【正文】 。．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45176。．在△ABM和△ACE中，∵，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90176。，∠MAN=45176。，∴∠BAM+∠CAN=45176。．∴由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45176。．在△MAN和△EAN中，∵，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32. ∴MN=.考點：；；3. 等腰直角三角形的性質(zhì)；．20．（本題9分）如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．（1）求證：∠BQM=600．（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提出了許多問題，如：①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60176?！钡奈恢媒粨Q，得到的是否仍是真命題？②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60176。？③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60176。？請你對上面三個問題作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：① ；② ；③ ．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．【答案】(1)證明正確得3分；(2)①是，②是，③否，每個1分，共3分②或③證明正確一個得3分.【解析】試題分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到三個角相等，三條邊相等，利用SAS得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證；（2）①是真命題，條件與結(jié)論交換后，利用ASA得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；②是真命題，利用外角的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACM與三角形ABN全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到一對角相等，利用等式的性質(zhì)變形即可得證；③否真命題，利用HL得到直角三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AMB=∠BNC，根據(jù)直角三角形BNC中兩銳角互余，利用等量代換及垂直的定義判斷得到∠BQM=90176。．試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60176。，在△ABM和△BCN中， BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60176。；（2）①是；②是；③否；若選擇①，已知：∠BQM=60176。，求證：BM=CN，證明：∵∠ABM=∠ABQ+∠CBQ =60176。，∠BQM=∠ABQ+∠BAQ=60176。，∴∠BAQ=∠CBQ,在△ABM和△BCN中，∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠C=60176。，∴△ABM≌△BCN（ASA），∴BM=CN；若選擇②，證明：如圖，在△ACM和△BAN中，CM=AN，∠ACM=∠BAN=120176。，AC=AB，∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180176。60176。=120176。，∴∠BQM=60176。；若選擇③，證明：如圖，在Rt△ABM和Rt△BCN中， BM=CN， AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），∴∠AMB=∠BNC，又∵∠NBM+∠BNC=90176。，∴∠QBM+∠QMB=90176。，則∠BQM=90176。．故答案為：①是；②是；③否．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．21．如圖,已知:在四邊形ABFC中，=90176。，BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且CF=AE（1）試探究,四邊形BECF是什么特殊的四邊形。（2）當∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECF是正方形?請回答并證明你的結(jié)論.（特別提醒:表示角最好用數(shù)字）【答案】（1）四邊形BECF是菱形．（2）當∠A=45176。時，菱形BECF是正方形．【解析】試題分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷；（2）由菱形的性質(zhì)知，對角線平分一組對角，即當∠ABC=45176。時，∠EBF=90176。，有菱形為正方形，根據(jù)直角三角形中兩個角銳角互余得，∠A=45176。．試題解析：（1）四邊形BECF是菱形．證明：∵BC的垂直平分線為EF，∴BF=FC，BE=EC，∴∠1=∠3，∵∠ACB=90176。，∴∠1+∠2=90176。，∠3+∠A=90176。，∴∠2=∠A，∴EC=AE，又∵CF=AE，BE=EC∴BE=EC=CF=BF，∴四邊形BECF是菱形．（2）當∠A=45176。時，菱形BECF是正方形．證明：∵∠A=45176。，∠ACB=90176。，∴∠3=45176。，∴∠EBF=2∠3=90176。，∴菱形BECF是正方形．考點：；；．22．如圖，E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點，且BE＝DF（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若BC＝10，∠BAC＝90176。，且四邊形AECF是菱形，求BE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）BE=5.【解析】試題分析：（1）首先由已知證明AF∥EC，BE=DF，推出四邊形AECF是平行四邊形．（2）由已知先證明AE=BE，即BE=AE=CE，從而求出BE的長；試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）∵四邊形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90176。﹣∠2，∠4=90176。﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=BC=5．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)23．四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E．（1）如圖1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于點F，求證：AFBF=EF；（2）如圖2，在（1）條件下，AG=BG，求；（3）如圖3，連EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，則CE= 。（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)證明見解析；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）利用△AED≌△BFA求得AE=BF，再利用線段關(guān)系求出AFBF=EF．（2）延長AG與DC交于點F，設(shè)BG=t先求出AB，再利用△ABG≌△FCG及直角三角形斜邊上的中點，求出；（3）連接DG，作EM⊥BC于M點，利用直角三角形求出DG，CD的長，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再運用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再運用勾股定理即可求出CE的長．試題解析：(1)∵ 四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB，∠BAD=90176。，又DE⊥AG，BF∥DE，∴∠AED=∠AFB=90176。，∵∠BAF+∠DAE=90176。，∠BAE+∠ABF=90176。，∴∠DAE=∠ABF，在△AED和△BFA中，∴△AED≌△BFA（AAS），∴AE=BF，∴AFBF=EF，（2）如圖2，延長AG與DC交于點F，∵AG=BG，設(shè)BG=t，則AG=t，在Rt△ABG中，AB=，∴G為BC的中點，在△ABG和△FCG中，∴△ABG≌△FCG（AAS），∴AB=FC=CD，又∵DE⊥AG，在Rt△DEF中，C為斜邊DF的中點，∴EC=CD=CF，∴.（3）如圖3，連接DG，作EM⊥BC于M點，∵DE⊥AG，DE=2，GE=1，∴在RT△DEG中，DG=，∵CG=CD，∴在Rt△DCG中，∠CDG=∠CGD=45176。，∴CD=CG=，∵∠BAG+∠GAD=90176。，∠EDA+∠GAD=90176。，∴∠BAG=∠EDA，∵∠ABG=∠DEA=90176。，∴△ABG∽△DEA，∴，設(shè)AD=x，則AE=，AG=+1，∴，解得x1=，x2=（舍去）∴AE=，又∵∠BAG=∠MEG，∴∠EDA=∠MEG，∴△EMG∽△DEA∴，即解得EM=，MG=，∴CM=CG+MG=，∴CE=．考點：四邊形綜合題．試卷第27頁，總28頁