【正文】 的期望次數(shù)小于 5。 – 步驟一： 虛無假設(shè)及對(duì)立假設(shè)為 H0：所關(guān)注的變 量 為某特定分布。 Ha：所關(guān)注的變 量 并非為某特定分布。 146 – 步驟二 ： 以 E=np 計(jì)算，所關(guān)注變 量 各可能值之期望次數(shù)。此處的 n是指樣本大小， p則是在虛無假設(shè)中所提供的相對(duì)次數(shù)（或機(jī)率）。 – 步驟三： 判定期望次數(shù)是否符合假設(shè) 1與假設(shè) 2。若不是，則這個(gè)方法不能使用。 – 步驟四： 訣定顯著水帄 α。 147 – 步驟五 ： 計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值： 此處的 O及 E，分別指觀察次數(shù)與期望次數(shù)。 – 步驟六： 臨界值是當(dāng)自由度 df為 k1c的 ，此處的k是所關(guān)注變 量 可取的值數(shù)量（組數(shù)）。使用表 8找出臨界值。 ? ??????? 22?2??148 – 步驟七 ： 若檢 驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕區(qū)內(nèi)，則拒絕H0；反之，則否。 – 步驟八： 解釋假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果。 149 3 列聯(lián)表；關(guān)聯(lián)性 Contingency Tables。 Association 150 ? 列聯(lián)表 （ contingency table） – 列聯(lián)表即為整理 bivariate data的次數(shù)分布 151 152 ? 關(guān)聯(lián)性 （ Association） – 當(dāng)兩個(gè)變 量 有關(guān)聯(lián)性時(shí)，其中一個(gè)變 量 固定時(shí)另一變 量 的條件分布 （ conditional distribution） 不相同。 ? Conditional distribution vs. marginal distribution) – 兩個(gè)變 量 無關(guān)聯(lián)表示它們?cè)诮y(tǒng)計(jì)上獨(dú)立 （ statistically independent） 153 ? Expected frequency P90 如果兩個(gè)變量獨(dú)立 , nrncnrE ???????? ??154 ? χ2獨(dú)立性 檢 驗(yàn) 中 ， χ2值的分布 – χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)為： – 當(dāng)虛無假設(shè)為真時(shí)，趨近于 χ2分布。自由度的值為(r1)(c1)，此處的 r與 c的值，是所關(guān)注的兩個(gè)變量中，可能的值之?dāng)?shù)量。 ? ??????? 22?155 ? χ2獨(dú)立性檢驗(yàn) （「臨界值」法） （ The ChiSquare Independence Test（ CriticalValue Approach ）） – 假設(shè)： ? 所有的期望次數(shù)大于或等于 1。 ? 最多有 20%的期望次數(shù)小于 5。 – 步驟一： 虛無假設(shè)及對(duì)立假設(shè)為 H0：所關(guān)注的兩個(gè)變 量 沒有關(guān)聯(lián)性。 Ha：所關(guān)注的兩個(gè)變 量 有關(guān)聯(lián)性。 156 – 步驟二 ： ? 以 的公式，計(jì)算出期望次數(shù)。此處的 R為 行的總和， C是 列 的總和， n則是指樣本大小。 ? 在列聯(lián)表裡，在每個(gè)觀察次數(shù)下面，填入它所對(duì)應(yīng)的期望次數(shù)。 – 步驟三： 判定期望次數(shù)是否符合假設(shè) 1與假設(shè) 2。若不是，則這個(gè)方法不能使用。 – 步驟四： 訣定顯著水帄 α。 nCR ???157 – 步驟五 ： 計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值： 此處的 O及 E，分別指觀察次數(shù)與期望次數(shù)。 – 步驟六： 臨界值是當(dāng)自由度為 (r1)(c1)的 ，此處的 r與 c是關(guān)注的兩個(gè)變 量 可能的值。使用表 ８ 找出臨界值。 ? ??????? 22?2??158 – 步驟七 ： 若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕區(qū)內(nèi)，則拒絕H0；反之，則否。 – 步驟八： 解釋假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果 。 159 七、單因子方差分析 Analysis of Variance (ANOVA) 1 F分布 2 單因子 方差 分析的邏輯 3 單因子 方差 分析的方法 4 多重比較 160 1 F分布 The FDistribution 161 ? F曲線的基本特性 （ Basic Properties of FCurves） – 特性一 ： F曲線下的面積總和等于 1。 – 特性二 ： F曲線自水帄 軸 的零點(diǎn)起始，并往右側(cè)無限延伸出去，只會(huì)逼近水帄軸，永遠(yuǎn)不會(huì)接 觸 。 – 特性三 ： F曲線皆為右偏。 162 2 單因子 方差 分析的邏輯 OneWay ANOVA : The Logic 163 ? 方差分析可以用來分析檢驗(yàn)三個(gè)或三個(gè)以上總體均值的問題。 ? 方差分析的數(shù)據(jù)可以來自于實(shí)驗(yàn)性數(shù)據(jù)和觀測(cè)性數(shù)據(jù)。 ? 實(shí)驗(yàn)性數(shù)據(jù)又來自于三種類型的實(shí)驗(yàn)研究：完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)、隨機(jī)化分組設(shè)計(jì)以及析因設(shè)計(jì)。 ? 一組關(guān)鍵詞：試驗(yàn)設(shè)計(jì)、自變量（處理變量、分類變量）、因素 164 ? 為什么不用多個(gè)ｔ檢驗(yàn)解決問題？ ? 比較方式的第一類錯(cuò)誤概率； ? 實(shí)驗(yàn)方式的第一類錯(cuò)誤概率。 165 ? 單因子 方差 分析的假設(shè) （ Assumptions for OneWay ANOVA） – 獨(dú)立樣本 （ Independent Samples） 對(duì)于所關(guān)注的變量，樣本是獨(dú)立的 。 – 正態(tài)總體 （ Normal Populations） 在每個(gè)總體中，所關(guān)注的變 量為正態(tài)分布 。稍微違反正態(tài)假設(shè)并不影響ANOVA之結(jié)果。 – 標(biāo)準(zhǔn)差相等 （ Equal Standard Deviations） ? 所關(guān)注的變 量 在各總體中標(biāo)準(zhǔn)差相等。 只要各樣本大小大略相等， 那么 稍微違背標(biāo)準(zhǔn)差之假設(shè)并不影響 ANOVA之結(jié)果。 ? Rule of 2 最大與最小的樣本標(biāo)準(zhǔn)差比值只要不大于 2，視為本假設(shè)已滿足。 166 ? 單因子 方差 分析的邏輯 Ｐ２８９ 操作工與閥門口徑 如果三個(gè)總體均值是相等的，可以期望三個(gè)樣本均值很接近。所以，三個(gè)樣本均值的變異性可以作為總體均值是否相等的證據(jù)。 如果總體均值相等，利用樣本均值的變異性可以對(duì) 進(jìn)行估計(jì)。 2?167 ? 因?yàn)槊總€(gè)樣本都來自均值為 ，方差為 的同一正態(tài)分布。中心極限定理：對(duì)來自正態(tài)總體的容量為ｎ的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本的樣本的均值的抽樣分布仍然服從正態(tài)分布，其均值為 ，方差為 。 的處理間估計(jì)： 當(dāng)總體均值不相等時(shí)，處理間估計(jì)將高估總體方差 。 ? 2?? 2 /n?22122()1xkjjxxxM S TR n n s nk??????????? ? ? ?????????2?168 另一方面，每個(gè)樣本內(nèi)部的變異，即樣本的方差也會(huì)給出 的一個(gè)無偏估計(jì)。我們可以把 的個(gè)別估計(jì)組合或合并成一個(gè)總的估計(jì)，我們可以稱之為 的合并或處理內(nèi)估計(jì)： ? 因?yàn)槊總€(gè)樣本方差給出的 的估計(jì)僅和每個(gè)樣本內(nèi)部的變異有關(guān)，所以 的處理內(nèi)估計(jì)不受總體均值是否相等的影響。 2?2?2?2?2?212kjjsk????22 1()1jni j jijjxxsn?????169 ? 當(dāng)零假設(shè)為真時(shí)，兩個(gè)估計(jì)量應(yīng)該很接近，并且它們的比值接近于１；如果零假設(shè)為假，則處理間估計(jì)將大于處理內(nèi)估計(jì)。所以當(dāng)這一比值大到一定程度時(shí)我們就可以拒絕零假設(shè)。 ? 總的來說，ＡＮＯＶＡ背后的邏輯是以總體方差的兩個(gè)獨(dú)立的估計(jì)量為基礎(chǔ)，一個(gè)估計(jì)量是基于不同的處理組之間的變異，另一個(gè)估計(jì)是基于每個(gè)處理組內(nèi)部的差異。 170 ? 比較 MSTR與 MSE 是否夠大，可以拒絕 H0？ H0： μ1=μ2=μ3=μ4 Ha：至少有一組帄均數(shù)不相等 M S EM S T R?F171 2 單因子 方差 分析的方法 OneWay ANOVA : The Procedure 172 ? 單因子 方差 分析檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)值 F之分布 （ Distribution of the FStatistic for OneWay ANOVA） – 假設(shè)所關(guān)注的變 量 在 k個(gè)總體中 是 正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)差皆相等。那么，來自 k個(gè)總體的獨(dú)立樣本，變量： 當(dāng)虛無假設(shè)「總體 均值 相等」的假設(shè)為真時(shí)，此為一個(gè)自由度（ k1, nk）的 F分布。 M S EM S T R?F173 ? 單因子 方差 分析的特性 （ OneWay ANOVA Identity） – 整體帄方和 （ Total Sum of Square） 等于 組間 帄方和（ Treatment Sum of Square） 加上誤差帄方和 （ Error Sum of Square） ，即 SST=SSTR+SSE。 ? ? ?2SST xx ???? ? ? ? ? ?.. ... . 222????????????174 175 ? 單因子 方差 分析表 （ Oneway ANOVA Table） 176 ? 單因子 方差 分析中的帄方和關(guān)系 （ Sum of Squares in OneWay ANOVA） – k個(gè)總體帄均數(shù)的單因子 方差 分析；下表為三種帄方和的定義及計(jì)算公式。 177 – 承上表，符號(hào)的意義： =觀察值的總數(shù) – =所有 n個(gè)觀察值的帄均 – 而 j=1,2,…, k的意義為： =來自總體 j的樣本大小 =來自總體 j的樣本帄均數(shù) =來自總體 j的樣本變異數(shù) =來自總體 j的樣本資料總和 nxjnjx2jsjT178 ? k個(gè)總體帄均數(shù)的單因子 方差 檢驗(yàn) （臨界值法） （ The Oneway ANOVA Test for k Population Means（ CriticalValue Approach）） – 假設(shè) ： ? 獨(dú)立樣本 ? 正態(tài)總體 ? 總體標(biāo)準(zhǔn)差相等 – 步驟一 ：「虛無假設(shè)」及「對(duì)立假設(shè)」 H0： μ1=μ2=…= μk Ha：至少一組帄均數(shù)不相等 – 步驟二 ：訣定顯著水帄 α。 179 – 步驟三 ：算出三種帄方和， SST、 SSTR、 SSE。 – 步驟四 ：建構(gòu)出單因子變異數(shù)分析的表格以求出統(tǒng)計(jì)值 F。 180 – 步驟五 ：臨界值為 Fα，自由度為（ k1, nk），此處的 n為觀察值的總數(shù)。使用表 ７ 找出臨界值。 – 步驟六 ：若統(tǒng)計(jì)值 F落入拒絕區(qū)，則拒絕 H0；反之，則不拒絕 H0。 – 步驟七 ：解釋此假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果。 181 八、 隨機(jī)化分組設(shè)計(jì) Randomized Block Design 182 隨機(jī)化分組設(shè)計(jì) 特性與邏輯 ? 與雙因子 方差 分析結(jié)構(gòu)相近，但對(duì)分組因子的效果不感興趣，每個(gè) Treatment Condition在每個(gè)分組只有一個(gè)實(shí)驗(yàn)單元 183 ? 分組因子 （ Blocking Factor） – 造成實(shí)驗(yàn)單元彼此間的差異，而影響 Treatment Effect 的解釋 – 隨機(jī)化分組設(shè)計(jì)將分組因子的影響（自誤差中） 獨(dú)立出來，有助于 Treatment Effect的顯著 – 多為與實(shí)驗(yàn)單元或?qū)嶒?yàn)執(zhí)行 當(dāng)時(shí)狀 況有 關(guān) 的因子，如性別， 體 重，受 試 ，實(shí)驗(yàn)日期，實(shí)驗(yàn)地 點(diǎn) 等。 ? 最極端的分組實(shí)驗(yàn)：以 受試 者 本身為分組時(shí)又稱重 復(fù)測(cè)量 （ Repeated Measure）設(shè)計(jì)，可以去除因人而造成的差異 ? 配對(duì)實(shí)驗(yàn)的極端情形也是對(duì)受試者本人進(jìn)行重復(fù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)。 184 185 ? Response=overall mean+treatment effect+block effect+error ? SST=SSTR+SSBL+SSE – SSBL:分組帄方和（ Block Sum of Squares） ? df(SST)=df(SSTR)+df(SSBL)+df(SSE) (n1)=(k1)+(b1)+(k1)(b1) ? )()()( xBTxxBxTxx jiji ?????????186 187 188 ? 如果分組變量帶來的差異不夠大，使用隨機(jī)分組設(shè)計(jì)還不如使用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)。因此，要使用隨機(jī)分組設(shè)計(jì)，必須找到對(duì)因變量的方差有貢獻(xiàn)的分組變量。 ? 當(dāng)分組部分對(duì)分析貢獻(xiàn)不大時(shí)，如果把分組效果 SSBL加入 SSE中去后，除以自由度后， MSE可能會(huì)減少，從而導(dǎo)致 F值增加。