第35講曲線方程及圓錐曲線的綜合問題-資料下載頁
2025-03-25 06:47本頁面
【正文】 整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: ……..(1)設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: ……(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設圓心C到直線x2y=0的距離為d,則當y=p時,d有最小值,由題設得.解法2: 設圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設直線x2y+m=0到直線x2y=0的距離為,則因為x2y+2=0與無公共點,所以當x2y2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x2y=0的距離為d,則又因當時,d有最小值,由題設得.點評：本小題考查了平面向量的基本運算,以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。例8．（06重慶文，22）如圖，對每個正整數，是拋物線上的點，過焦點的直線角拋物線于另一點。（Ⅰ）試證：；（Ⅱ）取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點。試證：；證明：（Ⅰ）對任意固定的因為焦點F（0,1），所以可設直線的方程為將它與拋物線方程聯立得: ,由一元二次方程根與系數的關系得．（Ⅱ）對任意固定的利用導數知識易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，……①類似地，可求得在處的切線的方程為：，……②由②－①得：，……③將③代入①并注意得交點的坐標為．由兩點間的距離公式得：．現在，利用上述已證結論并由等比數列求和公式得：點評：該題是圓錐曲線與數列知識交匯的題目。五．思維總結1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質；2．復習時要突出“曲線與方程”這一重點內容曲線與方程有兩個方面：一是求曲線方程，，即在建立了平面直角坐標系后，根據曲線上點適合的共同條件找出動點P（x，y）的縱坐標y和橫坐標x之間的關系式，即f（x，y）=0為曲線方程，同時還要注意曲線上點具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說的函數法，它是解析幾何的核心，應培養(yǎng)善于運用坐標法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標準形式，這時用待定系數法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標準形式表示，一般可用直接法、間接代點法、參數法等求方程。二要引導如何將解析幾何的位置關系轉化的代數數量關系進而轉化為坐標關系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質問題常化為等式解決，要加強等價轉化思想的訓練。3．重視對數學思想、方法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理，就簡化解題運算量。②用好函數思想方法對于圓錐曲線上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a，b，c，e之間構成函數關系，函數思想在處理這類問題時就很有效。③掌握坐標法坐標法是解析幾何的基本方法，因此要加強坐標法的訓練。④對稱思想由于圓錐曲線和圓都具有對稱性質，可使分散的條件相對集中，減少一些變量和未知量，簡化計算，提高解題速度，促成問題的解決。⑤參數思想參數思想是辯證思維在數學中的反映，一旦引入參數，用參數來劃分運動變化狀態(tài)，利用圓、橢圓、雙曲線上點用參數方程形式設立或（x0、y0）即可將參量視為常量，以相對靜止來控制變化，變與不變的轉化，可在解題過程中將其消去，起到“設而不求”的效果。⑥轉化思想解決圓錐曲線時充分注意直角坐標與極坐標之間有聯系，直角坐標方程與參數方程，極坐標之間聯系及轉化，利用平移得出新系坐標與原坐標之間轉化，可達到優(yōu)化解題的目的。除上述常用數學思想外，數形結合、分類討論、整體思想、構造思想也是不可缺少的思想方法，復習也應給予足夠的重視。歡迎下載
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