列出方程組，轉(zhuǎn)化為m，n是方程f（x）的同號的相異實數(shù)根，利用韋達定理表示出mn和m+n，由判別式大于零求出a 的范圍，表示出n﹣m利用配方法化簡后，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和a的值．(3)先求出A∩B?（0，6），再轉(zhuǎn)化為不等式組tx+3t＞0tx2+3tx4＜0，當(dāng)x∈（0，6）時恒成立. 分析兩個恒成立問題即得t的取值范圍.【詳解】解不等式76x≥1得其解為1≤x＜6，所以解集A區(qū)間長度為6(1)=7.(2) 由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}，∵[m，n]是其定義域的子集，∴[m，n]?（﹣∞，0）或（0，+∞）．∵f（x）=(1+1a)1a2x在[m，n]上是增函數(shù)，∴由條件得f(m)=mf(n)=n，則m，n是方程f（x）=x的同號相異的實數(shù)根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同號相異的實數(shù)根．∴mn=1a2＞0，m+n=a2+aa2=a+1a，則△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．∴n﹣m=(n+m)24mn=a2+2a3a2=3a2+2a+1=3(1a13)2+43，∴n﹣m的最大值為233，此時1a=13，解得a=3.即在區(qū)間[m，n]的最大長度為233．(3) 因為x0,A=[1,6），A∩B的長度為6，所以A∩B?（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）＜2等價于x＞0tx+3t＞0tx2+3tx4＜0又A∩B?（0，6），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，所以不等式組tx+3t＞0tx2+3tx4＜0，當(dāng)x∈（0，6）時恒成立. 當(dāng)x∈（0，6）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0當(dāng)x∈（0，6）時，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即t＜4x2+3x恒成立 當(dāng)x∈（0，6）時，4x2+3x的取值范圍為(227，+∞)，所以實數(shù)t≤227綜上所述，t的取值范圍為(0，227]【點睛】本題考查一個新定義問題，即區(qū)間的長度，本題解題的關(guān)鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進行整理變化，靈活解答函數(shù)的最值問題和恒成立問題.21．（1）a1，是S函數(shù)；0a1，不是S函數(shù)；（2）見解析，最大值332；（3）見解析.【解析】【分析】(1)利用S函數(shù)的定義證明當(dāng)0＜a＜1時，f(x)=logax不是(0,+∞)上的S函數(shù). 當(dāng)a大于1時，f(x)=logax不是(0,+∞)上的S函數(shù).（2）利用S函數(shù)的定義證明f(x)=sinx是(0,π)上的S函數(shù)，并利用S函數(shù)的性質(zhì)求sinA+sinB+sinC的最大值.(3)利用舉反例證明.【詳解】任取x1，x2∈R+,∴0(x1?x2)12≤x1+x22,當(dāng)a1時，在R+上，f(x)=logax單調(diào)遞增，∴l(xiāng)oga(x1?x2)12≤logax1+x22,∴12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22),∴此時f(x)是R+上的S函數(shù).同理可證，當(dāng)0＜a＜1時，f(x)=logax不是(0,+∞)上的S函數(shù).(2)12[f(x1)+f(x2)]f(x1+x22)=12(sinx1+sinx2)sinx1+x22,=sinx1+x22?cosx1x22sinx1+x22,=sinx1+x22(cosx1x221),∵x1,x2∈(0,π),∴x1+x22∈(0,π),∴sinx1+x220,cosx1x221≤0,∴12[f(x1)+f(x2)]f(x1+x22)≤0,∴12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22),所以f(x)=sinx是(0,π)上的S函數(shù).由S函數(shù)的性質(zhì)有13(sinA+sinB+sinC)≤sinA+B+C3,所以sinA+sinB+sinC≤323,∴(sinA+sinB+sinC)max=323.（3）用舉反例證明，令f(x)=sinx,所以f(x)=sinx是R上的周期為π的奇函數(shù)，取x1=0,x2=π,所以12[f(x1)+f(x2)]=12（sin0+sin(π)]=0,而f(x1+x22)=sin(π2)=1,∴12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)此時不成立，即在R上，f(x)=sinx不是S函數(shù)，故原命題得證.【點睛】本題主要考查新定義解題，.
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