【正文】 數(shù)的形式。按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點的應(yīng)力與有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是，而的量綱是，的量綱是，又是量綱—的數(shù)量，因此，應(yīng)力分量的表達式只可能是的純一項式，即應(yīng)力分量的表達式只可能是這兩種項的結(jié)合，其中A，B是量綱一的量，只與有關(guān)。應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，即為和的純?nèi)问剑士杉僭O(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為?！?12】設(shè)圖35中簡支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用167。34中的應(yīng)力函數(shù)（e）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖。【分析】與167。34節(jié)例題相比，本題多了體力分量。去除了上邊界的面力。依據(jù)167。34，應(yīng)力分量的函數(shù)形式是由材料力學解答假設(shè)的?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。（1）由167。34可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為 ，由167。34可知，必然滿足相容方程（225）。（2）應(yīng)力分量的表達式： （a） （b） （c） 【注】項多了這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能夠適當選擇常數(shù)，使所有的邊界條件都被滿足，則應(yīng)力分量式（a）、（b）、（c）就是正確的解答。（3）考慮對稱性因為面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當對稱于面。這樣是的偶函數(shù)，而是的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見 （d）（4）考察邊界條件：①在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（215），將應(yīng)力分量式（b）、（c）代入，并注意到，可得：聯(lián)立此四個方程，得： （e）將式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c） （f） （g） （h）②考察次要邊界條件由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界上，不論取任何值，都有。由（f）式可見，這是不可能的，除非均為零。因此，只能用應(yīng)力的主矢、主矩為零，即 （i） （j）將（f）式代入式（i）得積分后得 K=0 （k）將式（f）代入式（i），得積分后得 （l）將（k）、（l）代入式（f），得 （m）考察右邊界上切應(yīng)力分量的邊界條件：右邊界上，則的主矢為可知滿足應(yīng)力邊界條件。將式（g），（h），（m）略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答： (n)（5）應(yīng)力分量及應(yīng)力分布圖梁截面的寬度取為1個單位，則慣性矩，靜矩是。根據(jù)材料力學截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為則式（n）可寫成： 【分析】比較彈性力學解答與材料力學解答，可知，只有切應(yīng)力完全相同，正應(yīng)力中的第一項與材料力學結(jié)果相同，第二項為彈性力學提出的修正項；表示縱向纖維間的擠壓應(yīng)力，而材料力學假設(shè)為零。對于lh的淺梁，修正項很小，可忽略不計?！?13】圖314所示的懸臂梁，長度為，高度為，在上邊界受均布荷載，試檢驗應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量?！窘獯稹坑冒肽娼夥ㄇ蠼狻＃?）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程式（225），得要使?jié)M足相容方程，應(yīng)使 （a）（2）求應(yīng)力分量，代入式（224） （b）（3）考察邊界條件①在主要邊界上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立式（a）、（c）、（d）、（e），可得： （f） ②在次要邊界上，主矢和主矩都為零，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件： 滿足條件 （g） 滿足將A的值帶入（g），得C= （h）將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式（b），得【314】矩形截面的柱體受到頂部的集中力F和力矩M的作用（圖315），不計體力，試用應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?。(1) 相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(225)，顯然滿足。(2) 求應(yīng)力分量：將代入（224） （a）(3) 考察邊界條件。①在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件 滿足 （b）②在次要邊界x=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分應(yīng)力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立（b）、（c）、（d）、（e）式得，， （f）將各系數(shù)據(jù)（f）代入式（a），得應(yīng)力分量解答【分析】本題題目中原教材給出的坐標軸有誤，無法計算。x，y坐標互換后可以計算，但計算結(jié)果與題目提示解答幾乎完全不同，又將y軸調(diào)為水平向左為正方向，才得到提示結(jié)果?？梢?，在求解問題時，坐標軸的方向及原點的位置與解答關(guān)系密切，坐標軸不同可得到完全不同的結(jié)果?！?15】擋水墻的密度為，厚度為b(圖316)，水的密度為，試求應(yīng)力分量?！窘獯稹浚?）假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。因為在邊界上，；邊界上，所以可以假設(shè)在區(qū)域內(nèi)為（2）推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由推求的形式（3）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將代入，得要使上式在任意的x處都成立，必須代入即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已經(jīng)略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次項，得應(yīng)力函數(shù)為：（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將代入公式（224），注意體力，求得應(yīng)力分量表達式（5）考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件由上式得到求解各系數(shù)，得 (a)在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件 (b)由式(a)、(b)解出將各系數(shù)代入應(yīng)力分量的表達式，得【316】試分析簡支梁受均布荷載時，平截面假設(shè)是否成立？【解答】彈性力學解答和材料力學解答的差別是由于各自的解法不同。簡言之，彈性力學的解法是嚴格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程。以及在邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答較精確。而在材料力學的解法中，沒有嚴格考慮上述條件，因而得出的是近似的解答。例如，材料力學引用了平面截面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系，但這個假設(shè)對于一般的梁是近似的。所以，嚴格地說，平截面假設(shè)不成立?！?17】試證明剛體位移和實際上表示彈性體中原點的平移和轉(zhuǎn)動分量，并應(yīng)用167。33的解答加以驗證（注：微分體的轉(zhuǎn)動分量）【解答】為了區(qū)分原點的轉(zhuǎn)動分量與任意點處的轉(zhuǎn)動分量，定義原點的轉(zhuǎn)動分量為，任意點處的轉(zhuǎn)動分量為。由167。33可知，任意點處的平動分量為：則任意點處的轉(zhuǎn)動分量為因此，原點的平動和轉(zhuǎn)動分量，即x=y=0時得證。