二項式定理典型例題解析-資料下載頁
2025-03-24 06:31本頁面
【正文】 列，n∈N*，求證：an+＞2bn.分析：題中雖未出現(xiàn)二項式定理的形式，但可以根據(jù)a、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用二項式定理.證明：設(shè)公差為d，則a=b－d，c=b+d.an+－2bn=(b－d)n+(b+d)n－2bn=［bn－Cbn－1d+Cbn－2d2+ … +(－1)ndn］+［bn+Cbn－1d+Cbn－2d2+ … +dn］=2(Cbn－2d2+Cbn－4d4…)＞0.說明：由a、b、c成等差，公差為d，可得a=b－d，c=b+d，(b－d)n+(b+d)n＞2bn，然后用作差法改證(b－d)n+(b+d)n－2bn＞0.【例23】求(1+2x－3x2)6的展開式中x5項的系數(shù).分析：先將1+2x－3x2分解因式，把三項式化為兩個二項式的積，即(1+2x－3x2)6=(1+3x)6(1－x)6.然后分別寫出兩個二項式展開式的通項，研究乘積項x5的系數(shù)，問題可得到解決.解：原式=(1+3x)6(1－x)6，其中(1+3x)6展開式之通項為Tk+1=C3kxk，(1－x)6展開式之通項為Tr+1=C(－x)r.原式=(1+3x)6(1－x)6展開式的通項為CC(－1)r3kxk+r.現(xiàn)要使k+r=5，又∵k∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，必須或故x5項系數(shù)為C30C(－1)5+C31C(－1)4+C32C(－1)3+C33C(－1)4+C34C (－1)+C35C(－1)0=－168.說明：根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征靈活運用二項式定理是本題的關(guān)鍵.【例24】(2004年全國必修+選修1)(－)6展開式中的常數(shù)項為( ) B.－15 D.－20解析：Tr+1=(－1)rC()6－rx－r=(－1)rCx，當(dāng)r=2時，3－r=0，T3=(－1)2C=15.答案：A【例25】 (2004年江蘇)(2x+)4的展開式中x3的系數(shù)是( ) 解析：Tr+1=(－1)rC()4－r(2x)r=(－1)r2rCx，當(dāng)r=2時，2+=3，T3=(－2)2C=24.答案：C【例26】 (2004年福建理)若(1－2x)9展開式的第3項為288，則(++ … +)的值是( ) C. D.解析：Tr+1=(－1)rC(2x)r=(－1)rC2xr，當(dāng)r=2時，T3=(－1)2C22x=288.∴x=.∴(++ … +)==2.答案：A【例27】 (2004年福建文)已知(x－)8展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是( ) 解析：Tr+1=(－1)rCx8－r()r=(－a)rCx8－2r，當(dāng)r=4時，T3=(－a)4C=1120，∴a=177。2.∴有函數(shù)f(x)=(x－)=1，則f(1)=1或38.答案：C【例28】 (2004年天津)若(1－2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(x∈R)，則(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ … +(a0+a2004)= .(用數(shù)字作答)解析：在函數(shù)f(x)=(1－2x)2004中，f(0)=a0=1，f(1)=a0+a1+a2+ … +a2004=1，(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)=2004a0+a1+a2+ … +a2004=2003a0+a0+a1+a2+ … +a2004=2003f(0)+f(1)=2004.答案：2004
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