20xx柳州中考數(shù)學(xué)試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-04 02:43本頁面
【正文】 與y軸相交于點P，與二次函數(shù)圖象交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求該二次函數(shù)的解析式．（2）對（1）中的二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取值范圍在﹣1＜x＜3時，請寫出其函數(shù)值y的取值范圍；（不必說明理由）（3）求證：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，必存在定點G，使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．（注：在解題過程中，你也可以閱讀后面的材料）附：閱讀材料 任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比． 即：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2， 則：x1+x2=﹣，x1?x2= 能靈活運用這種關(guān)系，有時可以使解題更為簡單． 例：不解方程，求方程x2﹣3x=15兩根的和與積． 解：原方程變?yōu)椋簒2﹣3x﹣15=0∵一元二次方程的根與系數(shù)有關(guān)系：x1+x2=﹣，x1?x2=∴原方程兩根之和=﹣=3，兩根之積==﹣15．考點：二次函數(shù)綜合題；完全平方公式；根與系數(shù)的關(guān)系；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+1，由于點（﹣1，）在二次函數(shù)圖象上，把該點的坐標(biāo)代入y=ax2+1，即可求出a，從而求出二次函數(shù)的解析式．（2）先分別求出x=﹣1，x=0，x=3時y的值，然后結(jié)合圖象就可得到y(tǒng)的取值范圍．（3）由于△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，因此GP平分∠AGB．過點A作GP的對稱點A′，則點A′必在BG上．由于點A（x1，y1）、B（x2，y2）在直線y=kx+2上，從而可以得到點A的坐標(biāo)為（x1，kx1+2）、A′的坐標(biāo)為（﹣x1，kx1+2）、B的坐標(biāo)為（x2，kx2+2）．設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點G的坐標(biāo)為（0，n）．由于點A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直線BG上，可用含有k、xx2的代數(shù)式表示n．由于A、B是直線y=kx+2與拋物線y=x2+1的交點，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．從而求出n=0，即可證出：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG=x2﹣x1==4，所以當(dāng)k=0時，S△ABG最小，最小值為4．解答：（1）解：由于二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（0，1），因此二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=ax2+1．∵拋物線y=ax2+1過點（﹣1，），∴=a+1．解得：a=．∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2+1．（2）解：當(dāng)x=﹣1時，y=，當(dāng)x=0時，y=1，當(dāng)x=3時，y=32+1=，結(jié)合圖1可得：當(dāng)﹣1＜x＜3時，y的取值范圍是1≤y＜．（3）①證明：∵△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，∴GP平分∠AGB．∴直線GP是∠AGB的對稱軸．過點A作GP的對稱點A′，如圖2，則點A′一定在BG上．∵點A的坐標(biāo)為（x1，y1），∴點A′的坐標(biāo)為（﹣x1，y1）．∵點A（x1，y1）、B（x2，y2）在直線y=kx+2上，∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．∴點A′的坐標(biāo)為（﹣x1，kx1+2）、點B的坐標(biāo)為（x2，kx2+2）．設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點G的坐標(biāo)為（0，n）．∵點A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直線BG上，∴．解得：．∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直線y=kx+2與拋物線y=x2+1的交點，∴xx2是方程kx+2=x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的兩個實數(shù)根．∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得；x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．∴n==﹣2+2=0．∴點G的坐標(biāo)為（0，0）．∴在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．②解：過點A作AC⊥OP，垂足為C，過點B作BD⊥OP，垂足為D，如圖2，∵直線y=kx+2與y軸相交于點P，∴點P的坐標(biāo)為（0，2）．∴PG=2．∴S△ABG=S△APG+S△BPG=PG?AC+PG?BD=PG?（AC+BD）=2（﹣x1+x2）=x2﹣x1====4．∴當(dāng)k=0時，S△ABG最小，最小值為4．∴△GAB面積的最小值為4．點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象、三角形的內(nèi)切圓、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式等知識，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．
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