【正文】 MNP S N R (411) 信號 的信噪比越高，原始信號和去噪信號的均方根誤差越小，去噪信號就越接近原信號，去噪的效果也就越好。 基于 MATLAB 的小波去噪函數(shù)簡介 常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。這是一種實現(xiàn)簡單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值 函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應等視覺失真等現(xiàn)象，而軟閾值處理相對較光滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。 小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個關鍵因素是閾值的具體估計。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲；相反如果閾值太大，重要圖像特征有 可能 被濾掉，引起偏差。從直觀上講 ,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 MATLAB 中實現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實現(xiàn)兩個方面。 （ 1） 閾值獲取 MATLAB 中實現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有 ddencmp、 select、 wbmpen 和 wdcbm2。這里主要介紹函數(shù) ddencmp。 函數(shù) ddencmp 的功能是獲取降噪或壓縮的默認值。該函數(shù)是降噪和壓縮的導向函數(shù)，它給出一維或二維信號使用小波或小波包進行降噪和壓縮一般過程的所有默認值。 其語法格式為 [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（ IN1， IN2， X） [THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（ IN1，‘ wv’ ， X） [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（ IN1，‘ wp’ ， X） （ 2） 閾值降噪 MATLAB 中實現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有 wden、 wdencmp、 wpdencmp、 wthresh、 wpthcoef 和 wthcoef2。這里主要介紹函數(shù) wdencmp。 其語法格式為 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。gbl39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH,KEEPAPP) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,C,L,39。wname39。,N,THR,SORH) 函數(shù) wdencmp 的功能是使用小波進行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪的導向函數(shù)。它使用小波對信號或圖像執(zhí)行降噪過程。 wname 是所用的小波函數(shù)。 Gbl（ global）表示每層都采用同一個閾值進行處理。 lvd 表示每層用不同的閾值進行處理。 N 表示小波分解的層數(shù)。 THR 為閾值向量，長度為 N。 SORH 表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為 ‘ s’ 和 ‘ h’ ）。參數(shù) KEEPAPP 取值為 1，則低頻系數(shù)不進行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進行閾值 量化。 XC 是降噪后的信號， [CXC,LXC]是 XC 的小波分解結構，PHRF0 和 PERFL2 是恢復和壓縮 2L 的范數(shù)百分比。如果 [C， L]是 x 的小波分解結構，則 PERFL2=100?（ CXC 向量的范數(shù) /C 向量的范數(shù)） 2 ； 如果 X 是一維信號，小波 wname是一個正交小波，則 PERFL2=100 22 XXC 小波去噪對比試驗 接下來按照上述小波閾值變換在信 號去噪中的算法及小波閾值函數(shù)進行計算機仿真，仿真程序采用 MATLAB 語言編寫。該節(jié)首先產(chǎn)生一個實驗信號，然后對小波去噪時各種參數(shù)設置進行了詳細的對比研究，最后用 MATLAB 語言對小波去噪進行仿真。 小波閾值去噪流程如圖 42 所示，該方法的核心步驟是小波去噪閾值選取。 s ( t ) 小波變換 閾值處理 信號重構 s ( t ) 42 小波閾值去噪流程圖 小波閾值去噪方法除了閾值函數(shù)的選取，另一個關鍵因素是對閾值的具體估計。如果閾值較小，去噪后的圖像信號與輸入比較接近，但是殘留了較多噪聲。若閾值較大，則得到較多為零的小波系數(shù)，對于軟閾值策略重建圖像變得模糊，硬閾值 策略下的重建圖像包含較多的偽邊緣。在小波域閾值去噪中，閾值的選取直接影響濾波效果。 1992年 Donoho 和 Johnstone 給出了小波閾值法的 )ln(2 Nthr ?? 并且從漸進意義上證明了 WaveShrink 的最優(yōu)性，與此同時 Krim 等人也得到了相同的閾值公式，此后小波閾值法被用到各種去噪應用中，并取得了很大的成功，對高斯噪聲尤其如此。但是通用閾值有很嚴重的“過扼殺”小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對閾值的選擇進行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法。 用 Matlab 進行小波降噪時 ,閾 值處理方法有 3 種： （ 1）默認閾值消噪處理。該方法首先要得到信號的默認閾值 ,然后利用該閾值設置的門限對噪聲信號進行消噪處理。 （ 2）強制消噪處理。該方法是將小波分解結構中的高頻系數(shù)全部置為 0所有高頻部分 ,然后對信號進行小波重構。這種方法比較簡單 ,且消噪后的信號比較平滑 ,但是容易丟失信號中的有用成分。 （ 3）給定閾值消噪處理。在實際的消噪過程中，閾值往往可通過經(jīng)驗獲得，且這種閾值比默認值的可信度高。 目前使用的閾值分為全局閾值和局部閾值兩類。全局閾值對各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)的小波系數(shù)都是統(tǒng)一 的 。局部閾值則是根據(jù)當前系數(shù)周圍的局部情況來確定合適的閾值，更具有靈活性。下面介紹幾種經(jīng)典的閾值估計方法。 (1) VisuShrink 閾值 也稱為通用閾值，是 Donoho 和 Johnstone 提出的，是最早的小波閾值萎縮去噪方法。 VisuShrink 閾值方法是針對多維獨立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨于無窮時得出的結論，即大于該閾值的系數(shù)含有噪聲信號的概率趨于零，是基于最小最大估計得出的最優(yōu)閾值。閾值的選擇滿足 Nn ln2?? ? (412) 其中 n? 是噪聲的均方差， N 為信號的長度尺寸。這個閾值由于與信號的長度尺寸對數(shù)的平方根成正比，所以當 N 較大時，閾值趨向于將所有小波系數(shù)置零，此時小波濾噪器退化為低通濾波器。使用通用閾值會對一些邊緣小波系數(shù)產(chǎn)生過扼殺，從而造成去噪圖像的模糊，使得重建圖像誤差增大。 這個閾值公式還要有一個先驗條件，就是必須知道噪聲的方差，而對于一幅具體的圖像來說，我們不可能預先知道噪聲的方差，因此必須對噪聲的方差采用第一層細節(jié)信號來估計噪聲的方差。 ? ?1, s ubbandH HYYMe di anijij??， (第一層細節(jié)信號 ) (413) 式中的分子部分表示對分解出的第一層小波系數(shù)取絕對值后再取中值。 通用閾值方法雖然有很好的理論支持，但實際應用效果并不好，其根本原因在于這一準則是用漸進分析的手段推出來的，但對于實際問題，信號或圖像的復雜性相對于樣本尺寸是很重要的。 (2) Sureshrink 閾值 也稱為 Stein 無偏風險閾值，是一種基于 Stein 的無偏似然估計 (Stein39。s Unbiased Risk Estimation， SURE)準則的自適應閾值選擇，該準則是均方差 準則的無偏估計，它是專門針對軟閾值值函數(shù)得出的結論，且 Sureshrink 閉值趨近于理想閾值。對一個給定的閾值 ? ，得到它的似然估，再將非似然 ? 最小化，就得到所選的閾值，它是一種軟件估計器。 Sureshrink 閾值的具體計算過程如下： ①求取信號的長度 N； ②將某一層的小波系數(shù)的平方由小到大排列，得到一個新的向量 ? ?,......, 21 xxX ? ，其中 ??? 21 xx ， N 為小波系數(shù)的個數(shù)； ③計算風險向量 ? ?,......, 21 rrR ? ，其中 N xxiNiNrik kii ??????? 1)(2 (414) ④以 R 中的最小元素 Br 作為風險值，由 Br 的相應位置 B 求出對應的 Bx 則 ，SureShrink 閉值為 ? ?21Bn x?? ?。 (3) Heursure 閾 值 也稱啟發(fā)式 Sure 閾值是前兩種閾值的綜合，所選擇的是最優(yōu)預測變量閾值。如果信噪比很低， Sure 估計就有很大的噪聲，在這種情況下，就需要采用固定閾值形式Nn ln2?? ? ； 而在高信噪比情況下，基于 sure 產(chǎn)生的閾值抑制噪聲的效果不明顯，此時，利用啟發(fā)函數(shù)自動在前兩種閾值選擇中選取一個較小者作為閾值的確定方法如下 ： 首先求出 DJ 閾值 Nnv ln2?? ? 和 Sure 閾值 ? ?21Bns X?? ? 接下來令 N NwNk k???????? ??12? (415) ? ?212 23logNN?? (416) 則 Heursure 閾值表現(xiàn)為 ? ????? ???? ??? svv ,min{ (417) (4) Minmax 閾值 它是按照極大極小準則 (Minmax準則 )來選取閾值，采用的 是一種固定的閾 值，它計器。因為被去噪的信號可以看作與未知回歸函數(shù)的估計式相 似，這種極值估計器可以在一個給定的函數(shù)中實現(xiàn)最大均方誤差最小化。具體的閾值選取規(guī)則為： ? ?320 32l { 2 ???? nnn?? (418) 其中 n 為小波系數(shù)的個數(shù)， ? 為噪聲的標準差。當信號只有少量的高頻系數(shù)位于噪聲范圍之內(nèi)時， Minmax 和 SureShrink零，不容易丟失真實信號成分，因此，在信號的高頻信息有很少一部分在噪聲范圍內(nèi)時，這兩種閾值選取規(guī)則非常有用，可以將弱小的信號提取出來。 一維信號小波閾值去噪仿真： 在 MATLAB 的 WAVE 工具箱中，具有一維離散小波的多種小波變換函數(shù)。選取r=205541586，在上述信號中加入高斯白噪聲，設置信噪比為 snr=3,產(chǎn)生有噪信號，利用小波對信號進行分解，然后分別通過 heursure 閾值信號消噪處理， rigrsure 閾值信號消噪處理， sqtwolog 閾值信號消噪處理，以及 minimaxi 閾值信號消噪處理，得到閾值消噪處理后的信號。 得到去噪前后現(xiàn)象的比較如圖 43所示，從圖中可以看出小波閾值去噪法的效果比較明顯（所得信號越接近于初始信號，去噪效果越好）。 500 1000 1500 2022 1 0010原始信號500 1000 1500 2022 1 0010有噪信號500 1000 1500 2022 1 0010h e u r s u r e 閾值消噪后的信號500 1000 1500 2022 1 0010r i g r s u r e 閾值消噪后處理的信號500 1000 1500 2022 1 0010s q t w o l o g 閾值消噪后處理的信號500 1000 1500 2022 1 0010m i n i m a x i 閾值消噪后處理的信號 43 小波閾值法去噪前后現(xiàn)象的對比 二維圖像小波閾值去噪仿真 過程 ： （ 1） 圖像的小波分解 裝入原始圖像，設置信噪比和方差后得到含噪圖像；圖像的小波分解根據(jù) Mallat的塔式分解理論，圖像經(jīng)過一級小波變換后被分解成為四個頻帶：水平 (HL)、垂直 (LH)、對角線 (HH)三個高頻部分和一個低頻 (LL)部分。有時考慮到經(jīng)小波分解后 的低頻系數(shù)部分仍含有一部分噪聲，就可以對低頻 (LL)部分進行二級小波分解。基于圖像和噪聲進行小波變換后具有不同的特性，信號中的有用信息主要集中在低頻區(qū)（ LL），而噪聲分布在所有小波系數(shù)中且主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，經(jīng)過小波變換后圖像細節(jié)也主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，簡單地把高頻區(qū)去除時會失去許多重要的細節(jié)信息，為了解決這一問題，可以利用噪聲經(jīng)小波分解后系數(shù)幅值都比較小的特點，設置不同的閾值過濾掉噪聲而達到去噪的目的。 （ 2） 小波基的選取 小波基的選取在對小波系數(shù)作量化或閾值的過程中，不可避免的要引入誤差，而小波的正則性對這個誤差的 影響是比較大的。從圖像處理的角度來看，具有相同能量大小的光滑誤差比非正則誤差在視覺上有更好的容忍度，所以對小波基要求一定的正則性，以求獲得更好的重構圖像的質(zhì)量。 （ 3） 分解層數(shù)的確定 對一幅圖像來說，其高頻信息反映的是圖像的細節(jié)變化，表示邊緣、輪廓、紋理以及隨機噪聲引起的灰度突變。進行小波分解選取的層數(shù)過高會導致邊