有限單元法基礎(chǔ)介紹-資料下載頁
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【正文】 30 0 . . . 1 0 . . . 0 0 . . . 00 0 . . . 0 1 . . . 0 0 . . . 00 0 . . . 0 0 . . . 1 0 . . . 00 0 . . . 0 0 . . . 0 1 . . . 0G?????????2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題） ? 總體結(jié)構(gòu)的載荷矢量、位移矢量與單元載荷矢量、位移矢量之間的關(guān)系為： ()e T eeP G P? ?()e T eeG??? ?? 邊界條件的處理 1 1 4 20,u v v v b? ? ? ?? 邊界條件指結(jié)構(gòu)邊界上所受到的外加約束。 ? 邊界上的節(jié)點通常有兩種情況： ? 一種可以自由變形，如圖中 8；如果節(jié)點 3作用外載荷 Q，可以令該點的載荷為 Q； ? 另一種邊界上的節(jié)點，已經(jīng)規(guī)定了節(jié)點的位移數(shù)值。 如： 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)靜力學(xué)問題） ? 把結(jié)構(gòu)平衡方程組重新排列，得到如下方程： a a a b a aTa b b b b bK K PK K P??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 式中， 是已知節(jié)點位移， 是未知節(jié)點位移； b? a? 相應(yīng)地， 是已知節(jié)點載荷， 是未知支點反力。 aP bp 只要已給出的位移 足以阻止結(jié)構(gòu)的剛體移動，則子矩陣 將是非奇異的，可以解出未知的節(jié)點位移： b? aaK1 ()a a a a a b bK P K????? 進而求出未知支點反力： 11() TTb b b a b a a a b b a b a a aP K K K K K K P???? ? ? 但在有限單元法中，未知量的個數(shù)通常有幾百個，甚至幾十萬個，一般利用計算機求解。 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題） ? 結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題有限元方法 ? 運動狀態(tài)中各節(jié)點的動力平衡方程為： ()i d eF F P t F? ? ? 式中， 分別為慣性力、阻尼力和動力載荷， 為彈性力。 , , ( )idF F P t eF? 彈性矢量可用節(jié)點位移 和剛度矩陣 表示為： eFK??K?? 根據(jù)達朗貝爾原理，可用質(zhì)量矩陣 和節(jié)點加速度 表示慣性力如下： M22t???22iFM t?????? 設(shè)結(jié)構(gòu)具有粘滯阻尼，可用阻尼矩陣 和節(jié)點速度 表示阻尼力如下： dFC t?????Ct???? 得到運動方程： 22 ()M C K P ttt?? ???? ? ???()M C K P t? ? ?? ? ?即 2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題） ? 單自由度系統(tǒng)的阻尼 ? 單自由度系統(tǒng)的自由振動方程為： 式中， 質(zhì)量； 阻尼系數(shù)； 為剛度系數(shù)； 為位移。 m c? 兩邊除以 m,得到： ? 設(shè)初始條件為：當(dāng) t=0時， 符合這些初始條件的解為： 21d? ? ???220? ? ?? ? ?? ? ?系統(tǒng)的自振頻率為 ，其振幅隨著時間而逐漸衰減。 0m c k? ? ?? ? ?k ? 其中， 稱為阻尼比， 為系統(tǒng)的自振頻率（角頻率）。 / , / ( 2 ) ,k m c m? ? ??? ??00,v? ? ???000e x p ( ) c o s s indddvt t t? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ? ?????d? 大多數(shù)結(jié)構(gòu)的阻尼比都比較小，較多為 ，阻尼對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響是很小的，通常取 。 0 .0 1 ~ 0 .2? ?d???2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 有限元單元法基礎(chǔ)理論（結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題） ? 結(jié)構(gòu)自振頻率與振型 ? 結(jié)構(gòu)自由振動方程為： 實際中，阻尼對結(jié)構(gòu)自振頻率和振型影響不大，因此可忽略阻尼力，得到無阻尼自由振動方程： ? 設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧運動： 0M C K? ? ?? ? ?c o s t? ? ??2( ) 0KM????1 2 3 ... n? ? ? ?? ? ? ? 對于每個自振頻率，可確定一組各節(jié)點的振幅值 它們之間應(yīng)保持固定的比值，但絕對值可以任意變化，它們構(gòu)成一個 矢量，稱為 特征矢量 ，在工程上通常稱為 結(jié)構(gòu)的振型 。 0MK????代入上式得到方程： 在自由振動時，結(jié)構(gòu)中各節(jié)點的振幅 不全為零，所以結(jié)構(gòu)自振頻率方程為： {}?2 0KM??? 上式是關(guān)于 的 n次代數(shù)方程，可求出結(jié)構(gòu)的自振頻率： 2?12[ , , ... ] ,i i i in? ? ? ??2022/3/14 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院機械工程系 THE EN
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