構(gòu)造函數(shù)解導(dǎo)數(shù)綜合題-資料下載頁
2025-03-25 04:37本頁面
【正文】 x)＝ex＋1－在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增．因為h′＝e－2＜0，h′(0)＝e－1＞0，所以函數(shù)h′(x)＝ex＋1－在(－1，＋∞)上有唯一零點x0，且x0∈．因為h′(x0)＝0，所以ex0＋1＝，即ln(x0＋1)＝－(x0＋1)．當x∈(－1，x0)時，h′(x)＜0，當x∈(x0，＋∞)時，h′(x)＞0，所以當x＝x0時，h(x)取得最小值h(x0)，所以h(x)≥h(x0)＝ex0＋1－ln(x0＋1)－2＝＋(x0＋1)－2＞0．綜上可知，當m≥1時，f(x)＞g(x)－x3． [方法點撥]本題可先進行適當放縮，m≥1時，ex＋m≥ex＋1，再兩次構(gòu)造函數(shù)h(x)，p(x)．[對點演練](2016合肥一模)已知函數(shù)f(x)＝ex－xln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程；(2)若g(x)≥f(x)對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范圍．解：(1)由f(x)＝ex－xln x，知f′(x)＝e－ln x－1，則f′(1)＝e－1，而f(1)＝e，則所求切線方程為y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1．(2)∵f(x)＝ex－xln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，∴g(x)≥f(x)對任意的x∈(0，＋∞)恒成立等價于ex－tx2＋x－ex＋xln x≥0對任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即t≤對任意的x∈(0，＋∞)恒成立．令F(x)＝，則F′(x)＝＝，令G(x)＝ex＋e－－ln x，則G′(x)＝ex－－＝＞0對任意的x∈(0，＋∞)恒成立．∴G(x)＝ex＋e－－ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且G(1)＝0，∴當x∈(0,1)時，G(x)＜0，當x∈(1，＋∞)時，G(x)＞0，即當x∈(0,1)時，F(xiàn)′(x)＜0，當x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＞0，∴F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴F(x)≥F(1)＝1，∴t≤1，即t的取值范圍是(－∞，1]．
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