【正文】 本因素在預測期仍然起著同樣的作用。 注 ：實際應用中，須認真分析影響趨勢的基本因素是否會顯著變化，而且外推時間不宜太遠。 990 【 例 916】 根據(jù)例 915中所擬合的趨勢直線方程，并結(jié)合季節(jié)指數(shù)（見表 915）預測第六年各季度的飲料銷售額。 解： 趨勢直線方程為： ? 預測值依次為： tT t 2 9 0 9 8 ?? 2 2 )212 9 0 9 8 (?? 12121 ＝?????? STy)(?? 22222 ＝?????? STy)(?? 32323 ??????? STy 0 0 )242 9 0 9 8 (?? 42424 ??????? STy991 二、移動平均和指數(shù)平滑預測 （一）移動平均預測 ——就是用移動平均值作為下一期的預測值。 ? 有 簡單移動平均預測 和 加權(quán)移動平均預測 兩種。 ? 與測定趨勢的移動平均法有所不同： ? 每個 K期移動平均值不是代表觀測值中間一期的趨勢值，而是第 K+1期的趨勢預測值。 ? 移動平均值的位置也不再是居中放置，而是置于第 K 期（所平均數(shù)據(jù)末尾一期）或直接置于第 K+1期（預測期） . ? 加權(quán)移動平均法用于預測時，按“近大遠小”的原則確定權(quán)數(shù)，即離預測期較遠的數(shù)據(jù)給以較小的權(quán)數(shù)，而離預測期較近的數(shù)據(jù)給以較大的權(quán)數(shù)。 992 公式： ? 簡單移動平均預測第 t+1 期預測值的公式為： ???????? ?? ??????1012111...? ki itktttttt ykkyyyyMy? 加權(quán)移動平均預測第 t+1 期預測值的公式為： 1211122111 ......?????????????? ??????????KttttKtkttttttttt wwywywywyMy? wi為觀測值 yi 的權(quán)數(shù)，且 wt wt1 … wtk+1。常常取自然數(shù) K, K1, …, 2, 1 。 993 ? 移動平均預測的 局限性 ? 只具有預測未來一期趨勢值的預測功能， ? 只適用于呈水平趨勢的時間序列。 ? 如果現(xiàn)象的發(fā)展變化具有明顯的上升（或下降）趨勢，則移動平均預測的結(jié)果就會產(chǎn)生偏低（或偏高）的滯后偏差，即預測值的變化滯后于實際趨勢值的變化。 ? 移動平均的項數(shù) K越大，滯后偏差就越大。 994 （二）指數(shù)平滑預測 （ Exponential smoothing）的基本原理 ? 用 Et 表示第 t 期的指數(shù)平滑值，其計算公式為： α為平滑系數(shù) (0α1)。指數(shù)平滑具有遞推性質(zhì) . 展開后： 1)1( ???? ttt EyE ??01133221 )1()1(...)1()1()1( EyyyyyE ttttttt ?????????? ???????????? ????? E0為初始值，通常設(shè) E0= y0。 t→∞ 時，最后一項系數(shù)趨近于 0，其余各項的系數(shù)構(gòu)成一個無窮遞減等比數(shù)列，該數(shù)列總和為 1. ? 可見，指數(shù)平滑值 Et 實質(zhì)上是以前各期觀測值的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，各期觀測值的系數(shù)就是其權(quán)數(shù)， 權(quán)數(shù)呈指數(shù)形式遞減 。 995 指數(shù)平滑法的主要 優(yōu)點 ? 按“近大遠小”原則給各期觀測值賦予了不同的權(quán)數(shù)，既充分利用了以前各期觀測值的信息，又突出了近期數(shù)據(jù)的影響，能夠及時跟蹤反映現(xiàn)象的最新變化。 ? 它采用遞推公式，更便于連續(xù)計算，因為實際計算時不必保留以前全部信息，只需上期的平滑值和最新的觀測值兩項數(shù)據(jù)即可。 ? 其權(quán)數(shù)確定也較為簡便，只需確定最新一期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)，其他各項觀測值的權(quán)數(shù)可自動生成。 996 平滑系數(shù) α的選擇 α的選擇是指數(shù)平滑法的關(guān)鍵，一般可從以下幾個方面來考慮： ? (1)如果認為時間序列中隨機波動成份較大，為了盡可能消除隨機波動的影響，可選擇較小的 α；反之，若認為隨機波動成份較小，為了及時跟蹤現(xiàn)象的變化，突出最新數(shù)據(jù)的信息，可選擇較大的 α。 ? (2)如果現(xiàn)象趨勢的變化很平緩，可選擇較小的 α；如果現(xiàn)象趨勢的變化比較劇烈，例如呈階梯式特征，應選擇較大的 α。 ? (3)通過大小不同的 α值進行試算，使得預測誤差最小的 α值就是最合適的平滑系數(shù)。 997 ? 當時間序列呈水平趨勢或沒有明顯波動規(guī)律時，可以用一次指數(shù)平滑進行短期預測： 11 )1(? ?? ???? tttt EyEy ??)?(?? 1 tttt yyyy ???? ?或： 998 ? 一次指數(shù)平滑預測的 基本思想 ：如果第 t期的預測沒有誤差，則第 t 期預測值仍然是第 t+1期的預測值；如果有預測誤差，則不外乎： ? 一部分是 隨機波動 所引起的誤差，預測時應盡可能予以剔除； ? 另一部分是由于 t 期的現(xiàn)象與以前比較確實有了 實質(zhì)性變化 而造成的誤差，對此須及時跟蹤反應，這就要求根據(jù)預測誤差調(diào)整預測值。 ? α值實質(zhì)上體現(xiàn)了預測者對預測誤差中實質(zhì)性變化所占比重的估計。 999 【 例 916】 要求用移動平均法和指數(shù)平滑法進行預測 . 解： ? 采用 5日移動平均，加權(quán)移動平均預測中各期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)由近到遠分別為 5,4,3,2, 1。 ? 指數(shù)平滑法預測取 α=。 日期 價格 移動平均 加權(quán)移動平均 指數(shù)平滑值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9100 ? 二次指數(shù)平滑 E(2)是對第一次指數(shù)平滑值序列 E(1)再計算指數(shù)平滑值 ，即： )2(1)1()2( )1(???? ttt EEE ??? 當現(xiàn)象有明顯上升或下降趨勢時，指數(shù)平滑值 E(1) 與趨勢值 之間存在明顯的滯后偏差， E(2)與 E(1)之間也存在著同樣的滯后偏差。根據(jù)三者之間滯后偏差的數(shù)量關(guān)系，可得出線性趨勢模型中參數(shù)估計值 at 和 bt 的計算公式，并由此得到相應的線性趨勢預測模型。 y?9101 ? 利用二次指數(shù)平滑建立的線性趨勢預測模型及其參數(shù)估計值的計算公式為： )(12)2()1()2()1(ttttttEEbEEa???????Kbay ttKt ????（ K=1,2,… ） ? 二次指數(shù)平滑預測模型是以最近一期的一、二次指數(shù)平滑值來估計線性趨勢預測模型的參數(shù)，因此，其參數(shù)估計值是根據(jù)數(shù)據(jù)的最新變化而不斷修正的。 ? 此預測方法適宜對現(xiàn)象進行短中期預測。 9102 【 例 917】 根據(jù)表 95的數(shù)據(jù)，利用指數(shù)平滑法進行預測 . 解： 取 α=，兩次平滑的初始值都取為 y1。參數(shù)估計值為： 0 0 0 4 ????a)()(2022 ????b 120222022 ????? ?yy 220222022 ????? ?yy2022年和 2022年的銷售量預測值為： 9103 年份 銷售 量 一次指數(shù)平滑值 E(1) 二次指數(shù)平滑值 E(2) at bt 預測值 93 54 94 50 95 52 96 67 97 82 98 70 99 89 00 88 01 84 02 98 03 91 04 106 9104 三、自回歸預測 ? 同一時間序列前后觀測值之間的相關(guān)關(guān)系稱為自相關(guān) 。 ? 觀測值 yt 對其以前若干期觀測值 ytk（ k=1,2,… ）的回歸稱為 自回歸 。 ? 根據(jù)自回歸模型進行預測就是 自回歸預測 。 ? ytk也稱為滯后期觀測值， k 稱為滯后期。 ? 若考慮 p個滯后期觀測值，則自回歸模型稱為 p 階自回歸模型，通常記為 AR(p) ，可寫為如下形式： 9105 p 階自回歸模型 AR(p) ? 模型中： ? a 為常數(shù)項 ? 在自回歸模型的識別和參數(shù)估計過程中，通常要求先將觀測值作零均值化處理，所以自回歸模型通常不含常數(shù)項 a ? φ1, φ2,…, φp是模型的參數(shù)； ? εt 為隨機誤差項。 ? 對自回歸預測最直觀的解釋就是：時間序列 第 t 期的水平可以根據(jù)其以前若干期觀測值的線性組合來預測。 tptpttt yyyay ???? ?????? ??? ...22119106 自回歸預測的基本 步驟 ? 第一步，預測模型的識別。 ? 對時間序列的特性進行識別，判斷是否適合建立自回歸模型、自回歸模型的滯后期是多長。 ? 識別的依據(jù)主要是自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。 ? 第二步，估計模型參數(shù)。 ? 可將自回歸模型視為多元線性回歸模型， ? 可使用最小二乘法來估計其參數(shù)。 ? 第三步，模型的檢驗。 ? 即根據(jù)殘差的分布、估計量的 t 統(tǒng)計量、模型的判定系數(shù) R2等，對所估計的模型進行檢驗，經(jīng)過檢驗認為適用的模型方能用于預測。 9107 【 例 918】 根據(jù)例 916的價格時間序列建立自回歸模型。 解： 通過計算知可建立二階自回歸預測模型 AR(2)。 根據(jù)最小二乘法可估計出模型參數(shù)并得到如下模型 （ 括號內(nèi)為參數(shù)的 t 統(tǒng)計量的值 。 該預測模型的 R2=， 標準誤差為 ） ： ）（）（）（ 0 1 1 8 4 6 7 4 1 3 7 21???? ?? ttt yyy9108 四、預測誤差 ? 預測誤差是指現(xiàn)象的實際值與預測值之差。 ? 誤差小，預測結(jié)果的精度就高。 ? 要衡量一個預測模型的質(zhì)量優(yōu)劣，就只能分析預測模型在原時間序列范圍內(nèi)的預測誤差大小。 ? 衡量預測模型的誤差常用的指標有： ? 1. 平均絕對誤差 （ MAE）： ? ???nt ttyynM A E1|?|1? （ MPE）： ? ???nt tttyyynM P E 1 |?|1? 這兩種誤差受異常值的影響較小，對多個模型的預測誤差進行比較時，采用平均相對誤差可以避免絕對水平和計量單位不同的影響。 9109 ? 3. 均方誤差 （ MSE） ? ???nt ttyynM S E12)?(1? ????nttt yynM S ER M S E12)?(1? 4. 均方根誤差 （ RMSE）： ? 均方誤差和均方根誤差由于取誤差的平方來計算，因此受異常值的影響較大。 9110 結(jié)束語 所有的 時間序列預測都有一個關(guān)鍵的假定前提 ，那就是現(xiàn)象在原時間序列考察期內(nèi)所呈現(xiàn)的趨勢和規(guī)律性將在預測期內(nèi)基本保持不變，從而要求影響現(xiàn)象的各種主要影響因素的作用和結(jié)構(gòu)基本不變。只有在這種前提下，對原時間序列預測誤差小的預測模型，才能對現(xiàn)象的未來具有較強的預測能力。