【正文】 本因素在預(yù)測(cè)期仍然起著同樣的作用。 注 ：實(shí)際應(yīng)用中，須認(rèn)真分析影響趨勢(shì)的基本因素是否會(huì)顯著變化，而且外推時(shí)間不宜太遠(yuǎn)。 990 【 例 916】 根據(jù)例 915中所擬合的趨勢(shì)直線方程，并結(jié)合季節(jié)指數(shù)（見表 915）預(yù)測(cè)第六年各季度的飲料銷售額。 解： 趨勢(shì)直線方程為： ? 預(yù)測(cè)值依次為： tT t 2 9 0 9 8 ?? 2 2 )212 9 0 9 8 (?? 12121 ＝?????? STy)(?? 22222 ＝?????? STy)(?? 32323 ??????? STy 0 0 )242 9 0 9 8 (?? 42424 ??????? STy991 二、移動(dòng)平均和指數(shù)平滑預(yù)測(cè) （一）移動(dòng)平均預(yù)測(cè) ——就是用移動(dòng)平均值作為下一期的預(yù)測(cè)值。 ? 有 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均預(yù)測(cè) 和 加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè) 兩種。 ? 與測(cè)定趨勢(shì)的移動(dòng)平均法有所不同： ? 每個(gè) K期移動(dòng)平均值不是代表觀測(cè)值中間一期的趨勢(shì)值，而是第 K+1期的趨勢(shì)預(yù)測(cè)值。 ? 移動(dòng)平均值的位置也不再是居中放置，而是置于第 K 期（所平均數(shù)據(jù)末尾一期）或直接置于第 K+1期（預(yù)測(cè)期） . ? 加權(quán)移動(dòng)平均法用于預(yù)測(cè)時(shí)，按“近大遠(yuǎn)小”的原則確定權(quán)數(shù)，即離預(yù)測(cè)期較遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)給以較小的權(quán)數(shù)，而離預(yù)測(cè)期較近的數(shù)據(jù)給以較大的權(quán)數(shù)。 992 公式： ? 簡(jiǎn)單移動(dòng)平均預(yù)測(cè)第 t+1 期預(yù)測(cè)值的公式為： ???????? ?? ??????1012111...? ki itktttttt ykkyyyyMy? 加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)第 t+1 期預(yù)測(cè)值的公式為： 1211122111 ......?????????????? ??????????KttttKtkttttttttt wwywywywyMy? wi為觀測(cè)值 yi 的權(quán)數(shù)，且 wt wt1 … wtk+1。常常取自然數(shù) K, K1, …, 2, 1 。 993 ? 移動(dòng)平均預(yù)測(cè)的 局限性 ? 只具有預(yù)測(cè)未來一期趨勢(shì)值的預(yù)測(cè)功能， ? 只適用于呈水平趨勢(shì)的時(shí)間序列。 ? 如果現(xiàn)象的發(fā)展變化具有明顯的上升（或下降）趨勢(shì)，則移動(dòng)平均預(yù)測(cè)的結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生偏低（或偏高）的滯后偏差，即預(yù)測(cè)值的變化滯后于實(shí)際趨勢(shì)值的變化。 ? 移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù) K越大，滯后偏差就越大。 994 （二）指數(shù)平滑預(yù)測(cè) （ Exponential smoothing）的基本原理 ? 用 Et 表示第 t 期的指數(shù)平滑值，其計(jì)算公式為： α為平滑系數(shù) (0α1)。指數(shù)平滑具有遞推性質(zhì) . 展開后： 1)1( ???? ttt EyE ??01133221 )1()1(...)1()1()1( EyyyyyE ttttttt ?????????? ???????????? ????? E0為初始值，通常設(shè) E0= y0。 t→∞ 時(shí)，最后一項(xiàng)系數(shù)趨近于 0，其余各項(xiàng)的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)無窮遞減等比數(shù)列，該數(shù)列總和為 1. ? 可見，指數(shù)平滑值 Et 實(shí)質(zhì)上是以前各期觀測(cè)值的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，各期觀測(cè)值的系數(shù)就是其權(quán)數(shù)， 權(quán)數(shù)呈指數(shù)形式遞減 。 995 指數(shù)平滑法的主要 優(yōu)點(diǎn) ? 按“近大遠(yuǎn)小”原則給各期觀測(cè)值賦予了不同的權(quán)數(shù)，既充分利用了以前各期觀測(cè)值的信息，又突出了近期數(shù)據(jù)的影響，能夠及時(shí)跟蹤反映現(xiàn)象的最新變化。 ? 它采用遞推公式，更便于連續(xù)計(jì)算，因?yàn)閷?shí)際計(jì)算時(shí)不必保留以前全部信息，只需上期的平滑值和最新的觀測(cè)值兩項(xiàng)數(shù)據(jù)即可。 ? 其權(quán)數(shù)確定也較為簡(jiǎn)便，只需確定最新一期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)，其他各項(xiàng)觀測(cè)值的權(quán)數(shù)可自動(dòng)生成。 996 平滑系數(shù) α的選擇 α的選擇是指數(shù)平滑法的關(guān)鍵，一般可從以下幾個(gè)方面來考慮： ? (1)如果認(rèn)為時(shí)間序列中隨機(jī)波動(dòng)成份較大，為了盡可能消除隨機(jī)波動(dòng)的影響，可選擇較小的 α；反之，若認(rèn)為隨機(jī)波動(dòng)成份較小，為了及時(shí)跟蹤現(xiàn)象的變化，突出最新數(shù)據(jù)的信息，可選擇較大的 α。 ? (2)如果現(xiàn)象趨勢(shì)的變化很平緩，可選擇較小的 α；如果現(xiàn)象趨勢(shì)的變化比較劇烈，例如呈階梯式特征，應(yīng)選擇較大的 α。 ? (3)通過大小不同的 α值進(jìn)行試算，使得預(yù)測(cè)誤差最小的 α值就是最合適的平滑系數(shù)。 997 ? 當(dāng)時(shí)間序列呈水平趨勢(shì)或沒有明顯波動(dòng)規(guī)律時(shí)，可以用一次指數(shù)平滑進(jìn)行短期預(yù)測(cè)： 11 )1(? ?? ???? tttt EyEy ??)?(?? 1 tttt yyyy ???? ?或： 998 ? 一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的 基本思想 ：如果第 t期的預(yù)測(cè)沒有誤差，則第 t 期預(yù)測(cè)值仍然是第 t+1期的預(yù)測(cè)值；如果有預(yù)測(cè)誤差，則不外乎： ? 一部分是 隨機(jī)波動(dòng) 所引起的誤差，預(yù)測(cè)時(shí)應(yīng)盡可能予以剔除； ? 另一部分是由于 t 期的現(xiàn)象與以前比較確實(shí)有了 實(shí)質(zhì)性變化 而造成的誤差，對(duì)此須及時(shí)跟蹤反應(yīng)，這就要求根據(jù)預(yù)測(cè)誤差調(diào)整預(yù)測(cè)值。 ? α值實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了預(yù)測(cè)者對(duì)預(yù)測(cè)誤差中實(shí)質(zhì)性變化所占比重的估計(jì)。 999 【 例 916】 要求用移動(dòng)平均法和指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè) . 解： ? 采用 5日移動(dòng)平均，加權(quán)移動(dòng)平均預(yù)測(cè)中各期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)由近到遠(yuǎn)分別為 5,4,3,2, 1。 ? 指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)取 α=。 日期 價(jià)格 移動(dòng)平均 加權(quán)移動(dòng)平均 指數(shù)平滑值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9100 ? 二次指數(shù)平滑 E(2)是對(duì)第一次指數(shù)平滑值序列 E(1)再計(jì)算指數(shù)平滑值 ，即： )2(1)1()2( )1(???? ttt EEE ??? 當(dāng)現(xiàn)象有明顯上升或下降趨勢(shì)時(shí)，指數(shù)平滑值 E(1) 與趨勢(shì)值 之間存在明顯的滯后偏差， E(2)與 E(1)之間也存在著同樣的滯后偏差。根據(jù)三者之間滯后偏差的數(shù)量關(guān)系，可得出線性趨勢(shì)模型中參數(shù)估計(jì)值 at 和 bt 的計(jì)算公式，并由此得到相應(yīng)的線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型。 y?9101 ? 利用二次指數(shù)平滑建立的線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型及其參數(shù)估計(jì)值的計(jì)算公式為： )(12)2()1()2()1(ttttttEEbEEa???????Kbay ttKt ????（ K=1,2,… ） ? 二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型是以最近一期的一、二次指數(shù)平滑值來估計(jì)線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型的參數(shù)，因此，其參數(shù)估計(jì)值是根據(jù)數(shù)據(jù)的最新變化而不斷修正的。 ? 此預(yù)測(cè)方法適宜對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行短中期預(yù)測(cè)。 9102 【 例 917】 根據(jù)表 95的數(shù)據(jù)，利用指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè) . 解： 取 α=，兩次平滑的初始值都取為 y1。參數(shù)估計(jì)值為： 0 0 0 4 ????a)()(2022 ????b 120222022 ????? ?yy 220222022 ????? ?yy2022年和 2022年的銷售量預(yù)測(cè)值為： 9103 年份 銷售 量 一次指數(shù)平滑值 E(1) 二次指數(shù)平滑值 E(2) at bt 預(yù)測(cè)值 93 54 94 50 95 52 96 67 97 82 98 70 99 89 00 88 01 84 02 98 03 91 04 106 9104 三、自回歸預(yù)測(cè) ? 同一時(shí)間序列前后觀測(cè)值之間的相關(guān)關(guān)系稱為自相關(guān) 。 ? 觀測(cè)值 yt 對(duì)其以前若干期觀測(cè)值 ytk（ k=1,2,… ）的回歸稱為 自回歸 。 ? 根據(jù)自回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)就是 自回歸預(yù)測(cè) 。 ? ytk也稱為滯后期觀測(cè)值， k 稱為滯后期。 ? 若考慮 p個(gè)滯后期觀測(cè)值，則自回歸模型稱為 p 階自回歸模型，通常記為 AR(p) ，可寫為如下形式： 9105 p 階自回歸模型 AR(p) ? 模型中： ? a 為常數(shù)項(xiàng) ? 在自回歸模型的識(shí)別和參數(shù)估計(jì)過程中，通常要求先將觀測(cè)值作零均值化處理，所以自回歸模型通常不含常數(shù)項(xiàng) a ? φ1, φ2,…, φp是模型的參數(shù)； ? εt 為隨機(jī)誤差項(xiàng)。 ? 對(duì)自回歸預(yù)測(cè)最直觀的解釋就是：時(shí)間序列 第 t 期的水平可以根據(jù)其以前若干期觀測(cè)值的線性組合來預(yù)測(cè)。 tptpttt yyyay ???? ?????? ??? ...22119106 自回歸預(yù)測(cè)的基本 步驟 ? 第一步，預(yù)測(cè)模型的識(shí)別。 ? 對(duì)時(shí)間序列的特性進(jìn)行識(shí)別，判斷是否適合建立自回歸模型、自回歸模型的滯后期是多長(zhǎng)。 ? 識(shí)別的依據(jù)主要是自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。 ? 第二步，估計(jì)模型參數(shù)。 ? 可將自回歸模型視為多元線性回歸模型， ? 可使用最小二乘法來估計(jì)其參數(shù)。 ? 第三步，模型的檢驗(yàn)。 ? 即根據(jù)殘差的分布、估計(jì)量的 t 統(tǒng)計(jì)量、模型的判定系數(shù) R2等，對(duì)所估計(jì)的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)過檢驗(yàn)認(rèn)為適用的模型方能用于預(yù)測(cè)。 9107 【 例 918】 根據(jù)例 916的價(jià)格時(shí)間序列建立自回歸模型。 解： 通過計(jì)算知可建立二階自回歸預(yù)測(cè)模型 AR(2)。 根據(jù)最小二乘法可估計(jì)出模型參數(shù)并得到如下模型 （ 括號(hào)內(nèi)為參數(shù)的 t 統(tǒng)計(jì)量的值 。 該預(yù)測(cè)模型的 R2=， 標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ） ： ）（）（）（ 0 1 1 8 4 6 7 4 1 3 7 21???? ?? ttt yyy9108 四、預(yù)測(cè)誤差 ? 預(yù)測(cè)誤差是指現(xiàn)象的實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之差。 ? 誤差小，預(yù)測(cè)結(jié)果的精度就高。 ? 要衡量一個(gè)預(yù)測(cè)模型的質(zhì)量?jī)?yōu)劣，就只能分析預(yù)測(cè)模型在原時(shí)間序列范圍內(nèi)的預(yù)測(cè)誤差大小。 ? 衡量預(yù)測(cè)模型的誤差常用的指標(biāo)有： ? 1. 平均絕對(duì)誤差 （ MAE）： ? ???nt ttyynM A E1|?|1? （ MPE）： ? ???nt tttyyynM P E 1 |?|1? 這兩種誤差受異常值的影響較小，對(duì)多個(gè)模型的預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行比較時(shí)，采用平均相對(duì)誤差可以避免絕對(duì)水平和計(jì)量單位不同的影響。 9109 ? 3. 均方誤差 （ MSE） ? ???nt ttyynM S E12)?(1? ????nttt yynM S ER M S E12)?(1? 4. 均方根誤差 （ RMSE）： ? 均方誤差和均方根誤差由于取誤差的平方來計(jì)算，因此受異常值的影響較大。 9110 結(jié)束語(yǔ) 所有的 時(shí)間序列預(yù)測(cè)都有一個(gè)關(guān)鍵的假定前提 ，那就是現(xiàn)象在原時(shí)間序列考察期內(nèi)所呈現(xiàn)的趨勢(shì)和規(guī)律性將在預(yù)測(cè)期內(nèi)基本保持不變，從而要求影響現(xiàn)象的各種主要影響因素的作用和結(jié)構(gòu)基本不變。只有在這種前提下，對(duì)原時(shí)間序列預(yù)測(cè)誤差小的預(yù)測(cè)模型，才能對(duì)現(xiàn)象的未來具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力。