1第一章-第一講整數(shù)的可除性(閔嗣鶴)20xx0210(1)-資料下載頁
2025-08-04 07:31本頁面
【正文】 r1 m，b = b1m + r2，0 163。 r2 m，所以ax + by = (a1m + r1)x + (b1m + r2)y = (a1x + b1y)m +（r1x + r2y）由此可知，若r1x + r2y被m除的余數(shù)是r，則ax + by被m除的余數(shù)其余數(shù)也是r. 同樣方法可以證明其余結(jié)論. 例7 證明：若a被9除的余數(shù)是3，4，5或6，則方程x3 + y3 = a 沒有整數(shù)解。證明 對任意的整數(shù)x，y，記x = 3q1 + r1，y = 3q2 + r2，0 163。 r1, r2 3.則存在Q1, R1, Q2, R2206。Z，使得x3 = 9Q1 + R1，y3 = 9Q2 + R2 ，由例5可知R1和R2被9除的余數(shù)分別與r13和r23被9除的余數(shù)相同,由于, 故 R1 = 0，1或8。 同理, R2 = 0，1或8. (*)因此 x3 + y3 = 9(Q1 + Q2) +( R1 + R2).又由例5及式(*)可知，R1 + R2被9除的余數(shù)只可能是0，1，2，7或8，所以，x3 + y3不可能等于a , 否則,將與已知條件矛盾.即 x3 + y3 = a 沒有整數(shù)解。 例8 設(shè)a0, a1, L, an206。Z，f(x) = anxn + L + a1x + a0 ，若f(0)與f(1)都不是3的倍數(shù)，證明：若方程f(x) = 0有整數(shù)解，則3189。f(1) = a0 a1 + a2 L + (1)nan .證明 對任何整數(shù)x，都有 x = 3q + r，(r = 0,1,2，q206。Z).(ⅰ) 若r = 0，即x = 3q，q206。Z，則f(x) = f(3q) = an(3q)n + L + a1(3q) + a0 = 3Q1 + a0 = 3Q1 + f(0)，其中Q1206。Z，由于f(0)不是3的倍數(shù)，所以f(x) 185。 0；(ⅱ) 若r = 1，即x = 3q + 1，q206。Z，則f(x) = f(3q + 1) = an(3q + 1)n + L + a1(3q + 1) + a0= 3Q2 + an + L + a1 + a0 = 3Q2 + f(1)，其中Q2206。Z.由于f(1)不是3的倍數(shù)，所以f(x) 185。 0.因此若f(x) = 0有整數(shù)解x，則x必是形如:x = 3q + 2 = 3q162。 1，(q 162。206。Z)，于是 0 = f(x) = f(3q 162。 1) = an(3q 162。 1)n + L + a1(3q 162。 1) + a0= 3Q3 + a0 a1 + a2 L + ( 1)nan = 3Q3 + f(1)， 其中Q3206。Z.所以 3189。f(1) = a0 a1 + a2 L + (1)nan .例9 設(shè)為正整數(shù)，證明：.證明 對正整數(shù)分以下三種情形討論.(ⅰ) 當(dāng)時，由于，所以 ，因而 故. (ⅱ) 當(dāng)時，有,有 注意到，于是，即 綜合上述兩式得： ，故 ；(ⅲ) 當(dāng)時，設(shè) 由于 由于 當(dāng)時, , 由于故, 因此, 從而 。 當(dāng)時, 由(ⅱ)知：. 故 證畢.注 此例題解答過程中用到分類的思想方法，以及帶余數(shù)的除法。習(xí)題17
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