【正文】 ?? ba dxxfxfA )]()([ 12A A直角坐標(biāo)情形 a b a b定積分的應(yīng)用 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ?????)()(tytx??曲邊梯形的面積 ? ?? 21)()(tt dtttA ??（其中 1t 和 2t 對應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）在 [ 1t , 2t ] （或 [ 2t , 1t ] ）上 )( tx ?? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)( ty ?? 連續(xù) .參數(shù)方程所表示的函數(shù) ?? ba dxxfA )(?? ?? ??? dA 2)]([21xo??d?)(???r ??xo)(2 ???r)(1 ???r? ?? ?? ????? dA )]()([21 2122極坐標(biāo)情形 (2) 體積 x dxx? x y o dxxfVba2)]([?? ?dyyV dc 2)]([????xyo)( yx ??cdxo?? ba dxxAV )(x dxx?a b平行截面面積為已知的立體的體積 )(xA(3) 平面曲線的弧長 xoya bx dxx?? dy弧長 dxys ba? ??? 21A．曲線弧為 ?????)()(tytx??)( ?? ?? t其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)弧長 dttts ? ???? ?? ?? )()( 22)( xfy ?B．曲線弧為 C．曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?弧長 ????? drrs ? ??? )()( 22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 x dxx? x y o )( xfy ?bxaxfy ???? ,0)(? ???? ba dxxfxfS )(1)(2 2側(cè)(5) 細(xì)棒的質(zhì)量 o x dxx ?)(x?xl????lldxxdmm00)(?(6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 a b xyx dxx ?o????baba yydxxxdII)(2 ?))(( 為線密度x?(7) 變力所作的功 )(xFo a bx dxx ? x? ???????babadxxFdWW)((8) 水壓力 xyoabxdxx ?)(xf????babadxxxfdPP)(?)( 為比重?(9) 引力 xyx dxx ?oAl? l? ?? ?? ???llll yyxadxGadFF2322 )(?.0?xF )( 為引力系數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值 ??? ba dxxfaby )(1(11) 均方根 ??? badxxfaby )(1 2二、典型例題 例 1 .3。2。1)0(s i nc o s00033體積及表面積體它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長它所圍成的面積求星形線已知??????ataytaxa? aoyx解 .1 0 A設(shè)面積為 由對稱性 ,有 ?? a y d xA 04? ? ??? 0223 )s i n(c o s3s i n4 dtttata???? 20 642 ]s i n[ s i n12 dttta .83 2a??.2 0 L設(shè)弧長為 由對稱性 ,有 ?????? 2022 )()(4 dtyxL ??? 20 s i nc os34 t ?.,3 0 VS 體積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為由對稱性 ,有 ? ???? a x dxyyS 0 2122????? 20 3 s i nc os3s i n4 t dttata .512 2a??? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 02262 )s i n(c o s3s i n2 dtttata????? 20 273 )s i n1(s i n6 dttta .1 0532 3a??例 2 ?,)2(。)0()1(.至少需作功多少若再將滿池水全部抽出面上升的速度時(shí)水求在池中水深內(nèi)注水的半球形水池的流量往半徑為以每秒RhhRa??o xyRh解 如圖所示建立坐標(biāo)系 . ).0()( 222 RyRRyx ?????半圓的方程為于是對半圓上任一點(diǎn) ,有 ).0(2)( 2222 RyyRyRyRx ???????時(shí)水池內(nèi)水的體積為為的球缺的體積即水深故半球內(nèi)高為的立體軸旋轉(zhuǎn)而成圓繞因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhV hh ?? ????? 0 20 2 )2()(,th 時(shí)已注水的時(shí)間為又設(shè)水深 ,)( athV ?則有atdyyRyh ????0 2 )2(即得求導(dǎo)兩邊對 ,t ,)2( 2 adtdhhRh ???故所求速度為 .)2( 2hRh adtdh ???.)2(所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即將池內(nèi)將滿池的水全部抽出所的功約為所需降到抽水時(shí)使水位從 dyyRyy ??? )0()1(),(2 水的比重????? yRdyx,2 22 yRyx ??又.))(2( 2 dyyRyRydW ?????即功元素o xyRh故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為 ? ????? R dyyRyRyW 0 2 ))(2(? ???? R dyyRyyR0 322 )32(.4 4R??例 3 在第一象限內(nèi)求曲線 上的一點(diǎn)， 12 ??? xy使該點(diǎn)處的切線與所給曲線及兩坐標(biāo)軸所圍成的 圖形面積為最小，并求此最小面積。 解 設(shè)要求的點(diǎn)為（ x1， y1）， y1= x12+1 , .2| 11 xy xx ??? ? 過（ x1， y1）的切線方程為 )(2 111 xxxyy ???? 令 x=0,y=0得切線的 截距 : ,1210 ?? xy1210 21xxx ??于是，所求面積為 .32)12(41)1(21)(1131210001 ???????? ? xxxdxxyxxS,0)1)(13(41)123(41)(:111121211 ???????? xxxxxxxS令311 ?x,0)26(41)(311311 3111 ?????? ?? xx xxxS又面積取最小值處所以在 ,311 ?x)332(9231 ????????S唯一駐點(diǎn) : 解 ,21xy ??? xy ??在點(diǎn) ),( tt 處的切線 l方程為 )(2 1 txtty ??? 即 22 1 txty ??所圍面積 3241221)( 20 ????????? ??????? ?? ? ttdtttxttS令 ,02121)( 2123 ????? ?? tttS 得 t=1。 又 ,0)1( ???S故 t=1時(shí)， S 取最小值。此時(shí) l的方程為 212 ?? xy 求曲線 xy ? 的一條切線 l，使該曲線與切線 l 及直線 x=0， x=2所圍成的圖形面積最小。 故此切線方程為 22100 ??? ?xy xx)(22 12 000 xxxxy ?????又因該切線過點(diǎn) P（ 1， 0），所以 )1(21 ?? xy)(22 12 000 xxxx ????? 即 30 ?x從而，切線方程為 因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積 6)2()1(41 32231??? ????? ?? dxxdxxV解 設(shè)所作切線與拋物線相切于點(diǎn) ，因 )2,( 00 ?xx 過點(diǎn) P(1,0)作拋物線 2?? xy 的切線，該切線與上述拋物 線及 x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的體積。 1. 求曲線 所圍的面積 . ???? 2c o ss i n2 2rr 及1)求交點(diǎn) . 6,31ta n2c o s)s i n2( 22 ?????????2)算面積 . 2316]2c o s21)s i n2(21[2 4/6/6/02 ?????????? ?? ??? ddA2. 設(shè)平面區(qū)域 D由 x=0, x=1, y=a(oa1)及 y=x2 圍成 , 試問 a為何值時(shí) D的面積最小 ? 3134)()( 2/31 202 ??????? ?? aadxaxdxxaAaa.41,012334 2/1 ?????? aadadA3. 設(shè)平面圖形 A由 xyxyx ??? 與222求圖形 A繞直線 x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 A的兩條邊界曲線方程分別為 及 x=y 211 yx ???相應(yīng)于 [0,1]上任一小區(qū)間 [y， y+dy]的薄片的體積元素為 dyyydV })2()]11(2[{ 222 ????????dyyy ])1(1[2 22 ?????于是所求體積為 dyyyV ])1(1[2 2210 ????? ?1032]3 )1(a r c s i n2112[2 yyyy ?????? 322)314(22 ????????解 A的圖形如下圖所示，取 y為積分變量，它的變化區(qū)間為 [0,1]， 所確定 , 4. 曲線 )2)(1( ??? xxy 和 x軸圍成一平面圖形，求此平面圖形 繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 解 在 [1， 2]上取積分元素，得 ,||2 dxyxdV ??????????? ?? 21)2)(1(2||2 2121 dxxxxdxyxV 2 求由曲線 y=x22x, y=0, x=1, x=3所圍平面圖形分別繞 x 和 y軸旋轉(zhuǎn)一周 , 所得的旋轉(zhuǎn)體體積 . .)2( 2231231 ?????? ?? dxxxdxyV x.9|2|2||2 23131 ??????? ?? dxxxxdxyxV y5. 計(jì)算曲線 )1l n ( 2xy ?? 上相應(yīng)于 210 ?? x 的一段弧的長度。 解 dxyS ? ???210 21 dxxx????? 21022 )12(1dxxx???? 210 2211213ln)11111(210 ??????? ? dxxx6. 求擺線 ???????ttytxs i nc os1 一拱（ 0≤t≤2π）的弧長 S。 解 tdtdytdtdx cos1,s i n ???,2s i n2)c o s1(2)c o s1(s i n 22 dttdttdtttdS ???????82s i n220 ??? ? ? dttS7. 求心形線 )co s1( ??? ar 的全長，其中 a 0 是常數(shù)。 解 ,s in)( ????? ar?????????????? dadadrrdS |2c os|2)s i n()c os1()( 2222由對稱性得 aadaS 82s i n82c os22 00 ?????? ??? 8. 半徑為 R的球沉入水中 ,求得上部與水面相切 ,球的比重 與水的相同 , 問 : 將球從水中取出需做多少功 ? 解 : 建立坐標(biāo)系如圖 . 在小區(qū)間 [y, y+?y]上 , o x y 對應(yīng)球體的一小薄片 , 要提高 2R高度 , 水上的行程 : R+y, 則 dw=g (R+y)?x2(y)dy 1 ?? ???? R R dyyRyRgw ))(( 2242234)( gRdyyRgR RR ????? ??