【正文】 知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證： （1）EC=BF；（2）EC⊥BFAEBMCF 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù). 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90176。即可解題．解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，由 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90176。 BG=DF ，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90176?！唷螮AG+∠EAF=90176。，∴∠EAF=45176。．答：∠EAF的角度為45176。．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠EAG=∠EAF是解題的關(guān)鍵．D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。①當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。②若AB=2，求四邊形DECF的面積。如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90176。，求五邊形ABCDE的面積 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：應(yīng)用題．分析：可延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，可得△ABC≌△AEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)△ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論．解答：解：延長(zhǎng)DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90176。，∴CD=EF+DE=DF，在Rt△ABC與Rt△AEF中，∵ AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ∴Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD與△AFD中，∵ AC=AF CD=DF AD=AD ∴△ACD≌△AFD（SSS），∴SABCDE=2S△ADF=21 2 ?DF?AE=21 2 22=4．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù). 將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度 （1）如圖1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長(zhǎng)線、DC分別交于點(diǎn)E、F．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）將三角尺沿對(duì)角線平移到圖2的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，PE、PF之間是否還具有（2）中的數(shù)量關(guān)系？如果有，請(qǐng)說明理由．如果沒有，那么點(diǎn)P在AC的什么位置時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：（1）證明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．（2）本題要借助輔助線的幫助．過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△PME≌△PNF可推出PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE，PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．解答：解：（1）如圖1，AE=AF．理由：證明△ABE≌△ADF（ASA）
（2）如圖2，PE=PF．理由：過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，則PM=PN．由此可證得△PME≌△PNF（ASA），從而證得PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題．分析：（1）證明△ABE≌△ADF可推出AE=AF．（2）本題要借助輔助線的幫助．過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，證明△PME≌△PNF可推出PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE，PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．解答：解：（1）如圖1，AE=AF．理由：證明△ABE≌△ADF（ASA）
（2）如圖2，PE=PF．理由：過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，則PM=PN．由此可證得△PME≌△PNF（ASA），從而證得PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定．例8．（2005年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△176。角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60176。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB，.（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，（如圖13—1），通過觀察或測(cè)量BE，CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)（如圖13—2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說明理由.解：（1）BE=CF. 證明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60176。， ∴∠BAE=∠CAF.∵AB=AC，∠B=∠ACF=60176。，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明△ABE和△ACF用兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△176。角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60176。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、.（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示），通過觀察或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？說明理由。 已知∠AOB=90176。，∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB或它們的反向延長(zhǎng)線相交于D、E。當(dāng)三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），易證：CD=CE當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖2圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合）， 以C為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長(zhǎng)線于H。（1）說明：△BCG≌△DCE；（2）BG與CD有何關(guān)系？為什么？（3）將正方形GCEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）、（2）中的結(jié)論還成立嗎？畫出一個(gè)圖形，直接回答，不必說明理由。如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．分析：（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）根據(jù)（2）中費(fèi)爾馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．解答：解：（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，∴AB=BE，∠ABE=60176。．而∠MBN=60176。，∴∠ABM=∠EBN．又∵BM=BN，∴△AMB≌△ENB．
（2）連接MN．由（1）知，AM=EN．∵∠MBN=60176。，BM=BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC=180176?！螻MB=120176。；∠AMB=∠ENB=180176?！螧NM=120176。；∠AMC=360176?！螧MC∠AMB=120176。．（3）由（2）知，△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目難度很大．1.(2004河北)如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且． 求證：．2.、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證：． ，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M，N，D為外一點(diǎn)，且，，探究：當(dāng)點(diǎn)M，N分別愛直線AB，AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式__________；此時(shí)=__________⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)M，N在邊AB，AC上，且時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；⑶如圖③，當(dāng)點(diǎn)M，N分別在邊AB，CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q=_________(用x，L表示)，正方形中，．求證：． ：中，是中線．求證：．，在等腰中，是的中點(diǎn)，過作，且．求證：．