[理學]1120罰函數(shù)法罰函數(shù)法與乘子法合訂-在線瀏覽
2025-03-08 14:32本頁面
【正文】 x r B x P xr? ? ?Page 31 構造新的輔助函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?1, kkkF x r f x r B x P xr? ? ?? ? ? ? ? ?1111 , ( ) 0kiiI iB x I i g xgx ??? ? ? ??其中： ? ? ? ? ? ? ? ?22 2 121, ( ) 0pki j ii I jP x g x h x I i g x ???? ? ? ???? ?12 1 , 2 , , .I I m?0 l i m =0 .k k krr ??? 為 遞 減 數(shù) 列 ， 且Page 32 2. 算法實現(xiàn) Step2: 以 1kx ?為初始點求無約束問題： ? ? ? ? ? ? ? ?1, kkkM i n F x r f x r B x P xr? ? ?得最優(yōu)解 .kxStep3: 若 ? ? ? ?121,kkkkr B x P xr????則 * ,kxx?停 ； 否則轉 Step4 Step4: 令 1 ,kkr c r? ? ,1?? kk轉 Step2. Step1: 給出 0 ,nxR? 誤差精度 12, 0,?? ?參數(shù) 0 0,r ?縮小系數(shù) ? ?0 1 ,cc?? .1?k令 Page 33 乘子法是由 Powell和 Hestenes于 1969年彼此獨立對等式約束的優(yōu)化問題首次提出來的。 后來， D. A. Bertsekas 對乘子法做了系統(tǒng)的論述與理論分析。 Page 34 把外點罰函數(shù)與 Lagrange函數(shù)結合起來，構造出更合適的新目標函數(shù)，使得在罰因子適當大的情況下，借助于 Lagrange乘子就能逐步達到原約束問題的最優(yōu)解。 Page 35 1. 等式約束問題的乘子法 (Hestenes乘子法 ) ? ? ? ?m i n 1nf x x R?? ?. 0 , 1 , 2 , ,js t h x j p??其中 ? ?fx和 ? ?jhx二階連續(xù)可微． ? ?1 , 2 ,jp?設 puR? 為 Lagrange乘子向量， 則對應 Lagrange 函數(shù)為： ? ? ? ?1, ( )pjjjL x u f x u h x??? ?設 *x是 ? ?,L x u的極小點， *u 是最優(yōu)的乘子向量 ． 則 (1)可等價為： ? ?? ?*mi n , ( 2 ). 0, 1 , 2, ,jL x us t h x j p??Page 36 啟發(fā)： 采用外點罰函數(shù)法． ? ? ? ?? ?21211, , , ( )2( ) ( )2pjjppj j jjjx u L x u h xf x u h x h x????????????? ? ????構造： 可以證明： ?適當大時， *.x? ?*,xu??極小點是 但 *u事先是未知的，怎么辦？ 用迭代法求出 *,u以上就是乘子法的基本思想． 迭代公式為 : ? ?1k k kku u h x?? ?? .并求解 ? ?*, , .M in x u??下面考慮在求 的同時 , ? ?*,M in x u??Page 37 依據(jù)： 給定 ,k ku ?設對應的無約束問題 .kx? ?11( ) ( ) ( ) 0ppk k k k kj j k j jjjf x u h x h x h x???? ? ? ? ? ???即 ? ?,k kM in x u??的最優(yōu)解為 迭代公式為 : ? ?1k k kku u h x?? ?? .則根據(jù)最優(yōu)解的必要條件知 ? ?, , 0kkxkxu????又因 ? 適當大時， kxx??所以 ? 適當大時， ? ? ? ?1( ) ( ) 0pkkj k j jjf x u h x h x????? ? ? ? ??Page 38 對照以上兩式， 而在 處，由 KT條件得 *x有 ? ?1( ) 0pjjjf x u h x? ? ??? ? ? ??于是迭代公式取為 : ? ? 1 , 2 , ,kkj j k ju u h x j p?? ? ? ?,.? ? ? ?1( ) ( ) 0pkkj k j jjf x u h x h x????? ? ? ? ??? ?1k k kku u h x?? ?? .所以 ? 適當大時， Page 39 定理 4： ? ? ? ? ? ?211, , ( ) ( ) 32ppkkj j jjjM in x u f x u h x h x?????? ? ???設 kx 是 無 約 束 優(yōu) 化 問 題12( 1 ) , ,L a g r a n g e ( ) 0 , 1 , 2 , .k k k kjkjx u u uh x j p??的 最 優(yōu) 解 ， 則 是 的 最 優(yōu) 解 ， 且 , 為 相 應的 乘 充 要 條 件子 向 量 的 是( 1 )kx證 明 是： 設 的 最 優(yōu) 解 ，( 1 )kxx ?所 以 = 為 的 最 優(yōu) 解 。 否則，令 1 ,kkC??? ?轉 Step5。 Step1: 給出初始值 01 1,xu ?及放大系數(shù) ,0,1 ?? ?C? ?0 , 1 , 1 .k? ?? 令衡量標準 Page 42 例 5： 用乘子法求解： ? ?? ?221 2 1 212m in 2 2. 1 0f x x x x xs t h x x x? ? ?? ? ? ?解： ? ? ? ? ? ? 2221 2 1 2 1 2 1 2, , 2 2 1 12x u x x x x u x x x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定義增廣 Lagrange函數(shù)如下 取 12 , 1 .u? ? ? ?(1)( 1) 1(1)21234xxx???????? ????????????用解析法解 ? ?, 1 , 2 ,M in x? ?120:xx????????即 令 得可見 1( ) 0 ,hx 因此還需迭代下去 . Page 43 按公式修正乘子 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) 11( ) 1 242u u h x??
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