第35屆全國中學生物理競賽模擬試題-資料下載頁
2025-04-04 02:32本頁面
【正文】 （3）在式（1）中代入觀測者的坐標 r = d ，φ = －π / 2 ，有a2 ≈GM / 2c2d ． （4）由（2）與（4）兩式消去 a ，可以解出rm = ． （5）把式（5）代入式（3）得θS ≈ ； （6）即 M≈θc2d / 8G ， （7）其中 d = 1017 m ；代入數(shù)值就可算出M≈ 1030 kg ． （8）解法二：光線射向無限遠處的坐標可以寫成r →∞ ，φ = － + ． （9）近似地取 θS ≈θ ，把式（9）代入式（1），要求式（1）分母為零，并注意到 θ 1，有aθ / 2 + 2a2 = 0 ．所以 θS ≈θ = －4a = ， （10）其中用到式（4），并注意到 a ＜ 0 ．式（10）與式（6）相同，從而也有式（8）．解法三：星光對觀測者所張的視角 θS 應(yīng)等于兩條光線在觀測者處切線的夾角，有sin = = cosφ－rsinφ ． （11）由光線方程（1）算出△φ / △r ，有sin = cosφ－rsinφ = cosφ － ； 代入觀測者的坐標r = d ，= －π / 2 以及 a 的表達式（4），并注意到 θS 很小，就有θS ≈ = ，與式（6）相同．所以，也得到了式（8）．解法四：用式（2）把方程（1）改寫成－rm = rcosφ－ [ (rcosφ )2 + 2 (rsinφ )2 ] ， 即 x = －rm + ( x2 + 2y2 ) ． （12）當 y →－∞時，式（12）的漸近式為x = －rm － y ．這是直線方程，它在x 軸上的截距為 －rm ，斜率為 ≈ ≈－ ．于是有θS ≈ 4GM / c2rm ．rm用式（5）代入后，得到式（6），從而也有式（8）．七、1．（I）氦原子中有兩個電子，一級電離能 E+ 是把其中一個電子移到無限遠處所需要的能量滿足 He + E+ →He+ + e－ ．為了得到氦原子的一級電離能 E+ ，需要求出一個電子電離以后氦離子體系的能量 E* ．這是一個電子圍繞氦核運動的體系，下面給出兩種解法．解法一：在力學方程 = 中，r 是軌道半徑，v 是電子速度．對基態(tài)，用玻爾量子化條件（角動量為 ）可以解出r0 =/ 2ke2m ． （1）于是氦離子能量E* = － = － ， （2）其中 p0 為基態(tài)電子動量的大??；代入數(shù)值得E* = － ≈ － eV ． （3）由于不計電子間的相互作用，氦原子基態(tài)的能量 E0 是該值的2倍，即E0 =2E* ≈ － eV ． （4）氦離子能量 E* 與氦原子基態(tài)能量 E0 之差就是氦原子的一級電離能E+ = E*－E0 = －E* ≈ eV ． （5）解法二：氦離子能量E* = － ．把基態(tài)的角動量關(guān)系 rp =代入，式（3）可以改寫成E* = － = ( － )2 － ．因基態(tài)的能量最小，式（4）等號右邊的第一項為零，所以半徑和能量r0 = ，E* = － 分別與（1），（2）兩式相同．（II）下面，同樣給出求氦原子基態(tài)能量 E0 和半徑 r0 的兩種解法．解法一：利用力學方程 = － = 和基態(tài)量子化條件 rmv = ，可以解出半徑r0 = 4/ 7ke2m ， （6）于是氦原子基態(tài)能量E0 = 2 ( － ) + = － ； （7）代入數(shù)值算得E0 = － ≈ － eV ， （8）r0 = ≈ nm ．所以，氦原子的一級電離能E+ = E*－E0 ≈ eV ． （9）這仍比實驗測得的氦原子一級電離能 eV 高出 eV ． 解法二：氦原子能量E = 2 ( － ) + = － 可以化成E = ( － )2 － ．當上式等號右邊第一項為零時，能量最?。纱丝芍鶓B(tài)能量與半徑E0 = － ， r0 = 分別與（7），（6）兩式相同． 2．（I）粒子從下部射向并穿過鉛板向上運動，其電荷為正．（II）如題圖所示，粒子的運動速度 v 與磁場方向垂直，洛倫茲力在紙面內(nèi)；磁力不改變荷電粒子動量的大小，只改變其方向．若不考慮云室中氣體對粒子的阻力，荷電粒子在恒定磁場作用下的運動軌跡就是曲率半徑為一定值的圓??；可以寫出其運動方程qBv =| | = = ， （1）其中 q 是粒子電荷，v 是粒子速度的大小，p 是粒子動量的大小，△ 是粒子在△t 時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，r 是軌跡曲率半徑．于是有p = qBr ． （2）按題意，q = e ．用 pd 和 pu 分別表示粒子射入鉛板和自鉛板射出時動量的大小，并在式（1）中代入有關(guān)數(shù)據(jù)，可以算得pd = MeV / c ， pu = MeV / c ． （3）注意到當 pcmc2 時應(yīng)使用狹義相對論，從p = ． （4）中可以得到v= ． （5）用 vd 和 vu 分別表示粒子進入和離開鉛板時的速度大?。咽剑?）以及 m = MeV / c2 代入式（3），可得vd ≈ c ， vu ≈ c ． （6）于是，粒子穿過鉛板的平均速度 = ( 1 / 2 ) ( vd + vu ) ≈ c ．用△t 表示粒子穿過鉛板的時間，則有cosθ△t = d ． （7）再用△pdu 表示粒子穿過鉛板動量改變量的大小，鉛板所受到的平均力的大小f = = ≈ ； （8）代入有關(guān)數(shù)值得 f ≈ 10－9 N ． （9） （III）一個粒子穿過鉛板的時間△t = ≈ ≈ 10－11 s = ns ， （10）比粒子束流的脈沖周期= ns 小得多．鉛板在此脈沖粒子束穿過期間所受的力的平均大小F ≈( pd－pu ) j ； （11）代入數(shù)據(jù)得F = N ． （12）運用式（4），可把粒子能量寫成E = ， （13）所以粒子穿過鉛板前后的能量分別為Ed = = MeV ，Eu = = MeV ． （14）于是，鉛板在脈沖粒子束穿過期間所吸收的熱量Q = ( Ed－Eu ) j ； （15）代入數(shù)據(jù)得 Q = 10－2 J ． （16）20
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