【正文】 MNP S N R (411) 信號(hào) 的信噪比越高，原始信號(hào)和去噪信號(hào)的均方根誤差越小，去噪信號(hào)就越接近原信號(hào)，去噪的效果也就越好。 基于 MATLAB 的小波去噪函數(shù)簡(jiǎn)介 常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。這是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡(jiǎn)單，就是對(duì)小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計(jì)方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值 函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺(jué)失真等現(xiàn)象，而軟閾值處理相對(duì)較光滑，但可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。 小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲；相反如果閾值太大，重要圖像特征有 可能 被濾掉，引起偏差。從直觀上講 ,對(duì)于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方面。 （ 1） 閾值獲取 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有 ddencmp、 select、 wbmpen 和 wdcbm2。這里主要介紹函數(shù) ddencmp。 函數(shù) ddencmp 的功能是獲取降噪或壓縮的默認(rèn)值。該函數(shù)是降噪和壓縮的導(dǎo)向函數(shù)，它給出一維或二維信號(hào)使用小波或小波包進(jìn)行降噪和壓縮一般過(guò)程的所有默認(rèn)值。 其語(yǔ)法格式為 [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（ IN1， IN2， X） [THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（ IN1，‘ wv’ ， X） [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（ IN1，‘ wp’ ， X） （ 2） 閾值降噪 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有 wden、 wdencmp、 wpdencmp、 wthresh、 wpthcoef 和 wthcoef2。這里主要介紹函數(shù) wdencmp。 其語(yǔ)法格式為 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。gbl39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH,KEEPAPP) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,C,L,39。wname39。,N,THR,SORH) 函數(shù) wdencmp 的功能是使用小波進(jìn)行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪的導(dǎo)向函數(shù)。它使用小波對(duì)信號(hào)或圖像執(zhí)行降噪過(guò)程。 wname 是所用的小波函數(shù)。 Gbl（ global）表示每層都采用同一個(gè)閾值進(jìn)行處理。 lvd 表示每層用不同的閾值進(jìn)行處理。 N 表示小波分解的層數(shù)。 THR 為閾值向量，長(zhǎng)度為 N。 SORH 表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為 ‘ s’ 和 ‘ h’ ）。參數(shù) KEEPAPP 取值為 1，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值 量化。 XC 是降噪后的信號(hào)， [CXC,LXC]是 XC 的小波分解結(jié)構(gòu)，PHRF0 和 PERFL2 是恢復(fù)和壓縮 2L 的范數(shù)百分比。如果 [C， L]是 x 的小波分解結(jié)構(gòu)，則 PERFL2=100?（ CXC 向量的范數(shù) /C 向量的范數(shù)） 2 ； 如果 X 是一維信號(hào)，小波 wname是一個(gè)正交小波，則 PERFL2=100 22 XXC 小波去噪對(duì)比試驗(yàn) 接下來(lái)按照上述小波閾值變換在信 號(hào)去噪中的算法及小波閾值函數(shù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，仿真程序采用 MATLAB 語(yǔ)言編寫。該節(jié)首先產(chǎn)生一個(gè)實(shí)驗(yàn)信號(hào)，然后對(duì)小波去噪時(shí)各種參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了詳細(xì)的對(duì)比研究，最后用 MATLAB 語(yǔ)言對(duì)小波去噪進(jìn)行仿真。 小波閾值去噪流程如圖 42 所示，該方法的核心步驟是小波去噪閾值選取。 s ( t ) 小波變換 閾值處理 信號(hào)重構(gòu) s ( t ) 42 小波閾值去噪流程圖 小波閾值去噪方法除了閾值函數(shù)的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是對(duì)閾值的具體估計(jì)。如果閾值較小，去噪后的圖像信號(hào)與輸入比較接近，但是殘留了較多噪聲。若閾值較大，則得到較多為零的小波系數(shù)，對(duì)于軟閾值策略重建圖像變得模糊，硬閾值 策略下的重建圖像包含較多的偽邊緣。在小波域閾值去噪中，閾值的選取直接影響濾波效果。 1992年 Donoho 和 Johnstone 給出了小波閾值法的 )ln(2 Nthr ?? 并且從漸進(jìn)意義上證明了 WaveShrink 的最優(yōu)性，與此同時(shí) Krim 等人也得到了相同的閾值公式，此后小波閾值法被用到各種去噪應(yīng)用中，并取得了很大的成功，對(duì)高斯噪聲尤其如此。但是通用閾值有很嚴(yán)重的“過(guò)扼殺”小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對(duì)閾值的選擇進(jìn)行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法。 用 Matlab 進(jìn)行小波降噪時(shí) ,閾 值處理方法有 3 種： （ 1）默認(rèn)閾值消噪處理。該方法首先要得到信號(hào)的默認(rèn)閾值 ,然后利用該閾值設(shè)置的門限對(duì)噪聲信號(hào)進(jìn)行消噪處理。 （ 2）強(qiáng)制消噪處理。該方法是將小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部置為 0所有高頻部分 ,然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波重構(gòu)。這種方法比較簡(jiǎn)單 ,且消噪后的信號(hào)比較平滑 ,但是容易丟失信號(hào)中的有用成分。 （ 3）給定閾值消噪處理。在實(shí)際的消噪過(guò)程中，閾值往往可通過(guò)經(jīng)驗(yàn)獲得，且這種閾值比默認(rèn)值的可信度高。 目前使用的閾值分為全局閾值和局部閾值兩類。全局閾值對(duì)各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)的小波系數(shù)都是統(tǒng)一 的 。局部閾值則是根據(jù)當(dāng)前系數(shù)周圍的局部情況來(lái)確定合適的閾值，更具有靈活性。下面介紹幾種經(jīng)典的閾值估計(jì)方法。 (1) VisuShrink 閾值 也稱為通用閾值，是 Donoho 和 Johnstone 提出的，是最早的小波閾值萎縮去噪方法。 VisuShrink 閾值方法是針對(duì)多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)得出的結(jié)論，即大于該閾值的系數(shù)含有噪聲信號(hào)的概率趨于零，是基于最小最大估計(jì)得出的最優(yōu)閾值。閾值的選擇滿足 Nn ln2?? ? (412) 其中 n? 是噪聲的均方差， N 為信號(hào)的長(zhǎng)度尺寸。這個(gè)閾值由于與信號(hào)的長(zhǎng)度尺寸對(duì)數(shù)的平方根成正比，所以當(dāng) N 較大時(shí)，閾值趨向于將所有小波系數(shù)置零，此時(shí)小波濾噪器退化為低通濾波器。使用通用閾值會(huì)對(duì)一些邊緣小波系數(shù)產(chǎn)生過(guò)扼殺，從而造成去噪圖像的模糊，使得重建圖像誤差增大。 這個(gè)閾值公式還要有一個(gè)先驗(yàn)條件，就是必須知道噪聲的方差，而對(duì)于一幅具體的圖像來(lái)說(shuō)，我們不可能預(yù)先知道噪聲的方差，因此必須對(duì)噪聲的方差采用第一層細(xì)節(jié)信號(hào)來(lái)估計(jì)噪聲的方差。 ? ?1, s ubbandH HYYMe di anijij??， (第一層細(xì)節(jié)信號(hào) ) (413) 式中的分子部分表示對(duì)分解出的第一層小波系數(shù)取絕對(duì)值后再取中值。 通用閾值方法雖然有很好的理論支持，但實(shí)際應(yīng)用效果并不好，其根本原因在于這一準(zhǔn)則是用漸進(jìn)分析的手段推出來(lái)的，但對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，信號(hào)或圖像的復(fù)雜性相對(duì)于樣本尺寸是很重要的。 (2) Sureshrink 閾值 也稱為 Stein 無(wú)偏風(fēng)險(xiǎn)閾值，是一種基于 Stein 的無(wú)偏似然估計(jì) (Stein39。s Unbiased Risk Estimation， SURE)準(zhǔn)則的自適應(yīng)閾值選擇，該準(zhǔn)則是均方差 準(zhǔn)則的無(wú)偏估計(jì)，它是專門針對(duì)軟閾值值函數(shù)得出的結(jié)論，且 Sureshrink 閉值趨近于理想閾值。對(duì)一個(gè)給定的閾值 ? ，得到它的似然估，再將非似然 ? 最小化，就得到所選的閾值，它是一種軟件估計(jì)器。 Sureshrink 閾值的具體計(jì)算過(guò)程如下： ①求取信號(hào)的長(zhǎng)度 N； ②將某一層的小波系數(shù)的平方由小到大排列，得到一個(gè)新的向量 ? ?,......, 21 xxX ? ，其中 ??? 21 xx ， N 為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)； ③計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)向量 ? ?,......, 21 rrR ? ，其中 N xxiNiNrik kii ??????? 1)(2 (414) ④以 R 中的最小元素 Br 作為風(fēng)險(xiǎn)值，由 Br 的相應(yīng)位置 B 求出對(duì)應(yīng)的 Bx 則 ，SureShrink 閉值為 ? ?21Bn x?? ?。 (3) Heursure 閾 值 也稱啟發(fā)式 Sure 閾值是前兩種閾值的綜合，所選擇的是最優(yōu)預(yù)測(cè)變量閾值。如果信噪比很低， Sure 估計(jì)就有很大的噪聲，在這種情況下，就需要采用固定閾值形式Nn ln2?? ? ； 而在高信噪比情況下，基于 sure 產(chǎn)生的閾值抑制噪聲的效果不明顯，此時(shí)，利用啟發(fā)函數(shù)自動(dòng)在前兩種閾值選擇中選取一個(gè)較小者作為閾值的確定方法如下 ： 首先求出 DJ 閾值 Nnv ln2?? ? 和 Sure 閾值 ? ?21Bns X?? ? 接下來(lái)令 N NwNk k???????? ??12? (415) ? ?212 23logNN?? (416) 則 Heursure 閾值表現(xiàn)為 ? ????? ???? ??? svv ,min{ (417) (4) Minmax 閾值 它是按照極大極小準(zhǔn)則 (Minmax準(zhǔn)則 )來(lái)選取閾值，采用的 是一種固定的閾 值，它計(jì)器。因?yàn)楸蝗ピ氲男盘?hào)可以看作與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相 似，這種極值估計(jì)器可以在一個(gè)給定的函數(shù)中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。具體的閾值選取規(guī)則為： ? ?320 32l { 2 ???? nnn?? (418) 其中 n 為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)， ? 為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)信號(hào)只有少量的高頻系數(shù)位于噪聲范圍之內(nèi)時(shí)， Minmax 和 SureShrink零，不容易丟失真實(shí)信號(hào)成分，因此，在信號(hào)的高頻信息有很少一部分在噪聲范圍內(nèi)時(shí)，這兩種閾值選取規(guī)則非常有用，可以將弱小的信號(hào)提取出來(lái)。 一維信號(hào)小波閾值去噪仿真： 在 MATLAB 的 WAVE 工具箱中，具有一維離散小波的多種小波變換函數(shù)。選取r=205541586，在上述信號(hào)中加入高斯白噪聲，設(shè)置信噪比為 snr=3,產(chǎn)生有噪信號(hào)，利用小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，然后分別通過(guò) heursure 閾值信號(hào)消噪處理， rigrsure 閾值信號(hào)消噪處理， sqtwolog 閾值信號(hào)消噪處理，以及 minimaxi 閾值信號(hào)消噪處理，得到閾值消噪處理后的信號(hào)。 得到去噪前后現(xiàn)象的比較如圖 43所示，從圖中可以看出小波閾值去噪法的效果比較明顯（所得信號(hào)越接近于初始信號(hào)，去噪效果越好）。 500 1000 1500 2022 1 0010原始信號(hào)500 1000 1500 2022 1 0010有噪信號(hào)500 1000 1500 2022 1 0010h e u r s u r e 閾值消噪后的信號(hào)500 1000 1500 2022 1 0010r i g r s u r e 閾值消噪后處理的信號(hào)500 1000 1500 2022 1 0010s q t w o l o g 閾值消噪后處理的信號(hào)500 1000 1500 2022 1 0010m i n i m a x i 閾值消噪后處理的信號(hào) 43 小波閾值法去噪前后現(xiàn)象的對(duì)比 二維圖像小波閾值去噪仿真 過(guò)程 ： （ 1） 圖像的小波分解 裝入原始圖像，設(shè)置信噪比和方差后得到含噪圖像；圖像的小波分解根據(jù) Mallat的塔式分解理論，圖像經(jīng)過(guò)一級(jí)小波變換后被分解成為四個(gè)頻帶：水平 (HL)、垂直 (LH)、對(duì)角線 (HH)三個(gè)高頻部分和一個(gè)低頻 (LL)部分。有時(shí)考慮到經(jīng)小波分解后 的低頻系數(shù)部分仍含有一部分噪聲，就可以對(duì)低頻 (LL)部分進(jìn)行二級(jí)小波分解。基于圖像和噪聲進(jìn)行小波變換后具有不同的特性，信號(hào)中的有用信息主要集中在低頻區(qū)（ LL），而噪聲分布在所有小波系數(shù)中且主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，經(jīng)過(guò)小波變換后圖像細(xì)節(jié)也主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，簡(jiǎn)單地把高頻區(qū)去除時(shí)會(huì)失去許多重要的細(xì)節(jié)信息，為了解決這一問(wèn)題，可以利用噪聲經(jīng)小波分解后系數(shù)幅值都比較小的特點(diǎn)，設(shè)置不同的閾值過(guò)濾掉噪聲而達(dá)到去噪的目的。 （ 2） 小波基的選取 小波基的選取在對(duì)小波系數(shù)作量化或閾值的過(guò)程中，不可避免的要引入誤差，而小波的正則性對(duì)這個(gè)誤差的 影響是比較大的。從圖像處理的角度來(lái)看，具有相同能量大小的光滑誤差比非正則誤差在視覺(jué)上有更好的容忍度，所以對(duì)小波基要求一定的正則性，以求獲得更好的重構(gòu)圖像的質(zhì)量。 （ 3） 分解層數(shù)的確定 對(duì)一幅圖像來(lái)說(shuō)，其高頻信息反映的是圖像的細(xì)節(jié)變化，表示邊緣、輪廓、紋理以及隨機(jī)噪聲引起的灰度突變。進(jìn)行小波分解選取的層數(shù)過(guò)高會(huì)導(dǎo)致邊