【正文】 ． 3． 四．（8分）將函數(shù)在下列指定的圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)1． ； 2．。五．（8分）設，1．求?； 2．求?。六．（5分）計算?。 七．（6分）求一個將平面區(qū)域映射成平面區(qū)域的共形映射。八．（6分）用積分變換法求解常微分方程初始值問題： 九．（6分）設為復平面上有界解析函數(shù)，證明：1．對任意復數(shù)有；2．為常數(shù)函數(shù)。07年12月試卷答案一．1．； 2． 3． 4．發(fā)散； 5．6． 7． 8． 9． 10．。二． ，三．1．原式2．原式3．原式四．，1. 2． 五．1. ?2. ???六．原式??七． 八．記?，?九．1.2. 所以，即為常數(shù)。08年2月試卷 4學分一．填空題 （每題3分，共30分）1. 方程的全部根為 ； 2. 設 ，則 ；3. 設 則 ；4. 級數(shù)的收斂半徑R = ；5. ；6. ；7. 設，則? ；8. ? ；9. 函數(shù) 在點處沿從點A 到點B(9,4,1) 方向的方向?qū)?shù)為 ；10. 矢量場通過點的矢量線方程為 ；二．（每題6分，共12分）設C正向圓周：，計算下列各積分：(1)．； (2)．。三．（8分）將函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)：； 。四．計算下列各題（每題6分，共12分）(1) 設?，求?；(2) 設，求?。五．(8分)證明矢量場為調(diào)和場，并求其一個調(diào)和函數(shù)。六．(8分)設平面調(diào)和場的力函數(shù)與勢函數(shù)，滿足：，求場矢量及其力函數(shù)與勢函數(shù)。七．(8分)用積分變換法求解微分積分方程：，八．(8分)求一個共形映射將平面的區(qū)域映射成平面上的區(qū)域。九．(6分)設在內(nèi)解析，且，證明。08年2月試卷答案一．填空題 （每題3分，共30分）1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ；8. ； 9. ； 10. 。二．(1)．因，所以(2)． 解：被積函數(shù)f(z)奇點是：0，1，3與165。C內(nèi)有本性奇點和一級極點，而所以 三．解：（1）當時，；（2）當時。四．(1) ? ???(2) ??五．，所以為調(diào)和場。其調(diào)和函數(shù) 六．，且所以，七．記?，?八．，所求映射為。九．證明：由于在內(nèi)解析，取，則由高階導數(shù)公式，有: 08年12月試卷 (3學分)一．填空題（每小題2分，共20分）：1． ；2．設，則 ；3． ，其中C為圓周；4．設函數(shù)的泰勒展開式為，則冪級數(shù)的收斂半徑 ；5． ；6．映射在點處的伸縮率為 ；7． ；8．設，，則Fourier變換＝ ；9．設，則拉氏逆變換 ；10． 。二．（8分）已知一調(diào)和函數(shù)，求一解析函數(shù)，使。三．計算下列積分（每小題5分，共15分）：1．；2．，其中C：正向；3．。四．（8分）將函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)：1．；　 2．。五．計算下列各題（每小題5分，共10分）：1．設，求的Fourier變換；2．設，求的拉氏變換。六．（8分）用拉氏變換解微分方程：。七．（7分）求一共形映射，將z平面的區(qū)域：， 映射成w平面上的區(qū)域：。八．（4分）設在內(nèi)解析，在上連續(xù)，且，證明：。08年12月試卷 (3學分)答案一. 填空題（每小題2分，共20分）：1.；2. ；3. 0 ； 4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. 。二.（共8分）解：由，得，由，得， 所以，因此 。從而得解析函數(shù)。 由，得，所以。三．（每小題5分，共15分） 解：1. 原式 2. 被積函數(shù)f(z)奇點是：0，1，3與165。C內(nèi)有本性奇點和一級極點，而 所以3. 在上半平面有二級極點i， 故有 四．（共8分） 解：1．┈┈（2分）2． 五．（每小題5分，共10分） 解： 1．因 所以 2．因 所以 六．（共8分） 解：設，對方程兩邊取拉氏變換得 由此可得 取拉氏逆變換得 七．（共7分）解： 復合以上四個映射，即得所求的一個映射為。八．（共4分）證明：對函數(shù)應用柯西積分公式得 設d為z到的最短距離，則由積分估值定理，有 兩邊開n次根得 ，令，并注意到，易知，即 (A) ()學分一．填空題（每小題2分，共20分）：1． ；2．已知為解析函數(shù)，且，則 ；3．設，則 ；4．函數(shù)在點的泰勒展開式為 ；5．映射在點處的伸縮率為 ； 6． ；7．設，則拉氏變換 ；8．數(shù)量場在點M(1,1,1)處沿曲線朝t增一方的方向?qū)?shù)為 ；9．矢量場在點M(1,2,1)處沿矢量方向的環(huán)量面密度為 ；10．已知矢量場為管形場，則 。二．計算下列積分（每小題5分，共15分）：1．，C是0到的直線段；2．，其中C：正向； 3．。三．（8分）將函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)：1．；　 2．。四．計算下列各題（每小題5分，共10分）：1．設，求的Fourier變換；2．設，求的拉氏變換。五．（第一小題4分，第二小題6分，共10分）：1．證明矢量場( u為數(shù)性函數(shù))是無旋場；2．證明矢量場為有勢場，并求其勢函數(shù)。六．（7分）用拉氏變換解微分方程：。七．（6分）求一共形映射，將z平面的區(qū)域：， 映射成w平面上的區(qū)域：。八．（4分）設在內(nèi)解析，且，證明。(A)試試題答案一. 填空題（每小題2分，共20分）：1.；；3.；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. 。二. （每小題5分，共15分） 解：1. C的參數(shù)方程為 所以 2. 被積函數(shù)f(z)在內(nèi)只有一級極點和，而 所以 3. 在上半平面有一級極點i， 所以 ， 因此， 三． （共8分） 解：1． 2． 四． （每小題5分，共10分） 解：1．因 所以 2．因 五．（第一小題4分，第二小題6分，共10分）證明：1． ，所以矢量場是無旋場。 2．因，所以，因此是有勢場， 又， 于是得勢函數(shù)，而場的勢函數(shù)的全體為，其中C為任意常數(shù)。 注：此題含兩小題，為基本題，第1小題考查旋度運算的基本公式，第2小題考查有勢場的判斷和勢函數(shù)計算。六．（共7分） 解：設，對方程兩邊取拉氏變換得 由此可得 取拉氏逆變換得 七．（共6分）解：或 復合以上四個映射，即得所求的一個映射為。八．（共4分）證明：由于在內(nèi)解析，取，則由高階導數(shù)公式，有 (A) ()學分一．填空題（每小題2分，共24分）1．復數(shù)的三角表示式為 ；2．復函數(shù)當且僅當在 處可導；3. 復函數(shù)的的冪級數(shù)收斂半徑= ；4. 映射將z平面區(qū)域映射成w平面區(qū)域 ；5. ；6. ，其中C為曲線 從到一段；7．設，則；8．；9．；10．矢量場通過點(1,1, 1)的矢量線方程為 ；11．數(shù)量場u=cosx+ siny cosz，則div[grad u]+u=_______；12．已知平面調(diào)和場的勢函數(shù)為，則場矢量。二（每小題5分，共10分）計算下列積分 ； 三（6分）將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。四 (1) (5分)用定義求函數(shù)的傅里葉逆變換。(2) (5分)設，求的拉普拉斯變換。五（7分）求一個共性映射，將z平面區(qū)域映射成w平面單位圓 。六 (1) (4分) 求矢量場在點(1, 2, 3)處沿矢量的方向環(huán)量面密度(2) (7分) 驗證矢量場為調(diào)和場，并求其調(diào)和量。七 (6分) 用拉普拉斯變換法求解常微分方程初始值問題：八(6分) 設在z0處解析，且為函數(shù)的一級極點，且 (1)證明：z0為函數(shù)的一級極點； (1)求。20101工程數(shù)學4學分解答一 1. ； 2. ；3. ；4. ；5. ； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ‘；10. ；11. ；12. 。二(1) 原式(2) 原式三 四 (1) ? (2) ???? 五，六 （1） 的方向余弦，（2）雅可比矩陣為，所以既為調(diào)和場。 七 記?，則，八 因為為的一級極點，所以，其中在處解析且，又因為，所以（1） ，因為，所以為的一級極點。（2）一、常微分方程邊值問題 以二階常系數(shù)非齊次線性常微分方程為例 ) (x f py y q y = + ′ + ′ ′ 需要兩個定解條件才可以確定方程的唯一解。如果在一個自變量點（比如 ）處給出未知函數(shù)函數(shù)值和導數(shù)值做為定解條件，這類定解條件稱為初值條件。初值條件和常微分方程聯(lián)立構成初值問題 0 0 = x???= ′ =∞ + ∈ = + ′ + ′ ′0 0 ) 0 ( , ) 0 () , 0 ( ), (181。 y y yx x f py y q y 如果在兩個自變量點（比如 和 0 0 = x 1 1 = x ）處給出未知函數(shù)的函數(shù)值（或?qū)?shù)值）做為定解條件，這類定解條件稱為邊值條件。邊值條件和常微分方程聯(lián)立構成邊值問題 ???= =∈ = + ′ + ′ ′β α ) 1 ( , ) 0 () 1 , 0 ( ), (y yx x f py y q y 最簡單的兩點邊值問題是 ???= =∈ = ′ ′β α ) 1 ( , ) 0 () 1 , 0 ( , 0y yx y《工程數(shù)學》試題 第 82 頁 共6 頁