【正文】 ?? ?NNNNNNNNNNNNNN?????????????????????????2)1)(12(c o s2)1(3c o s2)1(c o s2)12(c o s23c o s2c o s2121212?????????????GDigital Image Processing 2D的 DCT對由下面兩式定義： 經(jīng) DCT變換后信號的能量將向左上角集中，因而有利于圖象數(shù)據(jù)的壓縮。 ?????? ??????? ?? ? ????? NvyNuxyxfvauavuC NxNy 2)12(c os2)12(c os),()()(),( 1010???????? ??????? ?? ? ????? NvyNuxvuCvauayxf NuNv 2)12(c os2)12(c os),()()(),( 1010??Digital Image Processing 第四節(jié) 其它可分離圖象變換 Digital Image Processing KL變換 圖像的向量表示和統(tǒng)計參數(shù) 若一幅 的圖像 在信道中傳送了 次，或一物體形成了 個波段的多光譜圖像，則會得到 幅（幀）圖像組成的圖像集合為 由于成像或傳輸過程中受到噪聲或干擾的影響，圖像中不可避免地包含有一些隨機的成份，因此對圖像可計算其統(tǒng)計特性。 1. 圖像的向量表示 對圖像集合中的每一個樣本 可以用 堆疊方式表示成 維向量： 其中的元素 : 式中 為圖像集合中的第 個樣本， 為第 幀第 行元素形成的列向量。 NN? ),( nmf LL L? ?),(,),(),(),( 21 nmfnmfnmfnmf L??),( nmfi 2Nif??????????????1,1,0,Niiiiffff? ??????????????)1,()1,()0,(,Njfjfjffiiiji ?if i jif, i jDigital Image Processing KL變換 2. 圖像的統(tǒng)計參數(shù) 圖像 向量的協(xié)方差陣定義為 式中 是 的均值向量， 表示求統(tǒng)計平均。 在 幀圖像樣本組成的集合中，可用如下兩式近似，求得 和 ： 其中，均值向量 是 維的列向量，方差向量是 維的矩陣。 f ? ?? ?? ?Tfff mfmfEC ???? ?fEm f ? f ???EL fmfC??? Liif fLm11? ?? ? TffLiTiiTfiLifif mmffLmfmfLC ??????????? ???? 1111fm 2N 22 NN ?Digital Image Processing KL變換 Cf的特征值和特征向量 1． Cf的特征值 對于 的矩陣 ，有 個標量 ， 能使 其中， 稱作矩陣 的特征值。 2． Cf的特征向量 重新排列特征值，使得 若設(shè) 是 的 維特征向量，則有 ， 因此 是一實對稱方陣，則一定存在有 個互為正交的實 特征向量 ，構(gòu)成一個 維的完備正交向量集。 22 NN ? fC 2Ni?2,2,1 Ni ??0?? IC if ?i? fC221 N??? ??? ?ib fC2Niiif bbC ?? 2,2,1 Ni ??fC 2Nib 2NDigital Image Processing KL變換 離散 KL變換及其性質(zhì) 1. 離散 KL變換 對各特征向量 進行歸一化處理后，就得到了 KL變換的變 換矩陣 。 （ 階的正交矩陣） 其中，特征向量 歸一化的過程為： ， 且有 到此，離散 KL變換可以表示為： ibA??????????????????????????????2222222 21222211121121NNNNNNTNTTaaaaaaaaaaaaA????????ib???202Njijijij bba ??? ??? ji jiaa jTi 當(dāng)， 當(dāng)0 ,1? ?fmfAg ??2NDigital Image Processing KL變換 2. 離散 KL變換的性質(zhì) （ 1） 的均值向量 為 0； （ 2） 的方差向量為： （ 3） 為對角陣： 是對角陣，其元素等于 的特征值，即： （ 4）因為 A 是正交矩陣，所以離散 KL變換是正交變換。 （ 5）由于二維 KL變換核是不可分離的，所以離散 KL變換不是可分離變換。 3. 離散 KL反變換： g gmg? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?TfTTffTTffTffTgggAACAmfmfAEAmfmfAEAmAfAmAfEmgmgEC?????????????gC fC???????????????200000000021NgC???????????fT mgAf ??gCDigital Image Processing KL變換 圖像的主分量表示和降維重建 離散 KL變換矩陣 是按特征值 大小排列的相應(yīng)特征向量 組成的 變換核矩陣，由于能量主要集中于特征值大的系數(shù)中，如果只用特征值較大 的前 個分量來近似表示 ，即丟掉對應(yīng)于特征值較小的系數(shù)，則對圖像 質(zhì)量不會有大的影響。 用前 個最大的特征值對應(yīng)的 個特征向量構(gòu)成新的變換矩陣 。 作一新的變換 ： 則可由 維向量 （稱為主分量）代替原來的 維向量 。上式稱為圖 像的主分量表示。 A ? ak fkk kA212TTkTk kNaaAa????????????????? ?fkk mfAg ??k kg 2N gDigital Image Processing KL變換 相對于 其維數(shù)減少了 維，再作反變換，就得到了原圖像 的降維重建值 ： 可以證明， 和 之間的均方誤差是： 上式表明，如果 （即如果所有的特征向量都用于變換），則誤差為零。而如果選用 個具有最大特征值的特征向量組成變換矩陣 ，則從圖像的降維重建和均方誤差降至最小來說，離散 KL變換是最佳的。由于這種使用特征向量對應(yīng)的最大特征值的思想， KL變換也稱為主分量變換。 下圖給出了利用不同的 個最大特征值對應(yīng)的特征向量進行降維重建后的估值圖像，從中看出，當(dāng) 時，重建圖像的效果已經(jīng)很好。 kg g ? ?kN ?2 ff? fkTk mgAf ???f f?221 1 1N k Nm s i i ii i i ke ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?2Nk ?k kA（ a）前 8個特征向量 （ b）前 16個特征向量 （ c）前 32個特征向量 （ d）前 64個特征向量 k64?kDigital Image Processing 本章小結(jié) 變換作為信號處理的一種基本方法，已廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，在圖像處理中的許多方法和技術(shù)，包括圖像增強、圖像恢復(fù)、壓縮編碼等都是以變換為基礎(chǔ)的。 本章主要介紹了圖像的幾何變換，離散傅立葉變換、離散余弦變換、離散沃爾什 哈達瑪變換等可分離正交變換，以及不滿足可分離但是正交變換的 KL變換。當(dāng)前廣泛使用的小波變換放在第 6章介紹。 Digital Image Processing 本章要求及作業(yè) ▓ 本章要求 1. 了解圖像的幾何變換； 2. 了解圖像的離散傅立葉變換，掌握其主要性質(zhì)； 3. 了解圖像變換的一般表示形式； 4. 掌握圖像離散余弦變換的原理 ； 5. 掌握圖像的離散沃爾什－哈達瑪變換； 6. 了解 KL變換的原理。 ▓ 本章作業(yè) 1. 思考： ， ， ， ， 。 2. 作業(yè)： ， （ 1） ， （ 2） ， 。