[理學(xué)]1120罰函數(shù)法罰函數(shù)法與乘子法合訂-資料下載頁
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【正文】 ).x得： 如此繼續(xù) . 一般地 , 在第 k次迭代時 ,求解 ? ?, , 2kM in x u?()( k ) 11()21( 2 )116,631( 2 )4kkkkkkuxx u uxu????????? ? ? ????????? ???Page 44 2*.等式約束問題的乘子法 (Powell乘子法 ) ? ? ? ? ? ?211, , ( 4)2pj j jjM x f x h x? ? ? ????? ? ????Powell在 1969年與 Hestenes幾乎同時，又提出了一種類似的乘子方法： 他考慮含有兩組參數(shù)的罰函數(shù)： ,jjj u? ? ? ???在 上 式 中 ， 令 ， 則 得 到? ? ? ? ? ? ? ?22212,2pjjjjjuuM x f x h x h x????????????? ? ? ????????? ? ? ? ? ? 221 1 11[]22p p pj j j jj j jf x u h x h x u? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?211( , , )2pjjxu u????? ? ?Page 45 可見， Powell法是一種比 Hestenes的方法更廣泛一些的乘子法，但兩者的出發(fā)點不同。 Powell法基于下面的事實。 定理 4： ? ?*m in. . ( ) ( ( , ) ) , 1 , 2, ,jjfxs t h x h x j p????? ????* ( ) ( , , )x M x? ? ? ? ? ?設(shè) 對 某 兩 組 參 數(shù) 和 ， 記 , 是的 無 約 束 極 小 點 ，.的 極 小 點* ()x ??則 , 也 是 問 題Page 46 *( ( , ) ) 0 , 1 , 2 , , ( 5 )jh x j p?? ??由定理 4可知 , * ( , )x ??則 這 個 點 就 是 問 題 (1) 的 最 優(yōu) 解,lim ( ( , ) ) 0 , 1 , 2 , ,kkkkjk h x j p????? ????為 此 ， 希 望 產(chǎn) 生 一 系 列 參 數(shù) 值 , 使 ?對 固 定 的 充 分 大 的 , 可 采 用 下 述 公 式 來 調(diào) 整 1 ( ( , ) ) , 1 , 2, ,k k kj j jh x j p? ? ? ?? ? ? ?.k??若 收 斂 太 慢 或 不 收 斂 ， 可 增 大??若 能 找 到 兩 組 參 數(shù) 和 ， 使, ( , ) ( , )k k k kk x x? ? ? ????則 當(dāng) 時 就 使 得 的 極 限滿 足 （ 5 ） 式 . 明 見Page 47 3. 不等式約束的乘子法 (Rockafellar的乘子法 ) ? ?m i n nf x x R?? ?. . 0 1 , 2 ,is t g x i m??對不等式約束問題 ,引進(jìn)輔助變量 ( 1 , 2 , ) ,iy i m?上面的問題轉(zhuǎn)化為下面等式約束問題 , ? ?m i n nf x x R?? ? 2. . 0 , 1 , 2 ,iis t g x y i m? ? ?接下來定義其增廣 Lagrange函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? 22211, , , ( ) ( )2mmi i i i iiix y f x g x y g x y?? ? ? ???? ? ? ? ???并求其極小 . Page 48 代入增廣的目標(biāo)函數(shù)，有： ? ? ? ? ? ? ? ? 22211, , , ( ) ( )2mmi i i i iiix y f x g x y g x y?? ? ? ???? ? ? ? ???? ?2 1 mi n 0 , ( ) , 1 , 2 , ,i i iy g x i m??? ??? ? ???由于 iy的取值必滿足： 2iy是引入的變量，可以證明，為使 ? 取得極小， ? ? ? ? ? ?? ?2 211, , mi n 0 , ( )2mi i iix f x g x? ? ? ? ? ?????? ? ? ????接下來就可用求解等式約束情況的方法進(jìn)行求解了 . 相應(yīng)地 , 乘子的迭代公式為： ? ?? ?1 min 0 , , 1 , 2 , ,k k ki i ig x i m? ? ?? ? ? ?Page 49 4. 一般約束情形的乘子法 對于一般約束問題 ,只要綜合等式約束和不等式約束的情況寫出增廣目標(biāo)函數(shù)來求解即可 . 其算法稱為 PHR算法 . mi n ( ) ,. . ( ) 0 , 1 , , ( ) 0, 1 , ,nijf x x Rs t g x i mh x j l? ?????? ???Page 50 構(gòu)造廣義 lagrange函數(shù)： 其中 給定初始條件后，求解 ? ? ? ? ? ?? ?2212111, , , mi n 0 , ( )2( ) ( )2mi i iippj j jjjx u f x g xu h x h x? ? ? ? ? ????????? ? ? ????????? ?, , ,kkM in x u? ? ?,kku?? ?? ?11m in 0, , 1 , 2, ,( ) , 1 , 2, ,k k ki i ik k ki i jg x i mu u h x j l? ? ????? ? ?? ? ?按下面指定的公式修正： Page 51 PHR算法 Step2: 以 1kx ?為初始點求無約束問題： ? ?min , , ,kk kxu? ? ? 得 .kxStep3: 若 ? ? ,khx ??則 * ,kxx? 停 ； 否則轉(zhuǎn) Step4. Step4: 若 ? ?? ?1 ,kkhxhx?? ? 說明收斂速度還不錯，轉(zhuǎn) Step5。 否則，令 1 ,kkC??? ?轉(zhuǎn) Step5。 Step5: 令 ? ?? ? ? ?11min 0 , , ,k k k k k kkkg x u u h x? ? ? ???? ? ? ?k=k+1,轉(zhuǎn) Step2。 Step1: 給出初始值 0 1 11, , ,xu??及放大系數(shù) ,0,1 ?? ?C? ?0 , 1 , 1 .k? ?? 令衡量標(biāo)準(zhǔn) Page 52
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