【正文】 lll uddudud??r此為 階貝塞爾方程 ， 其解為 由于 ， ， 所以有限解為 于是 21 )(21 ??J0?? ??? )(21 ?J )(21 ?J )(1)(210 krJkrrR r ?? ?? ???????? ????? ?? ?? 4221c os2 ??? krkrrkrkr s in2??比較 （ 1） 和 （ 2） 兩式 ， 并注意取 （ 1） 式中的 l等于 0， 則 00 ??0s in4 0220 ?? ??kQ. 用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能場(chǎng) 中散射的散射截面 220)( raeUrU ?? [解 ] 根據(jù)微分散射截面公式 于是將 代入上式積分 20422 si n)(4),( ? ?? R rd rrrUKq ????220)( raeUrU ?? ?? ? ?? ? 00 0 s i ns i n)( 22 K r d rreUK r d rrrU raK r d reaKUKreaU rara c o s2s i n2 02 0020 2222 ? ? ??? ??? 224220212aKeaaKU ?? ?224304aKeaKU ?? ?222462204),(aKeaUq ?? ?????2sin2?kK ? }2s in2ex p {4),( 22246220akaUq????? ????????? ??? )co s1(ex p4 2246220 ???akaU? ? ?? dqQ ),( ???????? ?? ddakeaU aksi nc o se x p4 2220046220 22??????? ???? ????0222442202c o se x p2 22???????? ?akekaU ak??????????? ?? 22222224422022akakakeeeka U ? ??2222420222aksheaU ak?????. 用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能場(chǎng) 中散射的微分 散射截面 ， 式中 。 ?????????ararbrrzerUs當(dāng)當(dāng)0)(222szeab ?[解 ] K r d rrrU s in)(0??K r d rbrzea s s in022? ???????? ??K r d rrKbKrbrzeK aas ?????????? ???0022 co s2co s1????????? ???????? ??? aass K rd rbKKrrbKKabazezeK 0202222 si n2si n2c o s1)c o s1(2si n2c o s1 32222 KabKKabKaKabazezeK ss ????????????????? ????????? ????????? ????? KaKbaKabKbazebKzeK ss si n2c o s2212222220422 s in)(4),( ? ?? K r drrrUKq ????222222442s i n2c o s224 KaKb aKabKbazebKzeK ss ????????? ???????. 設(shè) ， 求反射系數(shù) ? ?axeVxV /0 1)( ???solve： （ 1） 令 )()()()(2 222 xExxVdx xd ???? ??? ?axe ????則 （ 2） （ 3） ??? ?????????? ???111 00VVV?????????ddaddeadxddddxd ax 11 ??? ? （ 4） 將 （ 2） ~（ 4） 代入方程 （ 1） ， 則有 ???????? ??????????? ???????????? ddddadxdddd ddxd 22222 1)()()1(2 22220222 ????????????? akaVdddd ????? ?22 2?Ek ?? （ 5） 其中 ??x當(dāng) 時(shí) ， 方程 （ 1） 的漸近形式 )(222 xkdxd ?? ??此方程有平面波解 令 （ 6） 當(dāng) 時(shí) ， ， 超于常數(shù) i k ai k xex ?? ?? ~)()()( ????? i k a????x 0?? )(?? （ 7） ??????? 1??? ?? i kai ka i k adddd?????? ???? 212222 )1(2 ????? ???? i kai kai ka i k ai k addi k adddd利用這些關(guān)系式 ， 方程 （ 5） 可寫(xiě)成 （ 8） 0)1)(21()1( 22022 ?????? ???????? akddi k add其中 將 （ 8） 寫(xiě)成 ? ??? )(22 0122100 EVkKkVk ????? ?? （ 9） 再令 0)()1)(21()1( 222122 ??????? ????? ??? akkddi k addakkiakkii k ac )(,)(),21( 11 ??????? ??顯然 于是 ， 方程 （ 9） 變?yōu)? （ 10） 方程 （ 10） 為超幾何方程 ， 其滿足 （ 即 ） ， 有限的解為 c??? 1??0)(])1([)1( 22 ??????? ?? ? ??????? ??? ddcdd0?? ??x )(?? （ 11） !2)1()1()1(!11)。,()(2????????????? ? ?????? ccccF????? ?????? !3)2)(1( )2)(1()2)(1(3???????ccc 滿足 即 ， 有限的解為 ???? )( ???x )(?????????? ????????? ???? ? ???????? ???? ? 1。1,1,)()()( )()()( ccc （ 12） ???????? ????????? ???? ? ???????? ?? ? 1。1,1,)()()( )()( ccc當(dāng) ， 即 時(shí) ???x ????? ? ? ?? ?akkiakkii ka cce )(2)(1 11)( ???? ???? ????? ?xikxikkai ecece 11 212 ?? ??)()()()(1 ???????????ccc)()()()(2 ???????????ccc反射系數(shù)： （ 13） 利用 222122)()()()()()(????????????????????ccccRxxxxx ?? s i n)1()(),()( ** ??????? akkic )(1 1 ???? ?akkic )(1 1 ???? ?aki 12?? ??])[()()()()()( **2 ?????? ?????????? ccc])(1[])(1[])([])([ 1111 akkiakkiakkiakki ????????????我們可得： ])(s i n [])(s i n [ 11 ????akkiakki ?????212])([ ??akksh ???])[()()()()()( **2 ?????? ?????????? ccc])(1[])(1[])([])([ 1111 akkiakkiakkiakki ????????????])(s in [])(s in [ 11 ????akkiakki ?????212]])[([ ??akksh ???1)2()2( )2()2()2()2()()(1111212122???? ????????????akiakiakiakiakiaki????將上述結(jié)果代入 （ 13） 式 ， 得 ])[(])[(1212akkshakkshR???