【正文】 3232?????????????xcaxdxdaxxab， 矛 盾 。 故 有， 則 由 ⑥ 可 得若 ，由 已 知 ， 代 入 ⑦ 得由 ④ 得 　 ⑦即 　將 ⑥ 代 入 ③ 得 　 ⑥　 ⑤ 　 　 代 入 ② 得 　由 ① 解 出解：①令 ，得 c＝平方數(shù) c2；令 1，得 mcba?， 2ncba???，其中 m、n 都是整數(shù)，所以， 22nmbn??， 都是整數(shù)。?、谌绻?2b 是奇數(shù) 2k+1（k 是整數(shù)） ，令 4?x得 26hc?，其中 h 是整數(shù)，由于 2a 是整數(shù)，所以 16a 被 4 整除，有 216?ka除以 4 余 2，而 )(ll???，在 h，l 的奇偶性不同時(shí)， )(lh??是奇數(shù)；在 h，l 的奇偶性相同時(shí)， )(能被 4 整除，因此，216lba?，從而 2b 是偶數(shù)，b 是整數(shù)， bcm?2也是整數(shù)，在②成立時(shí)，cx2不一定對(duì) x 的整數(shù)值都是平方數(shù)，例如：a=2，b=2，c=4，x＝1 時(shí)， cbxa?2＝8 不是平方數(shù)。解：設(shè) x＝1995，則 1996＝x+1，所以7　　 222 2222 22239801)1695()]1([ )]1([)(]([)95?????? ????x xxxa　解：要證明|m｜是合數(shù)，只要能證出｜m｜＝pq，pq 均為大于 1 的正整數(shù)即可?！　?))()()((41 ]][[ ]2[241 )()]([4)( 22 22222 badcbadcbadcba dcbacdbcbacdbdacbacdb ?????? ???????　 　 　　 　 　　 　 　　 　 ?。鹤C 明　因?yàn)?m 是非零整數(shù)，則 是非零整數(shù)。由于四個(gè)數(shù) a+b+cd，a+bc+d ， ab+c+d，a+b+c+d 的奇偶性相同，乘積應(yīng)被 4 整除，所以四個(gè)數(shù)均為偶數(shù)。所以可設(shè) a+b+cd=2m1，a+bc+d=2m 2，ab+c+d=2m 3，a+b+c+d=2m 4，其中 m1，m 2，m 3，m 4 均為非零整數(shù)。所以 2143)()(24mm??，所以｜m｜＝4｜m 1m2m3m4｜ ≠0，所以｜m｜是一個(gè)合數(shù)。解：設(shè) cba?0，其中 取自 0，1，2，3，4，……，9，將 2c寫成兩位數(shù)的形式為00，01，04，09，16，25，36，49，64，81，其中只有 c＝6 時(shí)其十位數(shù)為奇數(shù)，又2222 )5()1( cb???，可見(jiàn)， 2a的十位數(shù)是一個(gè)偶數(shù)加上 2c的十位數(shù)，當(dāng)a的十位數(shù)為奇數(shù) 1，2，5，7，9 時(shí)，a 的個(gè)位數(shù)只能取 6。8數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（3）方程參考答案一、選擇題選 B。原方程變?yōu)??????????181)8(xaxxa或， ，解得 x=9 或 7，a＝8。選 C。原方程有整數(shù)解的條件有且只有以下 3 種：　 僅 有 一 個(gè) 整 數(shù) 解 。為 偶 數(shù) 。 故 原 方 程 此 時(shí)時(shí) 。 顯 然 僅 當(dāng)或得為 偶 數(shù) 。 解而③ 解 ；， 即 原 方 程 有 兩 個(gè) 整 數(shù)或， 解 之 得②是 方 程 的 一 個(gè) 整 數(shù) 解 ；， 此 時(shí)而① 231 101202222??? ??????x xxxx　綜上所述知方程的解共有 1＋2＋1＝4 個(gè)?！?　 應(yīng) 選 。即的 根 ， 所 以是　 　 　 　 　 因　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　、 解 ： 令 B,00)(4(a md3202020 Mdcbxac???????應(yīng)選 B。因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，故 42??a。由題意有　。， 即的 判 別 式 非 負(fù) ， 即 是 其 解 ， 所 以 方 程， 因 為或則 得 。 令或 者 81081422 44222 ???????? ???abacbuubua acbuccb選 B。由方程有實(shí)根，得 △≥0，即　 184)5( 1960)53(2)(234 0)4(36)5()(21 21 221122取 最 大 值時(shí)， 當(dāng) ， 得。 又 由 xk kkx xxkk???? ??????????????選 A。　 237)1()37(13732 ????????????????? zzzuzyzyx　由 x≥0，y≥0 得9　 2173273173017 ?????????????zzz　即 5?u　 76)1(7517 ???????最 大最 小最 大最 小 　 　， u選 B。因方程有實(shí)根，故 ?????0482mn，因此有 mn424?，則 60)64( 33???m， 則， 因 ，得 m 最小值是 4。又 。的 最 小 值 為， 故的 最 小 值 為即， 得 622824 nn ?選 C。設(shè)全天下雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴 c 天，全天晴 d 天。由題可得關(guān)系式a=0①，b+d=6 ②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得 2da=4，即 d＝2，故 b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9 。二、填空題 axbx baba xbx???? ??? ????32 11 122312022)( 00。 解 方 程 得＝　 　 　 。 代 入 任 一 方 程 可 得， 故， 而　 　 兩 式 相 減 得 。、和、為、 設(shè) 兩 個(gè) 方 程 的 根 分 別由已知 a、b 是方程 6?的兩根。 06?????，　 　 ，而5741241)(41)(2 ?????????abba 02)1(2?nx?的兩根為整數(shù)，它的判別式為完全平方式，故可設(shè)　 24kn????（k 為非負(fù)整數(shù)） ，即 )3(2??kn滿足上式的 n、k 只能是下列情況之一：　 ???????????????????2243113 kkknk 或或或　解得 n＝5。解：由題意得： 　 　 ①， 得 10)(])(2[2???　又 )(2121 ??kxkx，　 521)(1?k　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　所 以10　由已知得 　 　 ②， 解 得 13852????kk　由①②得 k＝1。解：由已知 b24b+m=0 ①　b 28b+5m=0 ②　?、伲诘茫?b4m=0 ∴b＝m　③　　將③代入①得：m 24m+m=0 ∴m=0 或 m=3。解： 04)2(84)(42 ???????aaa　　　∴對(duì)于任意實(shí)數(shù) a，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。由根與系數(shù)的關(guān)系得：　　 863)49(21892))(( 2211121 ???????aaxxxx　 　　　∴當(dāng) a= 4時(shí)原式有最大值－三、解答題解：①當(dāng) k=0 時(shí)，x=1，方程有有理根?！　　　、诋?dāng) k≠0 時(shí)，因方程有有理根，所以若 k 是整數(shù)，則 k4)1(2???＝ 162?必為完全平方數(shù)，即存在非負(fù)整數(shù) m，使 2216mk???　　配方得： 8)3)((8)3(2 ???kk　 　 　　　由 ，其 積 為是 奇 偶 性 相 同 的 整 數(shù) ，與? 所以它們均為偶數(shù)，又mk－－＞＋－ 3，從而有 ????????????432234mkk或　　∴k=6 或 k=0（舍去）　　綜合①②可知，方程 01)(2x有有理根，整數(shù) k 的值為 k=0 或 k=6。解：由前一方程得： 20??x　　　　即 )21(?x　　　　設(shè)方程兩根為 2x，且 1＞ 2x　　　　由根與系數(shù)的關(guān)系得： 221200?????x　 　 　　　　　則 1x＝1， 2＝ 2011　　　　同理由后一方程得： 021)01(2???xx　　　　設(shè)方程兩根為 39。 39。2，且 39。＞ 39。，則 39。＝1， 39。2x＝ 1　　　　由上述可知：r=1，s＝ ，　　　　所以 r－s＝1－ 20＝ 1解：設(shè)方程兩根為 x、 ，則 x+ 2＝4n－5　　　　∵4n－5 是奇數(shù)，即 1+ 是奇數(shù)　　　　∴ 1x與 2必定一奇一偶，而 1x與 2都是質(zhì)數(shù)?！　　　」时赜幸粋€(gè)為 2，不妨設(shè) ＝2，則　　　　22 2－（8n－10）2－(n 2－35n＋76) ＝0　　　　∴n=3 或 n=16　　　　當(dāng) n=3 時(shí)，原方程即 2x2－14x＋20＝0，此時(shí)兩根為 x1＝2，x 2＝5 當(dāng) n=16 時(shí)，原方程即 2x2－118x＋228＝0，此時(shí)兩根為 x1＝2，x 2＝57解：原方程可化為 ]6)9][()6[(???xkxk，因此方程關(guān)于 x 的一元二次方程，所以 6?k，9?k，于是　　 x61＝ ， ?2　　從上面兩式中消去 k，得： 032211???　　于是 6)(3??x　　因?yàn)? 2均為整數(shù)，所以 ??? ?????1236321662 ， 　， 　， 　， 　， 　， 　， 　 ， 　， 　， 　， 　， 　， 　， 　x　　故 045691 ， 　， 　， 　， 　， 　， 　， 　 ??x ，顯然 1x≠0　　又 11xk，將 324569， 　， 　， 　， 　， 　， 　 分別代入上式得。， 　， 　， 　， 　， 　， 　 32435927?解：出發(fā) 1 小時(shí)后，①、②、③號(hào)艇與④號(hào)艇的距離分別為　　 441)][( vvvSiii ?????水 　水 　 （）　　各艇追上④號(hào)艇的時(shí)間為　　 4442)()( vvvt iiiii ??水 　水 　12　　對(duì) 1v＞ 2＞ 3＞ 4v有 321tt?，即①號(hào)艇追上④號(hào)艇用的時(shí)間最小，①號(hào)是冠軍。13數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（4）不等式參考答案一、選擇題B。解： B4a4|3x|1|x|1|3x3 4x31|x|1|0。 故 選原 不 等 式 有 解 ， 必 須 ， 恒 有因 此 ， 對(duì) 一 切 實(shí) 數(shù)時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) ， 所 以，＋時(shí) ， 　當(dāng) ????????? ???????D。解：　　 dcbadcbadcbac cadb ??????????1都 是 正 實(shí) 數(shù) ，、因　　故選 D。A。解：　　 ||| 0010)(21 )(2)( 22cba cbacca????????????　 　　 　， 又　 　?　　故選 A。C。解：　　 21615234198765230????????????????aaaxx，的 取 值 范 圍 是，、 個(gè) 整 數(shù) 解 ， 即 解 只 能 是， 不 等 式 組 只 有解 不 等 式 組 ， 得　　故選 C。D。解：　　易知 0?a，原方程可變形為 09)1(2??xa，記 9)1(2?xay　　則這個(gè)拋物線開(kāi)口向上，因 21x?，故當(dāng) 1時(shí)， ??！　〖?09)21(??a，解得 0?　　故選 D。B。C。B。解：　　由題設(shè)得： ??b　 ??b，所以 30?b，31。14　　當(dāng) b＝30 時(shí)，由 a，得 27a28，這樣的正整數(shù) a 不存在?！　‘?dāng) b＝31 時(shí)，由 a，得 27a29，所以 a＝28，所以 172??b　　故選 B。二、填空題解：解方程 12???xa得 032?ax，所以 2?，但 ?x，即 23a，　　　所以 4?，故應(yīng)填 ?且 4??。解：設(shè)有 人開(kāi)會(huì)，則全坐圓凳共有 5條腳，全坐方凳共有 6條腳，于是　　　 635?，即 65?x，而 x只能為整數(shù)， ??x，故應(yīng)填 6。解：由①得 32??即 1，則②得 0)1(5???，∴ 1?x。由③得 ??x。由④得 6x，即 5x，∴ 5。故應(yīng)填 4。解： 02)(2???a，即 0)9(1??a，∴ 91a，故應(yīng)填 91?a。解： .730??，由題意應(yīng)付郵費(fèi) 4＝ 元，故應(yīng)填 元。解： 4||1| ???x，兩邊都除以 2 得： 2|3|| ??x。　　　 |2|x表示數(shù)軸上表示數(shù) x的點(diǎn)到表示 1的點(diǎn)之間的距離， ||表示數(shù)軸上表示數(shù) x的點(diǎn)到表示數(shù) 3的點(diǎn)之間的距離，顯然，當(dāng) 23?或 ?x時(shí)，　　 |)23(1||1| ?????x，而當(dāng) ??時(shí)， 2|3|21| ???x，又 21x?，∴221??，故 021x，故應(yīng)填 01?x。三、解答題解：設(shè)開(kāi)始抽水時(shí)滿池水的量為 ，泉水每小時(shí)涌出的水量為 y，水泵每小時(shí)抽水量為 z，2 小時(shí)抽干滿池水需 n 臺(tái)水泵，則　　 ????????　 　 　 ③　 　 ②　 　 ①zyx21075　　由①②得 ?53＝ ，代入③得： nzz21035??　　∴ 21?n，故 n 的最小整數(shù)值為 23?！　〈穑阂?2 小時(shí)內(nèi)抽干滿池水，至少需要水泵 23 臺(tái)。解：原方程有一個(gè)大于 1 的根和一個(gè)小于 1 的根，相當(dāng)于拋物線 1)4()1(2???xkky與 x 軸的兩xy0115個(gè)交點(diǎn)分在點(diǎn)（1，0）的兩旁，因?yàn)?012??k，拋物線開(kāi)口向上，所以當(dāng) 1?x時(shí)， y值小于 0 即可，即　　 01120)(42 和的 值 只 有整 數(shù)　 　 　 ?????kk解：由題可得 axa?4，　　　若 ?，則 ，不等式無(wú)解，不合題意舍去。　　　若 0?，則 ?，　　　∵不等式有惟一整數(shù)解，∴ 2413??a，即 241?a?！?14?a，即　　 42?a，∴整數(shù) a 值只能為 3。　　若 0則 x41?　∵不等式有惟一整數(shù)解　∴ 0?，即 2?，∴1?，即 2?，∴整數(shù) a 的值為－3?！　【C上所求，a 的整數(shù)值為177。3。解：設(shè)第一層有客房 x間，則第二層有 )5(?x間，由題可得　　 ??????　 　 ②　 　 　 　 　 　 ①)5(48