專題幾何不等式-資料下載頁(yè)
2025-03-24 05:53本頁(yè)面
【正文】 ，B1，C1(如圖2145)，考慮四邊形AOBC1．因?yàn)椤螼AC1=∠OBC1=90176。，∠AOB=120176。， 所以∠C1=60176。．同理，∠A1=∠B1=60176。．所以△A1B1C1為正三角形． 設(shè)P到△A1B1C1三邊B1C1，C1A1，A1B1的距離分別為ha，hb，hc，且△A1B1C1的邊長(zhǎng)為a，高為h．由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1 知 所以 h=ha＋hb＋hc． 這說明正△A1B1C1內(nèi)任一點(diǎn)P到三邊的距離和等于△A1B1C1的高h(yuǎn)，這是一個(gè)定值，所以O(shè)A＋OB＋OC=h=定值． 顯然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三邊距離和，所以PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC． 這就是我們所要證的結(jié)論． 由這個(gè)結(jié)論可知O點(diǎn)具有如下性質(zhì)：它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和小于其他點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)的距離和，這個(gè)點(diǎn)叫費(fèi)馬點(diǎn)．練習(xí)二十三 1．設(shè)D是△ABC中邊BC上一點(diǎn)，求證：AD不大于△ABC中的最大邊． 2．AM是△ABC的中線，求證： 3．已知△ABC的邊BC上有兩點(diǎn)D，E，且BD=CE，求證：AB＋AC＞AD＋AE． 4．設(shè)△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分別為∠B與∠C的平分線，求證：BD＞CE． 5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求證：AB+CF≥AC＋BE． 6．在△ABC中，AB＞AC，AD為高，P為AD上的任意一點(diǎn)，求證：PBPC＞ABAC． 7．在等腰△ABC中，AB=AC． (1)若M是BC的中點(diǎn)，過M任作一直線交AB，AC(或其延長(zhǎng)線)于D，E，求證：2AB＜AD+AE． (2)若P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＜PC，求證：∠APB＞∠APC．11
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