第35講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題-資料下載頁
2025-03-25 06:47本頁面
【正文】 整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: ……..(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: ……(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x2y=0的距離為d,則當y=p時,d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x2y+m=0到直線x2y=0的距離為,則因為x2y+2=0與無公共點,所以當x2y2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x2y=0的距離為d,則又因當時,d有最小值,由題設(shè)得.點評：本小題考查了平面向量的基本運算,以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。例8．（06重慶文，22）如圖，對每個正整數(shù)，是拋物線上的點，過焦點的直線角拋物線于另一點。（Ⅰ）試證：；（Ⅱ）取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點。試證：；證明：（Ⅰ）對任意固定的因為焦點F（0,1），所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線方程聯(lián)立得: ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得．（Ⅱ）對任意固定的利用導數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，……①類似地，可求得在處的切線的方程為：，……②由②－①得：，……③將③代入①并注意得交點的坐標為．由兩點間的距離公式得：．現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：點評：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識交匯的題目。五．思維總結(jié)1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質(zhì)；2．復習時要突出“曲線與方程”這一重點內(nèi)容曲線與方程有兩個方面：一是求曲線方程，，即在建立了平面直角坐標系后，根據(jù)曲線上點適合的共同條件找出動點P（x，y）的縱坐標y和橫坐標x之間的關(guān)系式，即f（x，y）=0為曲線方程，同時還要注意曲線上點具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運用坐標法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標準形式，這時用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標準形式表示，一般可用直接法、間接代點法、參數(shù)法等求方程。二要引導如何將解析幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的代數(shù)數(shù)量關(guān)系進而轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練。3．重視對數(shù)學思想、方法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理，就簡化解題運算量。②用好函數(shù)思想方法對于圓錐曲線上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a，b，c，e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效。③掌握坐標法坐標法是解析幾何的基本方法，因此要加強坐標法的訓練。④對稱思想由于圓錐曲線和圓都具有對稱性質(zhì)，可使分散的條件相對集中，減少一些變量和未知量，簡化計算，提高解題速度，促成問題的解決。⑤參數(shù)思想?yún)?shù)思想是辯證思維在數(shù)學中的反映，一旦引入?yún)?shù)，用參數(shù)來劃分運動變化狀態(tài)，利用圓、橢圓、雙曲線上點用參數(shù)方程形式設(shè)立或（x0、y0）即可將參量視為常量，以相對靜止來控制變化，變與不變的轉(zhuǎn)化，可在解題過程中將其消去，起到“設(shè)而不求”的效果。⑥轉(zhuǎn)化思想解決圓錐曲線時充分注意直角坐標與極坐標之間有聯(lián)系，直角坐標方程與參數(shù)方程，極坐標之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標與原坐標之間轉(zhuǎn)化，可達到優(yōu)化解題的目的。除上述常用數(shù)學思想外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法，復習也應(yīng)給予足夠的重視。歡迎下載
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