【正文】 3232?????????????xcaxdxdaxxab， 矛 盾 。 故 有， 則 由 ⑥ 可 得若 ，由 已 知 ， 代 入 ⑦ 得由 ④ 得 　 ⑦即 　將 ⑥ 代 入 ③ 得 　 ⑥　 ⑤ 　 　 代 入 ② 得 　由 ① 解 出解：①令 ，得 c＝平方數 c2；令 1，得 mcba?， 2ncba???，其中 m、n 都是整數，所以， 22nmbn??， 都是整數?！、谌绻?2b 是奇數 2k+1（k 是整數） ，令 4?x得 26hc?，其中 h 是整數，由于 2a 是整數，所以 16a 被 4 整除，有 216?ka除以 4 余 2，而 )(ll???，在 h，l 的奇偶性不同時， )(lh??是奇數；在 h，l 的奇偶性相同時， )(能被 4 整除，因此，216lba?，從而 2b 是偶數，b 是整數， bcm?2也是整數，在②成立時，cx2不一定對 x 的整數值都是平方數，例如：a=2，b=2，c=4，x＝1 時， cbxa?2＝8 不是平方數。解：設 x＝1995，則 1996＝x+1，所以7　　 222 2222 22239801)1695()]1([ )]1([)(]([)95?????? ????x xxxa　解：要證明|m｜是合數，只要能證出｜m｜＝pq，pq 均為大于 1 的正整數即可?！　?))()()((41 ]][[ ]2[241 )()]([4)( 22 22222 badcbadcbadcba dcbacdbcbacdbdacbacdb ?????? ???????　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　：證 明　因為 m 是非零整數，則 是非零整數。由于四個數 a+b+cd，a+bc+d ， ab+c+d，a+b+c+d 的奇偶性相同，乘積應被 4 整除，所以四個數均為偶數。所以可設 a+b+cd=2m1，a+bc+d=2m 2，ab+c+d=2m 3，a+b+c+d=2m 4，其中 m1，m 2，m 3，m 4 均為非零整數。所以 2143)()(24mm??，所以｜m｜＝4｜m 1m2m3m4｜ ≠0，所以｜m｜是一個合數。解：設 cba?0，其中 取自 0，1，2，3，4，……，9，將 2c寫成兩位數的形式為00，01，04，09，16，25，36，49，64，81，其中只有 c＝6 時其十位數為奇數，又2222 )5()1( cb???，可見， 2a的十位數是一個偶數加上 2c的十位數，當a的十位數為奇數 1，2，5，7，9 時，a 的個位數只能取 6。8數學競賽專項訓練（3）方程參考答案一、選擇題選 B。原方程變?yōu)??????????181)8(xaxxa或， ，解得 x=9 或 7，a＝8。選 C。原方程有整數解的條件有且只有以下 3 種：　 僅 有 一 個 整 數 解 。為 偶 數 。 故 原 方 程 此 時時 。 顯 然 僅 當或得為 偶 數 。 解而③ 解 ；， 即 原 方 程 有 兩 個 整 數或， 解 之 得②是 方 程 的 一 個 整 數 解 ；， 此 時而① 231 101202222??? ??????x xxxx　綜上所述知方程的解共有 1＋2＋1＝4 個。　 　 應 選 。即的 根 ， 所 以是　 　 　 　 　 因　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　、 解 ： 令 B,00)(4(a md3202020 Mdcbxac???????應選 B。因為方程有實數解，故 42??a。由題意有　。， 即的 判 別 式 非 負 ， 即 是 其 解 ， 所 以 方 程， 因 為或則 得 。 令或 者 81081422 44222 ???????? ???abacbuubua acbuccb選 B。由方程有實根，得 △≥0，即　 184)5( 1960)53(2)(234 0)4(36)5()(21 21 221122取 最 大 值時， 當 ， 得。 又 由 xk kkx xxkk???? ??????????????選 A。　 237)1()37(13732 ????????????????? zzzuzyzyx　由 x≥0，y≥0 得9　 2173273173017 ?????????????zzz　即 5?u　 76)1(7517 ???????最 大最 小最 大最 小 　 　， u選 B。因方程有實根，故 ?????0482mn，因此有 mn424?，則 60)64( 33???m， 則， 因 ，得 m 最小值是 4。又 。的 最 小 值 為， 故的 最 小 值 為即， 得 622824 nn ?選 C。設全天下雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴 c 天，全天晴 d 天。由題可得關系式a=0①，b+d=6 ②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得 2da=4，即 d＝2，故 b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9 。二、填空題 axbx baba xbx???? ??? ????32 11 122312022)( 00。 解 方 程 得＝　 　 　 。 代 入 任 一 方 程 可 得， 故， 而　 　 兩 式 相 減 得 。、和、為、 設 兩 個 方 程 的 根 分 別由已知 a、b 是方程 6?的兩根。 06?????，　 　 ，而5741241)(41)(2 ?????????abba 02)1(2?nx?的兩根為整數，它的判別式為完全平方式，故可設　 24kn????（k 為非負整數） ，即 )3(2??kn滿足上式的 n、k 只能是下列情況之一：　 ???????????????????2243113 kkknk 或或或　解得 n＝5。解：由題意得： 　 　 ①， 得 10)(])(2[2???　又 )(2121 ??kxkx，　 521)(1?k　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　所 以10　由已知得 　 　 ②， 解 得 13852????kk　由①②得 k＝1。解：由已知 b24b+m=0 ①　b 28b+5m=0 ②　?、伲诘茫?b4m=0 ∴b＝m　③　　將③代入①得：m 24m+m=0 ∴m=0 或 m=3。解： 04)2(84)(42 ???????aaa　　　∴對于任意實數 a，原方程總有兩個實數根。由根與系數的關系得：　　 863)49(21892))(( 2211121 ???????aaxxxx　 　　　∴當 a= 4時原式有最大值－三、解答題解：①當 k=0 時，x=1，方程有有理根?！　　　、诋?k≠0 時，因方程有有理根，所以若 k 是整數，則 k4)1(2???＝ 162?必為完全平方數，即存在非負整數 m，使 2216mk???　　配方得： 8)3)((8)3(2 ???kk　 　 　　　由 ，其 積 為是 奇 偶 性 相 同 的 整 數 ，與? 所以它們均為偶數，又mk－－＞＋－ 3，從而有 ????????????432234mkk或　　∴k=6 或 k=0（舍去）　　綜合①②可知，方程 01)(2x有有理根，整數 k 的值為 k=0 或 k=6。解：由前一方程得： 20??x　　　　即 )21(?x　　　　設方程兩根為 2x，且 1＞ 2x　　　　由根與系數的關系得： 221200?????x　 　 　　　　　則 1x＝1， 2＝ 2011　　　　同理由后一方程得： 021)01(2???xx　　　　設方程兩根為 39。 39。2，且 39。＞ 39。，則 39。＝1， 39。2x＝ 1　　　　由上述可知：r=1，s＝ ，　　　　所以 r－s＝1－ 20＝ 1解：設方程兩根為 x、 ，則 x+ 2＝4n－5　　　　∵4n－5 是奇數，即 1+ 是奇數　　　　∴ 1x與 2必定一奇一偶，而 1x與 2都是質數。　　　　故必有一個為 2，不妨設 ＝2，則　　　　22 2－（8n－10）2－(n 2－35n＋76) ＝0　　　　∴n=3 或 n=16　　　　當 n=3 時，原方程即 2x2－14x＋20＝0，此時兩根為 x1＝2，x 2＝5 當 n=16 時，原方程即 2x2－118x＋228＝0，此時兩根為 x1＝2，x 2＝57解：原方程可化為 ]6)9][()6[(???xkxk，因此方程關于 x 的一元二次方程，所以 6?k，9?k，于是　　 x61＝ ， ?2　　從上面兩式中消去 k，得： 032211???　　于是 6)(3??x　　因為 2均為整數，所以 ??? ?????1236321662 ， 　， 　， 　， 　， 　， 　， 　 ， 　， 　， 　， 　， 　， 　， 　x　　故 045691 ， 　， 　， 　， 　， 　， 　， 　 ??x ，顯然 1x≠0　　又 11xk，將 324569， 　， 　， 　， 　， 　， 　 分別代入上式得。， 　， 　， 　， 　， 　， 　 32435927?解：出發(fā) 1 小時后，①、②、③號艇與④號艇的距離分別為　　 441)][( vvvSiii ?????水 　水 　 （）　　各艇追上④號艇的時間為　　 4442)()( vvvt iiiii ??水 　水 　12　　對 1v＞ 2＞ 3＞ 4v有 321tt?，即①號艇追上④號艇用的時間最小，①號是冠軍。13數學競賽專項訓練（4）不等式參考答案一、選擇題B。解： B4a4|3x|1|x|1|3x3 4x31|x|1|0。 故 選原 不 等 式 有 解 ， 必 須 ， 恒 有因 此 ， 對 一 切 實 數時 ，當 時 ，當 ， 所 以，＋時 ， 　當 ????????? ???????D。解：　　 dcbadcbadcbac cadb ??????????1都 是 正 實 數 ，、因　　故選 D。A。解：　　 ||| 0010)(21 )(2)( 22cba cbacca????????????　 　　 　， 又　 　?　　故選 A。C。解：　　 21615234198765230????????????????aaaxx，的 取 值 范 圍 是，、 個 整 數 解 ， 即 解 只 能 是， 不 等 式 組 只 有解 不 等 式 組 ， 得　　故選 C。D。解：　　易知 0?a，原方程可變形為 09)1(2??xa，記 9)1(2?xay　　則這個拋物線開口向上，因 21x?，故當 1時， ??！　〖?09)21(??a，解得 0?　　故選 D。B。C。B。解：　　由題設得： ??b　 ??b，所以 30?b，31。14　　當 b＝30 時，由 a，得 27a28，這樣的正整數 a 不存在?！　‘?b＝31 時，由 a，得 27a29，所以 a＝28，所以 172??b　　故選 B。二、填空題解：解方程 12???xa得 032?ax，所以 2?，但 ?x，即 23a，　　　所以 4?，故應填 ?且 4??。解：設有 人開會，則全坐圓凳共有 5條腳，全坐方凳共有 6條腳，于是　　　 635?，即 65?x，而 x只能為整數， ??x，故應填 6。解：由①得 32??即 1，則②得 0)1(5???，∴ 1?x。由③得 ??x。由④得 6x，即 5x，∴ 5。故應填 4。解： 02)(2???a，即 0)9(1??a，∴ 91a，故應填 91?a。解： .730??，由題意應付郵費 4＝ 元，故應填 元。解： 4||1| ???x，兩邊都除以 2 得： 2|3|| ??x。　　　 |2|x表示數軸上表示數 x的點到表示 1的點之間的距離， ||表示數軸上表示數 x的點到表示數 3的點之間的距離，顯然，當 23?或 ?x時，　　 |)23(1||1| ?????x，而當 ??時， 2|3|21| ???x，又 21x?，∴221??，故 021x，故應填 01?x。三、解答題解：設開始抽水時滿池水的量為 ，泉水每小時涌出的水量為 y，水泵每小時抽水量為 z，2 小時抽干滿池水需 n 臺水泵，則　　 ????????　 　 　 ③　 　 ②　 　 ①zyx21075　　由①②得 ?53＝ ，代入③得： nzz21035??　　∴ 21?n，故 n 的最小整數值為 23?！　〈穑阂?2 小時內抽干滿池水，至少需要水泵 23 臺。解：原方程有一個大于 1 的根和一個小于 1 的根，相當于拋物線 1)4()1(2???xkky與 x 軸的兩xy0115個交點分在點（1，0）的兩旁，因為 012??k，拋物線開口向上，所以當 1?x時， y值小于 0 即可，即　　 01120)(42 和的 值 只 有整 數　 　 　 ?????kk解：由題可得 axa?4，　　　若 ?，則 ，不等式無解，不合題意舍去?！　　∪?0?，則 ?，　　　∵不等式有惟一整數解，∴ 2413??a，即 241?a?！?14?a，即　　 42?a，∴整數 a 值只能為 3?！　∪?0則 x41?　∵不等式有惟一整數解　∴ 0?，即 2?，∴1?，即 2?，∴整數 a 的值為－3。　　綜上所求，a 的整數值為177。3。解：設第一層有客房 x間，則第二層有 )5(?x間，由題可得　　 ??????　 　 ②　 　 　 　 　 　 ①)5(48