【正文】 1，得證2. 設對模m的指數(shù)是，試證對模m的指數(shù)是證明：設對模m的指數(shù)為，則 而，股反之故，從而=得證例1 求1，2，3，4，5，6對模7的指數(shù)。根據(jù)定義1直接計算，得到d7(1) = 1，d7(2) = 3，d7(3) = 6，d7(4) = 3，d7(5) = 6，d7(6) = 2。例1中的結果可列表如下：a123456d7(a)136362這樣的表稱為指數(shù)表。這個表就是模7的指數(shù)表。下面是模10的指數(shù)表：a1379d10(a)14421．寫出模11的指數(shù)表。解：經計算得d11(1) = 1，d11(2) = 10，d11(3) = 5，d11(4) = 5，d11(5) = 5，d11(6) = 10，d11(7) = 10，d11(8) = 10，d11(9) = 5，d11(10) = 2，列表得a12345678910d11(a)110555101010522．求模14的全部原根。解：x 186。 3，5 (mod 14)是模14的全部原根。1．求模29的最小正原根。解：因j(29) = 28 = 227，由知2是模29的最小正原根。2．分別求模293和模2293的原根。解：由2是模29的原根及229 1 = 228 = 2281 (mod 292)知2是模293的原根；由2是模293的原根及2是偶數(shù)知2 + 293是模2293的原根。3．解同余方程：x12 186。 16 (mod 17)。解：易得3是模17的原根，3i（i = 0, 1, 2, L, 15）構成模17的簡化剩余系，列表為 i 0 1 2 3 4 5 6 73i (mod 17) 1 3 9 10 13 5 15 11i 8 9 10 11 12 13 14 153i (mod 17) 16 14 8 7 4 12 2 6由上表知38 186。 16 (mod 17)，設x 186。 5 y (mod 17)，則12y 186。 8 (mod 16)，由此解得y1 186。 2，y2 186。 6，y3 186。 10，y4 186。 14 (mod 16)，查上表得x1 186。 9，x2 186。 15，x3 186。 8，x4 186。 2 (mod 17)。3 指標及n次剩余1．設 是的一切不同的質因數(shù)，證明g是模m的一個原根的充要條件是g對模m的次非剩余。 證明：必要性，設g為模m的一個原根 由2 Th5 知 若g為模m的次剩余，則存在，使得 又由歐拉定理 故 ，矛盾！充分性，若g不為模m的一個原根，由2 Th5 知存在，使得： 設為模m的一個原根，則對上式兩邊關于取指標： 記 ，則由指標的定義即有： 故 即為同余式 的解從而g為次剩余，矛盾。2．證明10是模17及模257（質數(shù)）的原根，并由此證明把化成循環(huán)小數(shù)時，循環(huán)節(jié)的長度分別是16及256．證明：，它的有且只有質因子2，而 從而10不是模17的平方剩余，由上題知10是模17的原根。，由且僅有質因子2，而故同上理10也是模257的原根。由3167。4的證明可知，的循環(huán)節(jié)的長度，t，這是10關于模17，模257的指數(shù)，從而 t=16，256 證畢3．試利用指標表解同余式解：同余式等價于：查表知，故： 由于，故上式由 5個解，解之得：查表知：原同余式的5個解為： 4．設模m（m．2）的原根是存在的，試證對模m的任一原根來說，的指標總是．證明：模m的原根存在，故m=4，或 設為模m的一個原根，則 從而 若m=4，則模m有且只有一個原根3， ， 故的指標為若，為奇質數(shù)，則由知或但二者不能同時成立，否則，矛盾!若又由（*）知 （mod m），與的指數(shù)為矛盾。從而，從而 （mod m）故1的指標為。 若，為的原根，則為奇數(shù) 類似于的討論，我們有，從而 從而 （mod m）故1的指標為。設，是模的兩個原根，試證： （mod ）； （mod ）。證明：由指標的定義知： （mod m）兩邊對原根取指標： （mod ） 故 （mod ）由指標的定義知： （mod m）兩邊對原根取指標： （mod ）故 （mod ）。 （證畢）第九章　數(shù)論函數(shù)167。1． 可乘函數(shù)1．設是一個可乘函數(shù)，證明也是一個可乘函數(shù)．由此說明是可乘函數(shù)．證明：首先我們證明：設，若跑過的全部因子，跑過的全部因子，則跑過的全部因子，事實上，因為，故，且當，時，由于，得，反之任給，由于，設，顯然．因此　　　　　　　　　　　　　　　　故為一個可乘函數(shù)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(此為65頁)若，它為可乘函數(shù)．，且．若，它為可乘函數(shù)，且．故為可乘函數(shù)．2．　設是一個定義在一切正態(tài)數(shù)的函數(shù)，并且是一個可乘函數(shù)，證明是可乘函數(shù)．證明：反證，假設不是可乘函數(shù)，則存在一對正態(tài)數(shù)，使得，于是我們可以選擇這樣一對，使得最小．若，則，即，又，為可乘函數(shù)，故有矛盾！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若，則對所有正態(tài)數(shù)對，有 于是有： = =因為，故此與 為可乘函數(shù)矛盾！3．證明：證明：首先易證，若d為的正約數(shù)，那么a的完全剩余系中與的最大公約數(shù)是d的個數(shù)為。其次，若為的所有正約數(shù)。那么也是的所有正約數(shù)，于是 最后，在的完全剩余系中住一數(shù)與的最大公約數(shù)必定是中某一個，而完全剩余系中與最大公約數(shù)為的數(shù)有個，所以 4．試計祘和式解：此題較復雜，下分數(shù)步解之： ?反演公式設和是兩個數(shù)論函數(shù)，且，則反之亦然事實上， 反之，類似可得。參見習題5及6 。②若是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，n正整數(shù)，記， 則事實上，由①，只要證明，但這幾乎是明顯的，因為如果分數(shù)化成既約分數(shù)，就得到形如 的分數(shù)，這里， b是n的一個約數(shù)．每一個這樣形式的分數(shù)都可得到一次也好一次． ③ 記 ， 則 記則那么這樣由②知: 由本節(jié)推論2．2 2．3，即有： 5． 是任一函數(shù)，并且： 試證：證明：設 ， 即，則 由推論2．3知，其內部之和只有當c=a時為１，ca時，為０，故上式右邊等于．設是任一函數(shù)，并且:證明:證明:其證法與上習題類似，我們有: 7．設是定義在實數(shù)上的兩個函數(shù)，并且對于任何不小于1的實數(shù)x來說:則反之，亦然．證明: （）記，則，并且遍取數(shù)目，則 （）比較兩式即有上式右邊除第一頁其余諾項都等于0（推論2．3）右上式右邊等于類似可證明它的逆定理成立。 65 / 6