【正文】 .1)()()1(5.)(1 ??????? nnnf ???322 n則 )8(2)7()6(.)(21 ???nnf ???77 設有一階系統(tǒng)為53)(1()(nfyn??試求單位響應 h( n )和階躍響應 s( n )，并畫出 s( n )的圖形。解 由方程知特征根 ? = ，故 )()()(nnh???階躍響應為 )(.1()()( 1s n??????s( n )的圖形如圖 p77 所示。圖 p7778 設離散系統(tǒng)的單位響應 ，輸入信號 ，試求零狀態(tài)響應 y( n )。)(31)(nh??nf2)(?解 由給定的 f( n )和 h( n )，得 ??????0)()(kkhnfhfykn61230???因為 ,10???aankn故得 )(35)(26)(nyn????79 試證明542121)(???????nnn證明 ???????nkknknn 02120221)(??)(1)(2022?????nnnkk21121?? ??nn710 已知系統(tǒng)的單位響應， )10())(??anah?輸入信號 ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。6()(??nf?解 )()]6()[()( nanhfy ?????因為 )(1)(0annnk?????利用時延性質，則 )6()(6(6?????nn?所以得 )(1)(1)(5????aaynn?55第 8章習題解析81 求下列離散信號的 Z 變換，并注明收斂域。(a) ?( n ? 2 )(b) an?( n )(c) ?1?( n ? 1 )(d) ( + )?( n )解 (a) ?????zzF0,)(2(b) ?????0)(nnnaaazz111?，(c) ???????11)2(5.)(nnnzF1?z，(d) ??????????.)(nnnzzF...?z，82 求下列 F( z )的反變換 f( n )。(a) )(???z(b) )(1?z(c) )2(?F(d) )(?zz(e) 2)1(?解 (a) 因為56)41()(2???zzF故 412)41()(1zKzz解得K1 = 4，K 2 = ?3進而 412)(??zzF所以 )(]3)(4[)nnfn??(b) )21()(2121)( ??????zzzzF所以 )()()()1?nnnf ??(c) 由于 )2(1)(??zzF故 )()( 21?zKzz解得K1 = ?2，K 2 =2進而 )(??zzF所以 )(12)(2)()( nnnf ?????(d) 由于 )(.3)(2??zzF故57.)()( 1??????zKzzF解得 3,821K故有 .)(???zzF所以 )(].(31).0(8[)nnfn?(e) 由于 2)1()(??zzF故 1)()(21)( 2112??zKzz解得K1 = 1， K11 = ?1， K12 = ?1從而有 )(2)(2?zzF故得 1)(nnf??83 試用 z 變換的性質求以下序列的 z 變換。(a) )3()(??nnf?(b) N解 (a) 由時延性質，有 232)1()1(????zzF (b) 1)( NNzzF????84 試證明初值定理 )(lim)0(zFfz???58證明 因為 ??????????210 )()(0)()( zffznfzF當 z??時，則上式右邊除 f(0)外均為零，故 )(lim)(zFfz??85 試用卷和定理證明以下關系：(a) )()()nfmnf????(b) 1???證明 (a) 因由卷和定理 mzFnf ?????)(()?而 )()(f故得 )()()mnfnf???? (b) 因為 2)1(1)(?zz?而 22)()()()1( ???????? zznn所以 1)(n????86 已知 ，試求 的 Z 變換。)(1)(nn????)(解 因由卷和定理 2)1()(???zn?而 )(???所以5922)1()1()????zzn?87 已知因果序列的 Z 變換為 F( z )，試分別求下列原序列的初值 f( 0 )。(1) )(.()1????zzF(2) 2解 (1) )(2???zzF所以 1)(lim)(???zFfz(2) )(2???zzF所以 0)(li)(???zFfz88 已知系統(tǒng)的差分方程、輸入和初始狀態(tài)如下，試用 Z 變換法求系統(tǒng)的完全響應。)1(2)(1(2) ???nffny。1)(),(???ynf?解 對方程取 Z 變換，有 )()(.)()( 11 zFzzYz ???即 .).().( 11 ???z故 )(?zzY所以 nny).()(??89 設系統(tǒng)差分方程為 )(2(6)1(5) nfyny???60起始狀態(tài) y( ?1 ) = 3，y( ?2 ) = 2，當 f( n ) = z?( n )時，求系統(tǒng)的響應 y( n )。解 對差分方程取 z 變換，得 )(]2()1)([6)]1([5)( 21 zFyzYyY ????????即 8)(5)()( 121 ??zzz從而有 21653)(???zzY)()(83z故 321)????zKzY解得K1 = 1， K2 = 4， K3 = 0則有 )(???zzY得全響應 )(24)(nny??810 設一系統(tǒng)的輸入 ，系統(tǒng)函數(shù))()1()( ????f ??試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解 因為 )1()( 22 ?????zzzH所以 .)(.0)( 21?zKzz解得K1 = ?1， K2 = 261故 )(???zzH得 )().(nnh?所以 )()(fny?? )]2()1(4)[][ ?????nnn ???()(4?811 設有系統(tǒng)方程 )1(2)()1(2.)( ??????nffnyyn試畫出其 Z 域的模擬框圖。解 在零狀態(tài)下對方程取 z 變換，得 )(2)()(2.)( 121 zFzYzY??? ???即 )(()..( 121z???故有 .)(????zzFYH由此可以畫出模擬圖如圖 p811 所示。圖 p811812 如題 812 圖所示 z 域框圖，試寫出其差分方程。62題 812 圖解 由圖可得 )(1)(zFabzY???故有 )(()(1zz??所以 )()()???nfbnay813 如題 813 圖所示 z 域框圖，是寫出其差分方程。題 813 圖解 由圖可得 )(1)(zFazX???bY故有 )(1)(zFaz???63即 )(1()1( zFbzYa?????從而有差分方程 )1()()nffny814 對于題 812 和 813，試分別寫出系統(tǒng)函數(shù) H( z )。解 對于題 812，因 )()(1zXazFX???而 )(())(11zbzbXzY????故 1)(???azbFYH對于題 813，因 )(1zX?()bY??故 1)(?azFzH815 已知某數(shù)字濾波器的差分方程為 )1()2()(7.)( ???nfnyny（1）求系統(tǒng)函數(shù) H( z )；（2）求單位響應 h( n)。解 （1）在零狀態(tài)下對方程取 z 變換，得 )()(2)( 12zFzY?????故系統(tǒng)函數(shù) ...)( 21????zzzH（2）由于 ..)(??zzz64故單位響應 )(])3.(4[)nnhn???816 如題 816 圖所示系統(tǒng)，試求其系統(tǒng)函數(shù) H( z )和單位響應 h( n)。題 816 圖解 由模擬圖可得 )( 212 ??????zzzH 45)4(50K可得K0 = ?3， K1 = ?1， K2 = 7故得 )()(5.)()( nnnh?????817 設一階系統(tǒng)為 )(1(3)nfyn??（1）求單位響應 h( n)；（2）若系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為 )(]31)2[(nnyn???試求輸入信號。65解 （1）對方程取 z 變換，得 )()31(zFYz??故 311)(?zzH所以 )()(nh??（2）由 y(n)可得 Y( z ) )(?zzY故有 )(?zHzF最后輸入 )1.?nnf?818 設離散系統(tǒng)輸入 時，零狀態(tài)響應 ；若輸入)(f? )((2)nny???時，求系統(tǒng)的響應；該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？ )()(nf??解 )(??zzY故 )1(2)(??zFYzH當 時，則)()(nf?? .z所以 2)()()( ??zFHzY最后得 )()nny?66819 設有一個二階橫向濾波器，它可對輸入序列的當前值及以前的兩個采樣值進行平均，即 )]2()1()[31)( ???nffny問該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？若穩(wěn)定試求其幅頻特性和相頻特性。解 對方程取 z 變換，得 22113)(3) zzzH??????因極點 z = 0，故系統(tǒng)穩(wěn)定。頻率響應為 )e1()e(j2jj TT????)]2sin(ijcos[3 T???故 TeHT?coss431)(j???2iniarctn??特性如圖 p819 所示。圖 p819820 設有系統(tǒng)函數(shù) 412)(2???zzH試求系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。67解 由系統(tǒng)函數(shù)可得極點 43j12,??z故系統(tǒng)穩(wěn)定，從而可得頻率響應為 )e4()e(jjj TTTH?????)(je4sin32cos5( ????從而有 )(jTeH?)2cos5in3art2)(????特性如圖 p820 所示。圖 p820圖 p820